高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式背景图课件ppt

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式背景图课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了素养目标•定方向，必备知识•探新知，等间隔的点，公差d，递增数列，递减数列，常数列，等差数列，关键能力•攻重难，题型探究等内容，欢迎下载使用。

§2　等差数列2.1　等差数列的概念及其通项公式第2课时　等差数列的性质及应用
1．了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差d的几何意义．2．掌握等差数列的性质及应用．3．掌握等差中项的概念及应用．1．通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养．2．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养．
(1)等差数列的图象由an＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_____________，其中_________是该直线的斜率. (2)从函数角度研究等差数列的性质与图象由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_____________，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_______，即自变量每增加1，函数值增加d.当d>0时，{an}为___________；当d<0时，{an}为___________；当d＝0时，{an}为_________.
[提醒]　等差数列通项公式的变形及推广①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
想一想：已知等差数列{an}的两项am，an，如何用am，an表示公差d？并解释公差d的几何意义．
练一练：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(2)若{an}是等差数列，则an＝am＋(n－m)d.(　　)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)2．在等差数列{an}中，a3＝5，a7＝1，则数列{an}的公差d＝_____.
(1)等差中项如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成___________，那么A叫作a与b的等差中项，A＝______.(2)如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at.[提醒]　在一个等差数列中，从第2项起，每一项an(有穷数列的末项除外)都是它的前一项an－1与后一项an＋1的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)．
练一练：1．若等差数列{an}的公差为d，则{3an＋2}是(　　)A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列[解析]　设bn＝3an＋2，则bn＋1－bn＝3an＋1＋2－3an－2＝3(an＋1－an)＝3d.
2．在等差数列{an}中，若a3＝2，a5＝7，则a7＝_______. [解析]　由等差数列的性质得a7＋a3＝2a5，则a7＋2＝2×7，得a7＝12.
　　　　　若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解析]　方法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
方法二：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，
　　　　　　　　等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.[解析]　方法一：设等差数列{an}的公差为d，
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
　　　　　(1)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝(　　)A．9 B．12 C．15 D．18(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_______；(3)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝(　　)A．150 B．160 C．200 D．300
[分析]　(1)根据等差数列的性质得出2a9＝a5＋a13，然后将值代入即可求出结果．(2)方法一：求a5＋b5⇒各设出公差⇒利用通项公式；方法二：求a5＋b5⇒{an}，{bn}都是等差数列⇒{an＋bn}也构成等差数列．(3)求a2＋a8的值⇒a3＋a7＝a4＋a6＝2a5⇒a5⇒a2＋a8＝2a5.
[解析]　(1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴5a5＝750，∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
[规律方法]　等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．
　　　　　　　　(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为(　　)A．30 B．27 C．24 D．21(2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝_______.
[解析]　(1)(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)，即58＋(a3＋a6＋a9)＝88，所以a3＋a6＋a9＝30.(2)方法一：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，∴a8＝24，∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24.方法二：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120，∴a1＋7d＝24，∴2a9－a10＝a1＋7d＝24.
　　　　　成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．[分析]　已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．
[规律方法]　三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
　　　　　　　　(2023·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数．[解析]　设这三个数为a＋d，a，a－d(d>0)，
对等差数列的定义理解不透彻而致误　　　　　已知数列{an}是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[错解]　C
[误区警示]　应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的每一项都满足等差的要求．[正解]　B
1．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两个实根，则a5＋a8＝(　　)A．3 B．5 C．－3 D．－5[解析]　a5＋a8＝a3＋a10＝3.
2．在等差数列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，则a4＝(　　)C．3 D．2[解析]　因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3.
3．(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为(　　)A．－2,4,10,16 B．16,10,4，－2C．2,5,8,11 D．11,8,5,2
[解析]　设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，所以这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2.
4．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝_______.[解析]　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.