高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式优质课教学设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式优质课教学设计，共7页。教案主要包含了创设情境，引入课题，观察分析，感知概念，抽象概括，形成概念，辨析理解，深化概念，概念应用，巩固内化，归纳总结，反思提升等内容，欢迎下载使用。

等差数列的概念,等差数列的通项公式及应用,等差数列的通项公式的推导.
课时教学目标
理解等差数列、等差中项的概念.
掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
掌握等差数列的判断与证明方法．
教学重点、难点
重点：掌握等差数列的通项公式、理解等差数列及等差中项的概念．
难点：等差数列的通项公式推导及应用、掌握等差数列的判定方法.
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
实例分析
考察下列3个数列的共同特征:
(1)一个剧场设置了20排座位,从第1排起各排的座位数组成数列:
38,40,42,44,46, ,76. ①
这个剧场座位安排有何规律?
（2）全国统一鞋号中,鞋的各种尺码(表示以为单位的鞋底的长度)由大至小可排列为
250,245,240,235,230,225,220,215,210, ②
这种尺码的排列有何规律?
(3)蓝白两种颜色的正六边形地面砖,按图1-10的规律拼成若干个图案,前4个图案中白色地面砖的块数依次为多少?
【设计意图】由生活情境的多个数列引出下面的探究问题.
ADDIN CNKISM.UserStyle环节二 观察分析，感知概念
研究这些数列的特征及变化规律,可以发现:
对于数列①,从第2项起,每一项与它的前一项的差都是2;
对于数列②,从第2项起,每一项与它的前一项的差都是-5;
对于问题(3),前4个图案中白色地面砖的块数依次为
③
因此,对于数列③,从第2项起,每一项与它的前一项的差都是4.
环节三 抽象概括，形成概念
抽象概括
对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母表示.
由此定义可知,对等差数列,有
因此,数列(1)的公差;数列(2)的公差;数列(3)的公差.
ADDIN CNKISM.UserStyle例1判断下面数列是否为等差数列.
(1); (2).
解(1)由,得,于是
由的任意性知,这个数列是等差数列.
(2)
因为,所以这个数列不是等差数列.
如果等差数列的首项是,公差是(如图1-11),
那么根据等差数列的定义得到
把以上式子相加得，
由此得到
当n=1时,.
所以这个公式对于时也成立.
这就是说:
若首项是,公差是,则等差数列的通项公式为
例题2（1）求数列9,5,1,...的前10项，
（2）已知等差数列，,求和.
解(1)由,得
,得
且
所以等差数列的首项,公差.
例3：已知在等差数列中,.试求出此数列的通项公式.
解：设数列的通项公式为,
由已知,得
这是一个以和为未知数的二元一次方程组.解这个方程组,得
故数列的通项公式为
练习
1.全国统一鞋号中,成年男鞋共有14种尺码,其中最小的尺码是,相邻的两个尺码都相差.把全部尺码从小到大列出.
2.求下列等差数列的第项:
(1)
(2)
(3)
3.对于本节开始的问题(3),第9个图案中有白色地面砖多少块?第个图案中有白色地面砖多少块?
环节四 辨析理解，深化概念
下面从函数角度研究等差数列.
对于,可将记作,它是定义在正整数集（或其子集)上的函数.其图象是直线上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加.
当时，数列为递增数列(如图1-12(1))；
当时,数列为递减数列(如图1-12(2))；
当时,数列为常数列(如图1-12(3)).
环节五 概念应用，巩固内化
例4已知是等差数列图象上的两点.
(1)求数列的通项公式;
(2)画出数列的图象;
(3)判断数列的增减性.
解(1)因为是等差数列图象上的两点,所以
由,
解得于是
数列的图象是直线上一些等间隔的点,如图.
(3)由(1)可知,所以数列是递增数列.
如果在与之间插入一个数,使a,A,b成等差数列,那么叫作与的等差中项.
如果是与的等差中项,那么,所以
例5一个木制梯形架的上、下两底边分别为,把梯形的两腰各6等分,用平行木条连接各对应分点,构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度.
解：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为,则由梯形中位线的性质,易知相邻三项均成等差数列,即数列成等差数列.依题意,有
现要求,即中间5级的宽度.
依等差数列的定义,有
连接梯形两原中点的线段叫作梯形的中位线,梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
所以,
因此,梯形架中间各级的宽度自上而下依次是.
环节六 归纳总结，反思提升
问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列的判定与证明．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．
环节七目标检测，作业布置
完成教材： 练习 第1,2,3,4题
练习
1.在等差数列中,填写下表:
思考填表的过程,你能得出什么结论?
2.求下列各题中两个数的等差中项.
(1)100与180;
(2)-2与6.
3.已知等差数列的通项公式为.
(1)求首项和公差;
(2)画出数列的图象;
(3)判断数列的增减性.
4.已知的三个内角的度数成等差数列,求中问的角的度数.
5.在通常情况下,从海平面到高空,海拨每增加,气温就下降一固定数值.如果海拔高空的气温是,海拨高空的气温是,那么海拔和高空的气温各是多少?