高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第2课时学案

第2课时　等差数列的概念及其通项公式(二)

[教材要点]

要点一　等差数列与一次函数的关系

由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的________，即自变量每增加1，函数值增加d.

当d>0时，数列{an}为________，如图甲所示．

当d<0时，数列{an}为________，如图乙所示．

当d＝0时，数列{an}为________，如图丙所示．

状元随笔　

要点二　等差中项

(1)如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成________数列，那么A叫作a与b的等差中项．

(2)如果A是a与b的等差中项，则A＝________．

状元随笔　在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．

反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的均成立，则数列{an}是等差数列．

因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．(　　)

(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　)

(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　)

(4)任意两个实数都有等差中项．(　　)

2．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　)

A．递增数列　　　B．递减数列

C．常数列    D．无法确定

3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值是(　　)

A．26    B．29

C．39    D．52

4．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，则B等于________.

题型一　等差数列与一次函数的关系

例1　已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．

(1)求这个数列的通项公式；

(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；

(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．

方法归纳

(1)根据等差数列图象上的两点求通项公式的一般方法是设出an＝dn＋b，将图象上的点代入，求d，b.

(2)判断等差数列增减性的方法主要有两种，一是公差法：d>0递增；d<0递减；d＝0不单调．二是图象法：图象上升递增；下降递减；图象不上升也不下降，不单调．

跟踪训练1　在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2 021＝________．

题型二　等差中项

例2　已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数分别为________．

变式探究　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．

方法归纳

当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….

跟踪训练2　若四个非零实数a，x，b，2x成等差数列，则的值为________．

题型三　等差数列性质的应用

例3　(1)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则an＝________．

(2)在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________．

方法归纳

等差数列的性质

若数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，它的性质有：

(1)an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)；

(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则an＋am＝ap＋aq；

特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则an＋am＝2ap；

(3)d＝＝(m，n，k∈N＋)；

(4)若{an}为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项的和；

(5)若{an}的公差为d，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列；

(6)数列{an}，{bn}的公差都是d，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)是公差为(λ1＋λ2)d的等差数列；

(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，(k，m∈N＋)，且{an}的公差为d，组成公差为md的等差数列．

跟踪训练3　(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)

A．20    B．30

C．40    D．50

(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．

题型四　等差数列的实际应用

例4　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

方法归纳

解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．

合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．

跟踪训练4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费．

易错辨析　混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错

例5　两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？

解析：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11

又等差数列5，8，11，…的通项公式为an＝3n＋2，

等差数列3，7，11，…的通项公式为bn＝4n－1.

∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12.

∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.

又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302.

得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项．

【易错警示】

[课堂十分钟]

1．已知数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，a3＝7，a7＝19，则a10的值为(　　)

A．26    B．28

C．30     D．32

2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)

A．8    B．6

C．4.5    D．3

3．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)

A．1升    B．升

C．升    D．升

4．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝________.

5．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这个数列．

第2课时　等差数列的概念及其通项公式(二)

新知初探·课前预习

要点一

斜率　递增数列　递减数列　常数列

要点二

(1)等差　(2)

[基础自测]

1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

2．解析：等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2<0，则直线呈下降趋势，故数列{an}单调递减．

故选B.

答案：B

3．解析：因为5，x，y，z，21成等差数列，

所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，所以5＋21＝2y，

∴y＝13，

∴x＋z＝2y＝26

∴x＋y＋z＝39.

故选C.

答案：C

4．解析：因为三个内角A、B、C成等差数列，

所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，

所以3B＝180°，所以B＝60°.

答案：60°

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，

由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得

解得所以an＝2n－3.

(2)(n，17)是{an}图象上的点．

由2n－3＝17，得n＝10∈N＋，

所以(10，17)是{an}图象上的点．

(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．

令2n－3>0，得n>，

即n≥2.

所以数列{an}的最小正数项为a2＝1.

跟踪训练1　解析：因为通项公式是关于n的一次函数，所以数列{an}为等差数列，

设an＝pn＋q(p，q是常数)，由已知得

解得所以an＝2n＋1(n∈N*)，

则a2 021＝2×2 021＋1＝4 043.

答案：4 043

题型二

例2　解析：设此三个数分别为x－d，x，x＋d，

则

解得x＝5，d＝±2.

∴所求三个数分别为3，5，7或7，5，3.

答案：3，5，7或7，5，3

变式探究　解析：法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得

解得或

∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.

法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得

化简得

解得或

∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.

法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得

化简得解得

∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.

跟踪训练2　解析：∵a，x，b，2x成等差数列

∴x是a与b的等差中项，b是x与2x的等差中项，

∴

解得a＝b

∴＝.

答案：

题型三

例3　解析：(1)∵a2＋a5＋a8＝3a5＝9

∴a5＝3

∴a3＋a7＝6①

又a3a5a7＝－21

∴a3·a7＝－7②

由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1

∴当a3＝－1时，d＝2，∴an＝－1＋(n－3)×2＝2n－7

当a3＝7时，d＝－2，∴an＝7＋(n－3)×(－2)＝－2n＋13.

(2)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17

∴a7＝

又∵a4＋a5＋a6＋…＋a13＋a14＝11a9＝77

∴a9＝7

∴d＝＝＝

∵ak＝a9＋(k－9)d＝13

∴13－7＝(k－9)×

∴k＝18.

答案：(1)2n－7或－2n＋13　(2)18

跟踪训练3　解析：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，

∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，

∴a7＝20.

∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.故选C.

(2)因为{an}，{bn}都是等差数列

所以{an＋bn}是等差数列

设{an＋bn}的公差为d

则(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2d

∴d＝7

∴a5＋b5＝(a3＋b3)＋2d＝21＋2×7＝35.

答案：(1)C　(2)35

题型四

例4　解析：设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.

若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，

即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．

跟踪训练4　解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．

令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．

[课堂十分钟]

1．解析：因为数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，所以设an＝an＋b，

因为a3＝7，a7＝19，

所以解得

所以a10＝3×10－2＝28.

故选B.

答案：B

2．解析：∵m＋2n＝8，2m＋n＝10，∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，∴m和n的等差中项是＝3.

故选D.

答案：D

3．解析：设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由题意得即

解得所以a5＝a1＋4d＝.

答案：B

4．解析：由等差数列的性质知，a2＋a10＝a4＋a8＝16.

答案：16

5．解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，

则有

解得

所以所求数列为1，3，5或5，3，1.