高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.2 等差数列第1课时练习

1.2.1　等差数列及其通项公式

第1课时　等差数列的概念及通项公式

A级 必备知识基础练

1.在等差数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(　　)

A.6 B.8 C.16 D.32

2.若数列{an}满足a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则当am=-2 021时,m的值是(　　)

A.679 B.680 C.681 D.690

3.在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,则a10=(　　)

A.25 B.28 C.31 D.34

4.若等差数列{an}的公差d=2,a8∶a7=7∶8,则a1=(　　)

A.-15 B.-28 C.15 D.28

5.已知等差数列{an}的各项都不相等,a1=2,且a4+a8=,则公差d=(　　)

A.1 B. C.2 D.2或

6.(多选题)已知数列{an}为等差数列,则下列说法正确的是(　　)

A.数列{an+b}(b为常数)是等差数列

B.数列{-an}是等差数列

C.数列{}是等差数列

D.an+1是an与an+2的等差中项

7.已知等差数列{an}的前3项依次是-1,a-1,1,则a=　　　　　,通项公式an=　　　　　. 

B级 关键能力提升练

8.若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差是(　　)

A.b-a B. C. D.

9.在数列{an}中,a1=-1,a3=3,an+2=2an+1-an(n∈N+),则a10=(　　)

A.10 B.17 C.21 D.35

10.在数列{an}中,a4=49,+2(n∈N+),则a7=(　　)

A.121 B.144 C.169 D.196

11.在数列{xn}中,(n≥2),且x2=,x4=,则x10等于　　　　　. 

12.已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2(n∈N+).若akak+1<0,则数列的通项公式为　　　　　　　　,正整数k=　　　　　. 

13.已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a4=81.

(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3.

(2)是否存在一个实数λ,使得数列{}为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

(3)求数列{an}的通项公式.

C级 学科素养创新练

14.(多选题)已知等差数列{an}是无穷数列,该数列的首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn},则(　　)

A.b1=-7

B.b2=27

C.an=8-5n

D.{bn}中的第503项是{an}中的第2 020项

第1课时　等差数列的概念及通项公式

1.B　因为在等差数列{an}中,a1=2,a2=4,所以公差d=a2-a1=4-2=2,则a4=a1+3d=2+3×2=8,故选B.

2.C　∵a1=19,an+1-an=-3(n∈N+),

∴{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,则an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.

令am=22-3m=-2021,解得m=681.故选C.

3.B　因为在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,所以a10=a1+9d=28,故选B.

4.B　设a8=7k,a7=8k,k∈R,则a8-a7=7k-8k=-k=2,则k=-2.

即a7=-16,故a1=a7-6d=-16-12=-28,故选B.

5.B　∵a1=2,且a4+a8=,∴2+3d+2+7d=(2+2d)2.

整理可得4d2-2d=0.∵d≠0,∴d=.故选B.

6.ABD　记数列{an}的公差为d,则an+1-an=d.

(an+1+b)-(an+b)=d,故A正确;

(-an+1)-(-an)=-(an+1-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确;

,不一定是常数,所以数列{}不一定是等差数列,故C不正确;

根据等差数列的定义可知2an+1=an+an+2,所以an+1是an与an+2的等差中项,故D正确.故选ABD.

7.1　n-2　因为-1,a-1,1构成等差数列,所以2(a-1)=-1+1=0,解得a=1.因为a1=-1,d=1,所以an=n-2.

8.C　由等差数列的通项公式,得b=a+(4-1)d,所以d=.

9.B　∵an+2=2an+1-an(n∈N+),

∴an+2+an=2an+1,即数列{an}是等差数列.

设{an}的公差为d,∵a1=-1,a3=3,

∴a3=a1+2d,即3=-1+2d,得d=2.

则an=-1+(n-1)×2=2n-3,故a10=2×10-3=17.

10.C　由+2得=2,因此数列{}为等差数列,所以+2(n-1).

因为a4=49,所以+6=7,解得a1=1,所以an=(2n-1)2,a7=169.故选C.

11.　在数列{xn}中,因为(n≥2),所以数列{}是等差数列.又因为x2=,x4=,所以数列{}的公差d=)=×()==1,所以+9d=1+9×,所以x10=.

12.an=-n+　23　由3an+1=3an-2,得an+1-an=-,所以数列{an}为首项a1=15,公差d=-的等差数列,所以an=15-(n-1)=-n+.

由akak+1<0,得ak>0,ak+1<0.

解方程-n+=0,得n=,所以a23>0,a24<0,所以k=23.

13.解(1)由题意知a4=2a3+24-1=81,解得a3=33.

同理可得a2=13,a1=5.

(2)假设存在实数λ满足题意,则(n≥2)必是与n无关的常数,

∵=1-,∴λ=-1.∴存在实数λ,使得数列{}为等差数列,且λ=-1.

(3)由(2)知数列{}是等差数列,其首项为2,公差为1,则=2+(n-1)·1,故an=(n+1)2n+1.

14.AC　∵a1=3,d=-5,

∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n,故C正确;

数列{an}中项的序号被4除余3的项是第3项,第7项,第11项,…,

∴b1=a3=-7,b2=a7=-27,故A正确,B错误;

对于D,设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第k项,则m=3+4(k-1)=4k-1,

∴当k=503时,m=4×503-1=2011,

即数列{bn}中的第503项是{an}中的第2011项,故D错误.故选AC.