高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式精品ppt课件

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式精品ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了在等差数列，为公差若，证明设首项为，等差数列的性质，例10，等差数列的定义，等差数列的中项，通项公式的证明及推广等内容，欢迎下载使用。

探究 等差数列的函数特性
从函数角度研究等差数列 若首项是a1,公差是d,则等差数列｛an｝的通项公式为an=a1+(n-1)d.就通项公式而言，确定一个数列的每一项的要素是首项a1和公差d,因此，二者可以视为常数，项数n是自变量，项an是函数值. 对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可将an记作f(n),它是定义在正整数集（或其子集）上的函数.其图象是直线y=dx+（a1-d）上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1,函数值增加d.
等 差 数 列 的 图 象 1
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
当d>0时，数列{an}为递增数列
（2）数列：7，4，1，-2，…
当d<0时，数列{an}为递减数列
等 差 数 列 的 图 象 2
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
当d=0时，数列{an}为常数列
等 差 数 列 的 图 象 3
例4 已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点.(1)求数列{an}的通项公式；(2)画出数列{an}的图象；(3)判断数列{an}的增减性.
解 (1)因为(1,l),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以 a1=1,a3=5.由 a3=a1+(3-1)d=1+2d=5,解得 d=2,于是 an=1+2(n-1)=2n-1.(2)数列{an}的图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如图1-13.⑶由⑴可知d>0,所以数列{an}是递增数列.
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
例5 一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm,75 cm,把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度.
解：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列{an}成等差数列.依题意，有a1=33 cm,a7 = 75 cm. 现要求a2,a3,…，a6,即中间5级的宽度.
连接梯形两腰中点 的线段叫作梯形的中位 线，梯形的中位线平行 于两底，并且等于两底 和的一半.
例6 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.
解：设三个数为a-d，a，a+d，则
故所求三数依次为2，4，6或6，4，2
等差数列的通项及图象特征
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多
推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）
等差数列性质的应用例8(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列的通项公式；(2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.
（1）已知等差数列{an}中， a3 ＋a15=30,求a9， a7＋a11
（2）已知等差数列{an}中， a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=150，求a2＋a8的值
（1）等差数列{an}中，a3 ＋a9＋a15＋a21=8，则a12 =
（2）已知等差数列{an}中， a3 和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7 ＋a8 ＋a9＋a10＋a11=
（3）已知等差数列{an}中， a3 ＋a5= －14, 2a2＋a6 = －15，则a8=
【错因】　对题意理解不全面，将题设误解为a10>1，而忽视了“a10是第一个比1大的项”，即“a9≤1”，从而造成条件遗漏．
1．下列说法中，正确的是(　　)A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列C．若存在自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}是等差数列D．若{an}是等差数列，则对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2 答案：　D
2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝(　　)A．9 B．20 C．9.5 D．33解析：方法一：∵a1＋a4＋a7＝45∴3a4＝45又∵a2＋a5＋a8＝39∴3a5＝39∴d＝a5－a4＝13－15＝－2a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝33，故选D.
方法二：∵{an}是等差数列，∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，首项为45，公差为39－45＝－6，∴a3＋a6＋a9＝39－6＝33.答案：　D3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．答案：　－34．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝__________.答案：　3
5．在等差数列{an}中：(1)a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7；(2)a1－a4－a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13；(3)a3＋a11＝10，求a2＋a4＋a15.解析：　(1)∵a2＋a11＝a3＋a10＝a6＋a7，而a2＋a3＋a10＋a11＝48，∴2(a6＋a7)＝48，得a6＋a7＝24.
(2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8.而a1＋a15－(a4＋a12＋a8)＝2，即2a8－3a8＝2.∴a8＝－2.∴a3＋a13＝2a8＝－4.(3)∵a3＋a11＝2a7＝10，∴a7＝5.又a2＋a4＋a15＝a7＋a7＋a7＝3a7＝15.∴a2＋a4＋a15＝15.
2、等差数列的通项公式