高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式背景图课件ppt

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§2　等差数列2.1　等差数列的概念及其通项公式第1课时　等差数列
1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的判定方法．3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养．
[提醒]　“每一项与前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
an－an－1＝d(n≥2)
想一想：若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？提示：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列．
练一练：(多选)下列数列是等差数列的是(　　)A．0,0,0,0,0，…B．1,11,111,1111，…C．－5，－3，－1,1,3，…D．1,2,3,5,8，…[解析]　根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．
若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_________　_______.
练一练：1．已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5，则公差d等于(　　)C．3 D．－3
2．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝4，如果an＝2 023，则序号n＝(　　)A．503 B．504 C．505 D．506[解析]　由an＝a1＋(n－1)d得2 023＝3＋4(n－1)，解得n＝506.
　　　　　(1)已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a2＋a4＝10.求数列{an}的通项公式．(2)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an.
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋4d＝10，即2＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n.
[规律方法]　基本量法求通项公式(1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．(2)等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．(3)如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
　　　　　　　　(1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)A．8　　　　　　　 B．12C．16 D．24
(2)等差数列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．[解析]　(1)设公差为d，首项为a1，∴a9＝a1＋8d＝16.
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.
　　　　　(1)判断下列数列是否为等差数列？①an＝3n＋2；②an＝n2＋n.求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．
[解析]　(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
[规律方法]　1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数). 2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可．
　　　　　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？[解析]　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．
[规律方法]　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
　　　　　　　　高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为_______. [解析]　设经过n次考试后该学生的成绩为an，
求等差数列的公差时因考虑不周致误　　　　　首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(　　)
[误区警示]　该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求．
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列[解析]　∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，∴数列{an}是公差为2的等差数列．
2．等差数列－3,1,5，…的第15项的值是(　　)A．40 B．53 C．63 D．76[解析]　设这个等差数列为{an}，其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为(　　)A．92 B．47 C．46 D．45[解析]　a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46.