高中北师大版 (2019)第一章 数列1 数列的概念及其函数特性1.2 数列的函数特性综合训练题

第一章1.2　数列的函数特性

A级 必备知识基础练

1.下列说法不正确的是(　　)

A.数列可以用图象来表示

B.数列的通项公式不唯一

C.数列中的项可以相等

D.数列可分为递增数列、递减数列、常数列三类

2.[2023河南焦作高二统考期中]已知数列{an}的通项公式为an=3n+kn-2,则“k>-1”是“{an}为递增数列”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要的条件

D.充要条件

3.已知数列an=(n+1),下列说法正确的是 (　　)

A.{an}有最大项,但没有最小项

B.{an}没有最大项,但有最小项

C.{an}既有最大项,又有最小项

D.{an}既没有最大项,也没有最小项

4.在数列{an}中,a1=2,an=an+1-3,则14是{an}的第　　　　项. 

5.已知数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列,则a的取值范围为　　　　. 

6.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来.

(1)an=(-1)n+2(n∈N+);

(2)an=(n∈N+).

7.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,n∈N+,请回答下列问题:

(1)这个数列共有几项为负?

(2)这个数列从第几项开始递增?

(3)这个数列中有无最小值?若有,求出最小值;若无,请说明理由.

B级 关键能力提升练

8.已知an=,则数列{an}中相等的连续两项是 (　　)

A.第9项,第10项 B.第10项,第11项

C.第11项,第12项 D.第12项,第13项

9.已知数列{an}满足a1=a,an+1=(n∈N+).若数列{an}是常数列,则a=(　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.(-1)n

10.下列说法正确的是(　　)

A.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列

B.数列0,2,4,6,8,…可记为{2n},n∈N+

C.数列的第k项为1+

D.数列,…,既是递增数列又是无穷数列

11.[2023江西南昌第十九中学阶段练习]已知数列{an}满足an=,则当an取得最小值时n的值为(　　)

A.2 024 B.2 023或2 022

C.2 022 D.2 022或2 021

12.(多选题)[2023湖南长沙雅礼中学统考期末]下列数列{an}中是递增数列的是(　　)

A.an=(n-3)2 B.an=-

C.an=tan n D.an=ln

13.(多选题)已知函数f(x)=-x2+2x+1,设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+),则此数列(　　)

A.图象是二次函数y=-x2+2x+1的图象

B.是递减数列

C.从第3项往后各项均为负数

D.有两项为1

14.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}中的最大项为　　　　　. 

15.已知在数列{an}中,an+1=对任意正整数n都成立,且a7=,则a5=　　　　　　　　. 

16.数列中的最大项为　　　　　　. 

17.设an=-n2+10n+11,则数列{an}中第　　　　项的值最大. 

18.已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N+).

(1)判断是不是数列{an}中的项.

(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内.

(3)在区间内有没有数列{an}中的项?若有,是第几项;若没有,请说明理由.

C级 学科素养创新练

19.已知数列{an}的通项公式为an=n2-11n+,a5是数列{an}的最小项,则实数a的取值范围是(　　)

A.[-40,-25] B.[-40,0]

C.[-25,25] D.[-25,0]

20.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+).

(1)讨论数列{an}的增减性;

(2)求数列{an}的最大项和最小项.

参考答案

1.2　数列的函数特性

1.D

2.A　由题意得数列{an}为递增数列等价于“对任意n∈N+,an+1-an>0恒成立”,得3n+1+k(n+1)-2-(3n+kn-2)>0,即k>-2·3n对任意n∈N+恒成立,故k>(-2·3n)max=-6,所以“k>-1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件.故选A.

3.C　当n=2k,k∈N+时,

a2k=(2k+1),a2(k+1)=(2k+3),

a2(k+1)-a2k=,

当k≤4时,a2(k+1)-a2k>0;当k≥5时,a2(k+1)-a2k<0,故a10最大.

当n=2k-1,k∈N+时,

a2k-1=-2k·,a2(k+1)-1=-(2k+2),

a2k+1-a2k-1=,

当k≤4时,a2k+1-a2k-1<0;当k≥5时,a2k+1-a2k-1>0,故a9最小.

综上,{an}既有最大项,又有最小项.

故选C.

4.5　a1=2,a2=a1+3=5,a3=a2+3=8,a4=a3+3=11,a5=a4+3=14.

5.(-2,1)　∵数列2a-1,a-3,3a-5为递减数列,

∴解得-2<a<1.

6.解(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图象如图1.

(2)a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图象如图2.

7.解(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),

所以当0<n<10,n∈N+时,an<0,

所以数列{an}共有9项为负.

(2)因为an+1-an=2n-7,

所以当an+1-an>0时,n>,n∈N+,

故数列{an}从第4项开始递增.

(3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,

根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36,即这个数列有最小值,最小值为-36.

8.B　假设an=an+1,则有,解得n=10,所以相等的连续两项是第10项和第11项.

9.A　∵数列{an}满足a1=a,an+1=(n∈N+),

∴a2=.∵数列{an}是常数列,

∴a=,解得a=-2.故选A.

10.C　对于A,数列是有顺序的一列数,数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1顺序不同,故A错误;

对于B,当n=1时,a1=2,不符合a1=0,故B错误;

对于C,数列的第k项为=1+,故C正确;

对于D,数列,…,的最后一项为,是有穷数列,故D错误.

故选C.

11.D　令bn=,则=1+,

∴当n>2021时,<1,{bn}是递减数列,{an}是递增数列;

当n<2021时,>1,{bn}是递增数列,{an}是递减数列;

当n=2021时,=1,即b2021=b2022,a2021=a2022.

故当n=2021或n=2022时,{an}取得最小值,最小值为a2021=a2022=.

故选D.

12.BD　对于A,结合对应函数y=(x-3)2在(-∞,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增,可知数列{an}不为递增数列;

对于B,结合对应函数y=-在R上单调递增,可知数列{an}为递增数列;

对于C,结合对应函数y=tanx的单调递增区间为,k∈Z,可知数列{an}不为递增数列;

对于D,由于an=ln=ln,结合对应函数y=ln在(0,+∞)内单调递增,所以数列{an}为递增数列.

故选BD.

13.BC　∵函数f(x)=-x2+2x+1,数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+),

∴an=-n2+2n+1,

对于选项A,数列{an}的图象是当n取正整数时f(n)=-n2+2n+1的图象上的对应点的坐标,

∴此数列图象不是二次函数y=-x2+2x+1的图象,故A错误;

对于选项B,an=-n2+2n+1=-(n-1)2+2,∴此数列是递减数列,故B正确;

对于选项C,an=-n2+2n+1=-(n-1)2+2,a1=2,a2=1,a3=-2,此数列是递减数列,

∴从第3项往后各项均为负数,故C正确;

对于选项D,an=-n2+2n+1=-(n-1)2+2,a1=2,a2=1,a3=-2,且此数列是递减数列,此数列有一项为1,故D错误.故选BC.

14.a8和a9　∵数列{an}的通项公式为an=,

∴an+1-an=[9(n+2)-10(n+1)]=(8-n),

∴当n<8时,an+1>an;当n>8时,an+1<an;当n=8时,an+1=an,

故数列{an}中的最大项为a8和a9.

15.1　由已知a7=,解得a6=.

又因为a6=,解得a5=1.

16.　设an=,

则an+1-an=,

∴当n≥3时,an+1<an,

当n<3时,an+1>an,

∴数列中的最大项为a3=.

17.5　根据题意,an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,当n=5时,an取得最大值.

18.解(1)∵an=,

∴由an=,解得n=,

∵不是正整数,∴不是数列{an}中的项.

(2)∵an==1-,n∈N+,0<<1,∴0<an<1,

∴数列{an}中的项都在区间(0,1)内.

(3)令<an<,即,

则解得<n<.

又n∈N+,∴n=2.

故在区间内有数列{an}中的项,且只有一项,是第2项,a2=.

19.D　由条件可知,对任意的n∈N+,都有an≥a5恒成立,即n2-11n+-30,整理得(n-5)(n-6)≥.

当n≤4时,不等式化简为a≥5n(n-6)恒成立,

当n=1时,5n(n-6)取得最大值-25,所以a≥-25,

当n≥6时,不等式化简为a≤5n(n-6)恒成立,

所以a≤0;

综上,实数a的取值范围是[-25,0].

故选D.

20.解(1)数列{an}的通项公式an==1+,

据此可得1>a1>a2>a3>…>a15,且a16>a17>a18>a19>…>1,

所以当n<16时,数列{an}是递减数列;当n≥16时,数列{an}是递减数列.

(2)由(1),知数列{an}的最大项为a16,最小项为a15.