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数学选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时导学案
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这是一份数学选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时导学案，共10页。学案主要包含了等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的实际应用等内容，欢迎下载使用。
第1课时 等差数列的概念与通项公式
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．
导语
奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．你能判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所有年份吗？2050年应该举行奥运会吗？
一、等差数列的概念
问题1 (1)姚明是大家都熟悉的篮球运动员，下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数：第一天6 000，第二天6 500，第三天7 000，第四天7 500，第五天8 000，第六天8 500，得到数列6 000,6 500,7 000,7 500,8 000，8 500.
(2)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986，得到数列1682,1758,1834,1910,1986.
以上两个数列有共同特征吗？
提示 对于数列(1)：6 500－6 000＝500,7 000－6 500＝500,7 500－7 000＝500,8 000－7 500＝500,8 500－8 000＝500，即该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于数列(2)：1758－1682＝76，…，有同样的取值规律．
知识梳理
等差数列的定义
对于一个数列，如果从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么称这个数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．
注意点：
(1)求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)或d＝an＋1－an(n∈N＋)．公差是每一项(从第二项起)与它前一项的差，切勿颠倒．
(2)公差d可正可负可为零，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．数列{2n＋1}是等差数列
D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列
答案 BC
解析 A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列．
反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1 (多选)下列数列是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1，eq \f(4,3)，eq \f(5,3) D．－3，－2，－1,1,2
答案 ABC
解析 由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝eq \f(1,3)，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．
二、等差数列的通项公式
问题2 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
知识梳理
等差数列的通项公式
若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
注意点：
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项．
(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝eq \f(an－am,n－m)，知道等差数列中任意两项，可以求公差d.
角度1 求项或项数
例2 (1)求等差数列10,8,6，…的第20项；
(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
解 (1)由于a1＝10，d＝－2，
∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋.
∴a20＝－2×20＋12＝－28.
(2)由于a1＝2，d＝7，
∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，n∈N＋.
由7n－5＝100，得n＝15.
∴100是这个数列的第15项．
角度2 求通项公式
例3 已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式．
解 设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5＝a1＋4d＝－20，,a20＝a1＋19d＝－35，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－16，,d＝－1.))
故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n，n∈N＋.
延伸探究 本例若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解 设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋15－1d＝33，,a1＋61－1d＝217，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－23，,d＝4.))
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋，
所以153是所给数列的第45项．
反思感悟 等差数列的通项公式及其应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解 (1)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝15，,a1＋16d＝39，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝7，,d＝2，))
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项．
(2)设{an}的公差为d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝11，,a1＋7d＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝12，,d＝－1.))
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋，
所以a10＝13－10＝3.
三、等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？
解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.
即需要支付车费23.2元．
反思感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素．
跟踪训练3 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温．
解 设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋)．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，
－37 ℃.
1.知识清单：
(1)等差数列的概念、判定．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列通项公式的应用．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．
1．在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．1 D．－1
答案 C
解析 ∵a3＝5，a6＝8，∴d＝eq \f(a6－a3,3)＝1.
2．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于( )
A．－9 B．－8 C．－7 D．－4
答案 B
解析 ∵a6＝a4＋6，
∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.
∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8，故选B.
3．在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝________.
答案 10
解析 因为a5＝11，d＝－2，
所以a1＋4×(－2)＝11，
所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
令－2n＋21＝1，得n＝10.
4．等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________.
答案 －4n＋1
解析 a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1.
课时对点练
1．(多选)下列数列中，是等差数列的为( )
A．1,3,5,7,9 B．2,0，－2,0，－6,0，…
C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9)，eq \f(3,9)，eq \f(4,9)，… D.eq \r(2)＋1，eq \r(2)，eq \r(2)－1
答案 ACD
2．已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的第n项为( )
A．2n－5 B．2n－3
C．2n－1 D．2n＋1
答案 B
解析 已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，故有(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1,1,3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋.
3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15 B．22 C．7 D．29
答案 A
解析 设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．52 B．51 C．50 D．49
答案 A
解析 因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，
所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝eq \f(1,2)的等差数列，
所以a101＝a1＋100d＝2＋100×eq \f(1,2)＝52.
5．首项为－24的等差数列从第10项起为正数，则公差d的取值范围是( )
A．d>eq \f(8,3) B．d<3
C.eq \f(8,3)≤d<3 D.eq \f(8,3)答案 D
解析 该等差数列通项an＝－24＋(n－1)d，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10＝－24＋9d>0，,a9＝－24＋8d≤0，))解得eq \f(8,3)6．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得________斤？( )
A.eq \f(5,81) B.eq \f(7,78) C.eq \f(4,39) D.eq \f(7,76)
答案 B
解析 设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依次类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a8＋a9＋a10＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋24d＝4，))解得d＝eq \f(7,78)，
所以每等人比下一等人多得eq \f(7,78)斤金．
7．数53为等差数列{an}：－5，－3，－1,1，…中的第________项．
答案 30
解析 由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2，
所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋，
令2n－7＝53，解得n＝30，
所以53是数列{an}中的第30项．
8．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是________．
答案 －eq \f(3,4)
解析 设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，则a5＝a1＋8d⇔d＝eq \f(a5－a1,8)＝eq \f(2－8,8)＝eq \f(－6,8)＝－eq \f(3,4).
9．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式．
解 方法一 由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3，))
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
方法二 由an＝am＋(n－m)d，得a12＝a5＋(12－5)d，
即d＝eq \f(a12－a5,7)＝3.
又∵a5＝a1＋4d，a5＝10，∴a1＝－2，
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝eq \f(an,2n－1).
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝eq \f(an＋1,2n)＝eq \f(2an＋2n,2n)＝eq \f(an,2n－1)＋1＝bn＋1，
即bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n，
又bn＝eq \f(an,2n－1)，所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1(n∈N＋)．
11．在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}( )
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－9，,a5＝－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－9，,a1＋4d＝－1，))
解得d＝2.
∴an＝2n－11(n＝1,2，…)，
Tn＝(－9)×(－7)×…×(2n－11)．
当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0，
故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0.
故数列{Tn}有最大项T4，无最小项．
12．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an＋1)))是等差数列，则a4等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
答案 A
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2＋1)＝\f(1,a1＋1)＋d＝\f(1,3)，,\f(1,a6＋1)＝\f(1,a1＋1)＋5d＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝\f(1,6)，,\f(1,a1＋1)＝\f(1,6)，))所以eq \f(1,a4＋1)＝eq \f(1,a1＋1)＋3d＝eq \f(2,3)，
则a4＝eq \f(1,2).
13．已知数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)＝aeq \\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
答案 eq \r(4n－3)，n∈N＋
解析 ∵aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＝4，
∴{aeq \\al(2,n)}是等差数列，且首项aeq \\al(2,1)＝1，公差d＝4，
∴aeq \\al(2,n)＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又an>0，∴an＝eq \r(4n－3)，n∈N＋.
14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案 eq \f(67,66)
解析 设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，
由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，
设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋6d＝3，①
3a1＋21d＝4，②
由①②可得d＝eq \f(7,66)，a1＝eq \f(13,22)，
所以a5＝a1＋4d＝eq \f(13,22)＋4×eq \f(7,66)＝eq \f(67,66).
15．已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝________.
答案 eq \f(1,10)
解析 易知an≠0，
∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，
∴eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝1(n≥2)，
故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为1，首项为1，
∴eq \f(1,a10)＝1＋9＝10，∴a10＝eq \f(1,10).
16．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
解 (1)由题意得，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N＋.
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，
b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1＝－7，公差d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝
－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N＋，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
第1课时 等差数列的概念与通项公式
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．
导语
奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．你能判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所有年份吗？2050年应该举行奥运会吗？
一、等差数列的概念
问题1 (1)姚明是大家都熟悉的篮球运动员，下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数：第一天6 000，第二天6 500，第三天7 000，第四天7 500，第五天8 000，第六天8 500，得到数列6 000,6 500,7 000,7 500,8 000，8 500.
(2)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986，得到数列1682,1758,1834,1910,1986.
以上两个数列有共同特征吗？
提示 对于数列(1)：6 500－6 000＝500,7 000－6 500＝500,7 500－7 000＝500,8 000－7 500＝500,8 500－8 000＝500，即该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于数列(2)：1758－1682＝76，…，有同样的取值规律．
知识梳理
等差数列的定义
对于一个数列，如果从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么称这个数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．
注意点：
(1)求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)或d＝an＋1－an(n∈N＋)．公差是每一项(从第二项起)与它前一项的差，切勿颠倒．
(2)公差d可正可负可为零，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．数列{2n＋1}是等差数列
D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列
答案 BC
解析 A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列．
反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1 (多选)下列数列是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1，eq \f(4,3)，eq \f(5,3) D．－3，－2，－1,1,2
答案 ABC
解析 由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝eq \f(1,3)，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．
二、等差数列的通项公式
问题2 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示 设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
知识梳理
等差数列的通项公式
若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
注意点：
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项．
(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝eq \f(an－am,n－m)，知道等差数列中任意两项，可以求公差d.
角度1 求项或项数
例2 (1)求等差数列10,8,6，…的第20项；
(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
解 (1)由于a1＝10，d＝－2，
∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋.
∴a20＝－2×20＋12＝－28.
(2)由于a1＝2，d＝7，
∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，n∈N＋.
由7n－5＝100，得n＝15.
∴100是这个数列的第15项．
角度2 求通项公式
例3 已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式．
解 设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5＝a1＋4d＝－20，,a20＝a1＋19d＝－35，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－16，,d＝－1.))
故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n，n∈N＋.
延伸探究 本例若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解 设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋15－1d＝33，,a1＋61－1d＝217，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－23，,d＝4.))
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋，
所以153是所给数列的第45项．
反思感悟 等差数列的通项公式及其应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解 (1)因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝15，,a1＋16d＝39，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝7，,d＝2，))
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项．
(2)设{an}的公差为d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝11，,a1＋7d＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝12，,d＝－1.))
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋，
所以a10＝13－10＝3.
三、等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？
解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.
即需要支付车费23.2元．
反思感悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素．
跟踪训练3 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温．
解 设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋)．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，
－37 ℃.
1.知识清单：
(1)等差数列的概念、判定．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列通项公式的应用．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．
1．在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．1 D．－1
答案 C
解析 ∵a3＝5，a6＝8，∴d＝eq \f(a6－a3,3)＝1.
2．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于( )
A．－9 B．－8 C．－7 D．－4
答案 B
解析 ∵a6＝a4＋6，
∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.
∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8，故选B.
3．在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝________.
答案 10
解析 因为a5＝11，d＝－2，
所以a1＋4×(－2)＝11，
所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
令－2n＋21＝1，得n＝10.
4．等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________.
答案 －4n＋1
解析 a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1.
课时对点练
1．(多选)下列数列中，是等差数列的为( )
A．1,3,5,7,9 B．2,0，－2,0，－6,0，…
C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9)，eq \f(3,9)，eq \f(4,9)，… D.eq \r(2)＋1，eq \r(2)，eq \r(2)－1
答案 ACD
2．已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的第n项为( )
A．2n－5 B．2n－3
C．2n－1 D．2n＋1
答案 B
解析 已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，故有(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1,1,3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋.
3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A．15 B．22 C．7 D．29
答案 A
解析 设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．52 B．51 C．50 D．49
答案 A
解析 因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，
所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝eq \f(1,2)的等差数列，
所以a101＝a1＋100d＝2＋100×eq \f(1,2)＝52.
5．首项为－24的等差数列从第10项起为正数，则公差d的取值范围是( )
A．d>eq \f(8,3) B．d<3
C.eq \f(8,3)≤d<3 D.eq \f(8,3)
解析 该等差数列通项an＝－24＋(n－1)d，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10＝－24＋9d>0，,a9＝－24＋8d≤0，))解得eq \f(8,3)
A.eq \f(5,81) B.eq \f(7,78) C.eq \f(4,39) D.eq \f(7,76)
答案 B
解析 设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依次类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a8＋a9＋a10＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋24d＝4，))解得d＝eq \f(7,78)，
所以每等人比下一等人多得eq \f(7,78)斤金．
7．数53为等差数列{an}：－5，－3，－1,1，…中的第________项．
答案 30
解析 由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2，
所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋，
令2n－7＝53，解得n＝30，
所以53是数列{an}中的第30项．
8．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是________．
答案 －eq \f(3,4)
解析 设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，则a5＝a1＋8d⇔d＝eq \f(a5－a1,8)＝eq \f(2－8,8)＝eq \f(－6,8)＝－eq \f(3,4).
9．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式．
解 方法一 由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3，))
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
方法二 由an＝am＋(n－m)d，得a12＝a5＋(12－5)d，
即d＝eq \f(a12－a5,7)＝3.
又∵a5＝a1＋4d，a5＝10，∴a1＝－2，
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝eq \f(an,2n－1).
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝eq \f(an＋1,2n)＝eq \f(2an＋2n,2n)＝eq \f(an,2n－1)＋1＝bn＋1，
即bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n，
又bn＝eq \f(an,2n－1)，所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1(n∈N＋)．
11．在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}( )
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－9，,a5＝－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－9，,a1＋4d＝－1，))
解得d＝2.
∴an＝2n－11(n＝1,2，…)，
Tn＝(－9)×(－7)×…×(2n－11)．
当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0，
故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0.
故数列{Tn}有最大项T4，无最小项．
12．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an＋1)))是等差数列，则a4等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
答案 A
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2＋1)＝\f(1,a1＋1)＋d＝\f(1,3)，,\f(1,a6＋1)＝\f(1,a1＋1)＋5d＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝\f(1,6)，,\f(1,a1＋1)＝\f(1,6)，))所以eq \f(1,a4＋1)＝eq \f(1,a1＋1)＋3d＝eq \f(2,3)，
则a4＝eq \f(1,2).
13．已知数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)＝aeq \\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
答案 eq \r(4n－3)，n∈N＋
解析 ∵aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＝4，
∴{aeq \\al(2,n)}是等差数列，且首项aeq \\al(2,1)＝1，公差d＝4，
∴aeq \\al(2,n)＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又an>0，∴an＝eq \r(4n－3)，n∈N＋.
14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案 eq \f(67,66)
解析 设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，
由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，
设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋6d＝3，①
3a1＋21d＝4，②
由①②可得d＝eq \f(7,66)，a1＝eq \f(13,22)，
所以a5＝a1＋4d＝eq \f(13,22)＋4×eq \f(7,66)＝eq \f(67,66).
15．已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝________.
答案 eq \f(1,10)
解析 易知an≠0，
∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，
∴eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝1(n≥2)，
故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为1，首项为1，
∴eq \f(1,a10)＝1＋9＝10，∴a10＝eq \f(1,10).
16．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
解 (1)由题意得，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N＋.
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，
b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1＝－7，公差d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝
－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N＋，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
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