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初中数学人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和同步达标检测题
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这是一份初中数学人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和同步达标检测题，共20页。
1．（2015•重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
2．（2015•丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
3．（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60°B．72°C．90°D．108°
4．（2015•眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．60°B．65°C．55°D．50°
6．（2015•苏州模拟）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．80°B．100°C．108°D．110°
7．（2015•绵阳模拟）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．14米B．15米C．16米D．17米
二．填空题（共7小题）
8．（2015•淮安）五边形的外角和等于 °．
9．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
10．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 ．
11．（2015•盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= ．
12．（2015•淄博）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
13．（2015春•晋江市期末）把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α= 度．
14．（2015春•龙岗区期末）如图，小明将若干个全等的正五边形巧妙地排成环状，则他要完成这一圆环共需 个全等的五边形．
三．解答题（共5小题）
15．（2015春•镇江校级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
16．（2015春•长春期末）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
17．（2015秋•周口校级月考）看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么不说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
18．（2015秋•盐津县校级月考）如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数．
19．（2014春•江阴市期末）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系 ．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图乙，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系 ．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图丙，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系 ．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？如图丁
则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系 ．
探究五：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，则∠F= ；（用α，β表示）
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F= ；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
人教版八年级数学上册
11.3.2《多边形的内角和》同步训练习题参考答案
一．选择题（共7小题）
1．（2015•重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
选C
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
2．（2015•丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是180°﹣120°=60°，
360÷60=6，则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
3．（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60°B．72°C．90°D．108°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故选B．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
4．（2015•眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°=900°，
解得：n=7，
则这个多边形的边数是7，
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．
5．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．60°B．65°C．55°D．50°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，
∴∠P=180°﹣120°=60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
6．（2015•苏州模拟）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．80°B．100°C．108°D．110°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解
【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360﹣4×70=80°，
∴∠AED=180﹣∠5=180﹣80=100°．
故选B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360°．
7．（2015•绵阳模拟）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．14米B．15米C．16米D．17米
【考点】多边形内角与外角．
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正八边形．
【解答】解：机器人转了一周共360度，
360°÷45°=8，共走了8次，
机器人共走了8×2=16米．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的外角，是一个实际问题，要理解“回到原处”就是转了360度．
二．填空题（共7小题）
8．（2015•淮安）五边形的外角和等于 360 °．
9．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180=3×360，
解得n=8．
则这个多边形的边数是8．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
10．（2015•镇江二模）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 10 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
11．（2015•盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 240° ．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°﹣120°=240°．
故答案为：240°．
【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．
12．（2015•淄博）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 36 度．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，
∴∠C=180°﹣72°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA=∠CDB=36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
13．（2015春•晋江市期末）把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α= 120 度．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】三角板中∠B=90°，三角板与直尺垂直，再用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．
【解答】解：如图：
∵在四边形ABCD中，
∠A=60°，∠B=90°，∠ACD=90°，
∴∠α=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠ACD=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和．关键是得出用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．
14．（2015春•龙岗区期末）如图，小明将若干个全等的正五边形巧妙地排成环状，则他要完成这一圆环共需 10 个全等的五边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据n边形的内角和为：（n﹣2）×180°，求出五边形的内角和是多少，进而求出正五边形的每一个内角的度数是多少；然后求出∠1的度数是多少，再用360°除以∠1的度数，即可求出他要完成这一圆环共需多少个全等的五边形．
【解答】解：如图1，
，
∵五边形的内角和为：
（5﹣2）×180°=3×180°=540°，
∴正五边形的每一个内角为：
540°÷5=108°，
∴∠1=108°×2﹣180°=216°﹣180°=36°，
∵360°÷36°=10，
∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数），并能求出∠1的度数是多少．
三．解答题（共5小题）
15．（2015春•镇江校级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°=5×360°，
解得n=12，
所以，这个多边形是十二边形．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
16．（2015春•长春期末）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】（1）设这个多边形的每一个外角的度数为x度，根据题意列出方程解答即可；
（2）根据多边形的外角和计算即可．
【解答】解：（1）设这个多边形的每一个外角的度数为x度．根据题意，得：
3x+x=180，
解得x=45．
故这个多边形的每一个外角的度数为45°；
（2）360°÷45°=8．
故这个多边形的边数为8．
【点评】此题考查多边形的外角和内角，关键是根据多边形的内角和和外角和定理计算．
17．（2015秋•周口校级月考）看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么不说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
【考点】多边形内角与外角．
【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；
（2）多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数n﹣2要大，大的值小于1．则用2014除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整数就是多边形的边数；
（3）用2014°﹣1980°即可．
【解答】解：（1）∵n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
∴内角和一定是180度的倍数，
∵2014÷180=11…34，
∴内角和为2014°不可能；
（2）依题意有（x﹣2）•180°＜2014°，
解得x＜13．
因而多边形的边数是13，
故小华求的是十三边形的内角和；
（2）13边形的内角和是（13﹣2）×180°=1980°，
2014°﹣1980°=34°，
因此这个外角的度数为34°．
【点评】考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
18．（2015秋•盐津县校级月考）如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据高的定义得∠ADB=∠AEC=90°，于是利用四边形内角和为360°可计算出∠EHD，然后根据对顶角相等得到∠BHC的度数．
【解答】解：∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
而∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，
∴∠EHD=180°﹣60°=120°，
∴∠BHC=120°．
【点评】本题考查了四边形的内角和以及三角形高的意义，解答此类题的关键是利用四边形的内角和为360°．
19．（2014春•江阴市期末）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系 ∠FDC+∠ECD=180°+∠A ．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图乙，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系 ∠P=90°+∠A ．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图丙，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系 ∠P=（∠A+∠B） ．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？如图丁
则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系 ∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180° ．
探究五：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，则∠F= ∠F=（α+β）﹣90° ；（用α，β表示）
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F= ∠F=90°﹣（α+β） ；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究五：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可；
③根据∠F的表示，∠F为0时不存在．
【解答】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD
=180°﹣（∠ADC+∠ACD）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD
=180°﹣（∠ADC+∠BCD）
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
=（∠A+∠B）；
探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
故答案为：探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：∠P=90°+∠A；探究三：∠P=（∠A+∠B）．探究四：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°；探究五：①，②．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
1．（2015•重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
2．（2015•丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
3．（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60°B．72°C．90°D．108°
4．（2015•眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．60°B．65°C．55°D．50°
6．（2015•苏州模拟）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．80°B．100°C．108°D．110°
7．（2015•绵阳模拟）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．14米B．15米C．16米D．17米
二．填空题（共7小题）
8．（2015•淮安）五边形的外角和等于 °．
9．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
10．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 ．
11．（2015•盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= ．
12．（2015•淄博）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
13．（2015春•晋江市期末）把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α= 度．
14．（2015春•龙岗区期末）如图，小明将若干个全等的正五边形巧妙地排成环状，则他要完成这一圆环共需 个全等的五边形．
三．解答题（共5小题）
15．（2015春•镇江校级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
16．（2015春•长春期末）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
17．（2015秋•周口校级月考）看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么不说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
18．（2015秋•盐津县校级月考）如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数．
19．（2014春•江阴市期末）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系 ．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图乙，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系 ．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图丙，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系 ．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？如图丁
则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系 ．
探究五：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，则∠F= ；（用α，β表示）
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F= ；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
人教版八年级数学上册
11.3.2《多边形的内角和》同步训练习题参考答案
一．选择题（共7小题）
1．（2015•重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
选C
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
2．（2015•丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是180°﹣120°=60°，
360÷60=6，则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
3．（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60°B．72°C．90°D．108°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故选B．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
4．（2015•眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°=900°，
解得：n=7，
则这个多边形的边数是7，
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．
5．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．60°B．65°C．55°D．50°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，
∴∠P=180°﹣120°=60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
6．（2015•苏州模拟）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．80°B．100°C．108°D．110°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解
【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360﹣4×70=80°，
∴∠AED=180﹣∠5=180﹣80=100°．
故选B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360°．
7．（2015•绵阳模拟）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．14米B．15米C．16米D．17米
【考点】多边形内角与外角．
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正八边形．
【解答】解：机器人转了一周共360度，
360°÷45°=8，共走了8次，
机器人共走了8×2=16米．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的外角，是一个实际问题，要理解“回到原处”就是转了360度．
二．填空题（共7小题）
8．（2015•淮安）五边形的外角和等于 360 °．
9．（2015•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180=3×360，
解得n=8．
则这个多边形的边数是8．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
10．（2015•镇江二模）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 10 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
11．（2015•盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 240° ．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°﹣120°=240°．
故答案为：240°．
【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．
12．（2015•淄博）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 36 度．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，
∴∠C=180°﹣72°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA=∠CDB=36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
13．（2015春•晋江市期末）把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α= 120 度．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】三角板中∠B=90°，三角板与直尺垂直，再用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．
【解答】解：如图：
∵在四边形ABCD中，
∠A=60°，∠B=90°，∠ACD=90°，
∴∠α=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠ACD=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和．关键是得出用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．
14．（2015春•龙岗区期末）如图，小明将若干个全等的正五边形巧妙地排成环状，则他要完成这一圆环共需 10 个全等的五边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先根据n边形的内角和为：（n﹣2）×180°，求出五边形的内角和是多少，进而求出正五边形的每一个内角的度数是多少；然后求出∠1的度数是多少，再用360°除以∠1的度数，即可求出他要完成这一圆环共需多少个全等的五边形．
【解答】解：如图1，
，
∵五边形的内角和为：
（5﹣2）×180°=3×180°=540°，
∴正五边形的每一个内角为：
540°÷5=108°，
∴∠1=108°×2﹣180°=216°﹣180°=36°，
∵360°÷36°=10，
∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数），并能求出∠1的度数是多少．
三．解答题（共5小题）
15．（2015春•镇江校级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°=5×360°，
解得n=12，
所以，这个多边形是十二边形．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
16．（2015春•长春期末）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】（1）设这个多边形的每一个外角的度数为x度，根据题意列出方程解答即可；
（2）根据多边形的外角和计算即可．
【解答】解：（1）设这个多边形的每一个外角的度数为x度．根据题意，得：
3x+x=180，
解得x=45．
故这个多边形的每一个外角的度数为45°；
（2）360°÷45°=8．
故这个多边形的边数为8．
【点评】此题考查多边形的外角和内角，关键是根据多边形的内角和和外角和定理计算．
17．（2015秋•周口校级月考）看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么不说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
【考点】多边形内角与外角．
【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；
（2）多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数n﹣2要大，大的值小于1．则用2014除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整数就是多边形的边数；
（3）用2014°﹣1980°即可．
【解答】解：（1）∵n边形的内角和是（n﹣2）•180°，
∴内角和一定是180度的倍数，
∵2014÷180=11…34，
∴内角和为2014°不可能；
（2）依题意有（x﹣2）•180°＜2014°，
解得x＜13．
因而多边形的边数是13，
故小华求的是十三边形的内角和；
（2）13边形的内角和是（13﹣2）×180°=1980°，
2014°﹣1980°=34°，
因此这个外角的度数为34°．
【点评】考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
18．（2015秋•盐津县校级月考）如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据高的定义得∠ADB=∠AEC=90°，于是利用四边形内角和为360°可计算出∠EHD，然后根据对顶角相等得到∠BHC的度数．
【解答】解：∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
而∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，
∴∠EHD=180°﹣60°=120°，
∴∠BHC=120°．
【点评】本题考查了四边形的内角和以及三角形高的意义，解答此类题的关键是利用四边形的内角和为360°．
19．（2014春•江阴市期末）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系 ∠FDC+∠ECD=180°+∠A ．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图乙，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系 ∠P=90°+∠A ．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图丙，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系 ∠P=（∠A+∠B） ．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？如图丁
则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系 ∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180° ．
探究五：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，则∠F= ∠F=（α+β）﹣90° ；（用α，β表示）
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F= ∠F=90°﹣（α+β） ；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究五：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可；
③根据∠F的表示，∠F为0时不存在．
【解答】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD
=180°﹣（∠ADC+∠ACD）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD
=180°﹣（∠ADC+∠BCD）
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
=（∠A+∠B）；
探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
故答案为：探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：∠P=90°+∠A；探究三：∠P=（∠A+∠B）．探究四：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°；探究五：①，②．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
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