人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课前预习课件ppt

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1.了解函数的极值、极值点的概念.2.理解函数在某点取得极值的条件.3.会利用导数求函数的极值.
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知识点1　函数极值的概念1.若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧　　　　　,右侧　　　　　,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 
2.若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧　　　　　　,右侧　　　　　　,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 3.极大值点和极小值点统称为　　　　　　,极大值和极小值统称为　　　　. 
名师点睛1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.3.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.4.若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.
5.如果函数f(x)在区间[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在区间[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在区间[a,b]上的极大值点、极小值点是交替出现的.
过关自诊1.函数的极大值一定大于极小值吗?
提示 不一定.如图所示,
极大值f(x1)小于极小值f(x2).
2.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是(　　)A.在区间(1,2)上函数f(x)单调递增B.在区间(3,4)上函数f(x)单调递减C.在区间(1,3)上函数f(x)有极大值D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析 根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,当x∈(4,5)时,f'(x)>0.∴f(x)在区间(1,2),(4,5)上单调递增,在区间(2,4)上单调递减,x=2是f(x)在区间[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.
知识点2　函数极值的求法一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值:解方程　　　　　　,当f'(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是　　　　　; (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是　　　　　.
可导函数在x=x0处取得极值的充要条件是 f '(x0)=0且在x=x0两侧f '(x)符号相反
名师点睛导数等于0的点不一定是极值点;反之,若函数可导,则极值点一定是导数等于0的点,故需对f'(x)=0的解进行检验.
过关自诊1.[人教B版教材例题]已知f(x)=x3,求所有使得f'(x)=0的x,并判断所求得的数是否为函数的极值点.
解 因为f'(x)=3x2,令f'(x)=0,可知3x2=0,由此可解得x=0.但0不是f(x)=x3的极值点,因为f(0)=0,而0左侧的点的函数值总是小于0,且0右侧的点的函数值总是大于0.这也可以从图中函数f(x)=x3的图象看出来.
2.[北师大版教材习题]求下列函数的极值,并画出其大致图象.(1)y=3x-x3;(2)y=x4-6x3+21x2-6.
解 (1)y'=3-3x2=3(1-x2)=3(1+x)(1-x).令y'=0,得x1=-1,x2=1.列表如下:
y极小值=-2,y极大值=2.y=3x-x3的大致图象如图①所示.
(2)y'=4x3-18x2+42x.令y'=0,得2x(2x2-9x+21)=0,所以x=0.列表如下:
y极小值=-6,无极大值.y=x4-6x3+21x2-6的大致图象如图②所示.
探究点一　利用导数求函数的极值
角度1.不含参数的函数求极值【例1】 求下列函数的极值:
分析求出函数的导数,在函数定义域限制之下研究函数的单调性后,确定极值.
解 函数的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x=3或x=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点.
得x1=-1,x2=2.当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
规律方法　利用导数求函数极值的方法与步骤
变式训练1求下列函数的极值:
令f'(x)=0,得x(2-x)·e-x=0,解得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
角度2.含参数的函数求极值【例2】 已知函数f(x)= x3-(a+1)·x2+4ax+2(a为实数),求函数f(x)的极值.分析 对函数f(x)求导,得到f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a),根据导函数的零点2和2a的大小,分类讨论函数的单调性,根据函数的单调性确定函数的极值.
解 ∵f(x)= x3-(a+1)x2+4ax+2,∴f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a).令f'(x)=0,解得x=2或x=2a.①当a=1时,2a=2,因此f'(x)=(x-2)2≥0,故f(x)在R上单调递增,函数不存在极值.
由上表可知f(x)在区间(-∞,2a)和(2,+∞)上单调递增,在区间(2a,2)上单调递减,
②当a<1时,2a<2,当x变化时,f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:
③当a>1时,2a>2,因此函数f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上单调递增,在区间
规律方法　解析式中含参数的函数极值的求法由于求函数的极值首先需要确定函数的单调区间,因此解析式中含参数的函数极值的求法类似于解析式中含参数的函数的单调区间的求法,求解的方法是:先根据参数对导函数的零点的影响确定分类讨论的标准(导函数是否存在零点以及导函数存在零点时零点的大小),再根据函数的单调区间确定函数的极值.
变式训练2若函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a.当0a时,f'(x)>0.则f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-aln a,无极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
探究点二　由极值求参数的值或取值范围
角度1.根据极值求参数值【例3】 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值 .(1)求a,b的值;(2)求函数的另一个极值.
分析 (1)可利用f'(1)=0,f(1)= 建立关于a,b的方程组求解;(2)按照求极值的步骤求解.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
规律方法　已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意两点:(1)根据可导函数极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证.
变式训练3(1)[2023甘肃天水期末]若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c为(　　)A.2B.6C.2或6D.-2或-6
解析 函数f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x,则f'(x)=3x2-4cx+c2,由题意知,f(x)在x=2处的导数值为12-8c+c2=0,所以c=6或c=2.又函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,故导数值在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数.当c=2时,f'(x)=3x2-8x+4=3(x- )(x-2),不满足导数值在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数.当c=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12)=3(x-2)(x-6),满足导数值在x=2附近的左侧为正数,右侧为负数.故c=6.故选B.
(2)[2023陕西咸阳期末]已知f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点,f(x)极小值=-4,则p,q的值分别为(　　)A.6,9B.9,6C.4,2D.8,6
解析 设切点坐标为(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q),由题意得方程x2+px+q=0有两个相等实根a,故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,f'(x)=3x2-4ax+a2=(x-a)·(3x-a),
∴f(x)=x3+6x2+9x,经检验,此时f(x)极小值=-4,∴p=6,q=9.故选A.
角度2.根据极值点个数求参数取值范围
内有两个极值点,求实数m的取值范围.分析 f(x)在区间(1,+∞)内有两个极值点,等价于f'(x)=0在区间(1,+∞)内有两个不等实根.
解 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.因为函数f(x)在区间(1,+∞)内有两个极值点,所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在区间(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
规律方法　已知函数极值点的个数求参数取值范围的方法已知函数极值点的个数求参数取值范围,其本质是函数存在变号零点问题,解决此类问题可转化为函数y=f'(x)在区间(a,b)内变号零点的个数问题求解.
变式训练4(1)[2023四川泸县校级质检]对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是(　　)A.0≤a≤21B.a=0或a=7C.a<0或a>21D.a=0或a=21
解析 ∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R),∴f'(x)=3x2+2ax+7a,∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上,∴f'(x)≥0对x∈R恒成立,∴Δ=4a2-84a≤0,解得0≤a≤21.故选A.
探究点三　由函数图象分析函数的极值
【例5】 已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=- 处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有　　　　　.(填序号) 
分析 通过图象考查f'(x)在相关区间上的符号,以及在相关各点的左右两侧的导数值是否异号,结合极值的定义进行判断.
解析 从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内单调递减,而f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确;当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,0)内单调递减,③错误.
规律方法　根据导函数的图象确定函数的极值的方法根据导函数的图象确定函数的极值的方法主要是根据导函数的符号确定函数的单调性及单调区间,然后结合函数单调性确定函数的极值.
变式训练5已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:①函数f(x)在区间(-2,-1)和(1,2)内单调递增;②函数f(x)在区间(-2,0)内单调递增,在(0,2)内单调递减;③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;④函数f(x)在x=0处取得极大值.其中正确结论的序号是　　　　. 
解析 因为f'(x)在区间(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在区间(-2,0)内单调递增,同理f(x)在区间(0,2)内单调递减,故函数f(x)在x=0处取得极大值,故②④正确.
探究点四　极值的综合应用
【例6】 已知函数f(x)=x3-3x+a(a∈R),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
解 令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.当x<-1时,f'(x)>0;当-11时,f'(x)>0.所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.因为方程f(x)=0有三个不同实根,所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,则应
变式探究1本例中,若方程f(x)=0恰有两个不同实根,则实数a的值如何求解?
解 由例6知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有两个不同实根,则有2+a=0或-2+a=0,所以a=-2或a=2.
变式探究2本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.
解 由例6知要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
规律方法　利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
1.知识清单:(1)函数极值的概念.(2)函数极值的判定及求解.(3)函数极值的应用.2.方法归纳:方程思想、分类讨论思想、数形结合思想.3.常见误区:容易误认为使导数等于零的点是极值点.
1.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是(　　)A.在区间(-2,2)上单调递减B.在x=-2处取得极小值C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增D.在x=0处取得极大值
解析 由图象知f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(-2,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,故f(x)在x=-2处取极小值,在x=2处取极大值,故选B.
2.设函数f(x)=xex,则(　　)A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点
解析 令f'(x)=ex+x·ex=(1+x)ex=0,得x=-1.当x<-1时,f'(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0.故x=-1为f(x)的极小值点.
3.函数y=x3-12x+12的极大值为(　　)A.18B.21C.26D.28
解析 函数的定义域为R,其导数为y'=3x2-12,令y'=0,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,y',y的变化情况如下表所示:
所以当x=-2时,函数有极大值f(-2)=(-2)3-12×(-2)+12=28.故选D.
4.(多选题)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个单调递增区间是(　　)A.(-∞,2)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)
解析 ∵f'(x)=6x2+2ax+36,且f(x)在x=2处有极值,∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,易验证a=-15时,f(x)在x=2处有极值.∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)·(x-3),由f'(x)>0得x<2或x>3.
5.[2023北京月考]关于函数f(x)=sin x-xcs x,给出下列四个结论:①f(x)是奇函数;②0是f(x)的极值点;
④f(x)的值域是R.其中,所有正确结论的序号为　　　　　. 
解析 因为x∈R,且f(-x)=sin(-x)-(-x)cs(-x)=-sin x+xcs x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,①正确.f'(x)=cs x-(cs x-xsin x)=xsin x,f'(0)=0,当x∈
时,f(2kπ)=sin(2kπ)-2kπcs(2kπ)=-2kπ,所以f(x)的值域是R,④正确.