数学必修 第二册4.4 幂函数测试题

第四章4.1.2　指数函数的性质与图象

A级 必备知识基础练

1.[探究点三]已知函数f(x)=4ax+1的图象恒过定点P,则点P的坐标是(　　)

A.(-1,0) B.(1,0) C.(-1,4) D.(1,4)

2.[探究点一·2023河南周口高一校考]若函数y=(m2-m-1)·mx是指数函数,则m=(　　)

A.-1或2 B.-1 C.2 D.

3.[探究点三·2023云南玉溪高一校考]如图所示,函数y=|2x-2|的图象是(　　)

4.[探究点二]若0.3x>0.3y>1,则(　　)

A.x>y>0 B.y>x>0

C.x<y<0 D.y<x<0

5.[探究点三]已知0<a<1,-1<b<0,则函数y=ax+b的图象不经过第　　　　象限. 

6.[探究点三]已知函数f(x)=ax-2(x≥0)的图象经过点,其中a>0且a≠1.

(1)求a的值;

(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.

B级 关键能力提升练

7.(多选题)在下列四个图象中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=x的图象可能是(　　)

8.[2023浙江高一开学考试]已知函数f(x)=则不等式f(x)≤1的解集为　　　　. 

9.设函数f(x)=若函数y=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是　　　　　. 

C级 学科素养创新练

10.设a是实数,f(x)=a-(x∈R).

(1)试证明对于任意实数a,f(x)为增函数;

(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.

参考答案

4.1.2　指数函数的性质与图象

1.C　令x+1=0,则x=-1,此时f(-1)=4,所以函数的图象恒过(-1,4),即点P的坐标是(-1,4).故选C.

2.C　由题意可得解得m=2.故选C.

3.B　∵y=|2x-2|=

∴x=1时,y=0,故排除D;x≠1时,y>0,故排除A,C.故选B.

4.C　令f(t)=0.3t,∵0<0.3<1,∴f(t)为R上的减函数,由已知得f(x)>f(y)>1=f(0),∴x<y<0.故选C.

5.三　0<a<1,指数函数y1=ax在R上为减函数,-1<b<0,将函数y1=ax的图象向下平移|b|个单位长度,得到y=ax+b的图象,可知图象不过第三象限.

6.解(1)∵函数图象经过点,

∴a4-2=,∴a=.

(2)f(x)=(x≥0),由x≥0,得x-2≥-2,

∴0<=9.

∴函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,9].

7.ABD　由y=是指数函数,可得a,b同号且不相等,故函数y=ax2+bx图象的对称轴x=-<0.

当a>0时,y=ax2+bx图象开口向上,当<1时,a>b.

令x=-1,则a-b>0,符合题意,故A正确;

当>1时,b>a.

令x=-1,则a-b<0,符合题意,故B正确;

当a<0时,y=ax2+bx图象开口向下,且b<0.

令x=-1,若a-b>0,则a>b,∴>1,即指数函数y=单调递增,故D正确,C错误.故选ABD.

8.(-∞,0]　因为函数f(x)=则不等式f(x)≤1等价于

由得x≤0;

由得方程组无解.

所以不等式f(x)≤1的解集为(-∞,0].

9.(0,1]　∵函数y=f(x)-k存在两个零点,∴函数y=f(x)与y=k的图象有两个公共点.在同一个坐标系中作出它们的图象(如图),由图象可知,实数k的取值范围是(0,1].

10.(1)证明设x1,x2∈R,且x1<x2,Δx=x2-x1>0,则Δy=f(x2)-f(x1)=.

定义指数函数y=2x,则y=2x在R上是增函数,且x1<x2,所以,即>0.

又由2x>0,得+1>0,+1>0,

所以f(x2)-f(x1)>0,所以对于任意实数a,f(x)为增函数.

(2)解若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),

即a-=-,

整理得2a=,

解得a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数.