高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系当堂检测题

第四章4.3　指数函数与对数函数的关系

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]函数y=2x的反函数的图象经过点(　　)

A.(1,3) B.(0,1) C.(3,1) D.(1,0)

2.[探究点二]已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,则f-1(1)的值是(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.

3.[探究点二]已知a>0且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是(　　)

4.[探究点二]设a>0且a≠1,若函数y=ax的反函数的图象过点(2,-1),则a=　　　　　. 

5.[探究点一]已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,则f(3)=　　　　　. 

6.[探究点二]函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)=x2-2x+2(x≤0),则g(5)=　　　　. 

B级 关键能力提升练

7.函数f(x)=log2(3x+1)的反函数的定义域为(　　)

A.(1,+∞) B.[0,+∞) 

C.(0,+∞) D.[1,+∞)

8.(多选题)[2023辽宁辽阳高一]已知函数f(x)在其定义域内单调递增,且f(1)=-1,若f(x)的反函数为g(x),则(　　)

A.g(-1)=1

B.g(x)在定义域内单调递增

C.g(1)=1

D.g(x)在定义域内单调递减

9.若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是　　　　　. 

10.若函数f(x)=的图象关于直线y=x对称,则a的值是　　　　. 

11.已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),且f(x)=2x.

(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;

(2)若关于x的方程f(x)+f(1-x)=m在区间[0,1]内有解,求实数m的取值范围.

C级 学科素养创新练

12.已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.

(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的反函数;

(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.

参考答案

4.3　指数函数与对数函数的关系

1.D　函数y=2x的反函数为y=log2x,经过点(1,0).故选D.

2.A　因为f(x)=x5-a,且f(-1)=0,所以-1-a=0,故a=-1,所以f(x)=x5+1.令x5+1=1,所以x=0,所以f-1(1)=0.

3.C　由f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,∴0<a<1.

∴f(x)是减函数,且g(x)是减函数.故选C.

4.　∵函数y=ax的反函数的图象过点(2,-1),

∴(-1,2)在函数y=ax的图象上,∴2=a-1,即a=.

5.log23　∵函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,

∴函数f(x)与函数g(x)=2x互为反函数,

∴f(x)=log2x,∴f(3)=log23.

6.-1　因为y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,所以y=f(x)与y=g(x)互为反函数.

令x2-2x+2=5(x≤0),解得x=-1或x=3(舍去),即g(5)=-1.

7.C　∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,

∴函数f(x)=log2(3x+1)的值域为(0,+∞),

∴函数f(x)=log2(3x+1)的反函数的定义域为(0,+∞).

故选C.

8.AB　由反函数的性质可知,g(-1)=1,且g(x)在定义域内单调递增.

故选AB.

9.(-∞,0)　因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以y=f(x)=log5x为增函数.

又y=x2-2x=(x-1)2-1,在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.

又y=x2-2x>0,所以x∈(-∞,0)∪(2,+∞).

综上,y=f(x2-2x)的单调递减区间为(-∞,0).

10.-1　∵函数f(x)=的图象关于直线y=x对称,

∴1,与,1都在函数f(x)的图象上.

由=1,得a=-1或a=2,

若a=2,则f(x)=,y=的反函数为x=,得y=≠f(x),与题意不合,舍去;

若a=-1,则f(x)=-,y=-的反函数为x=-,得y=-=f(x),满足题意.

综上,a=-1.

11.解(1)因为函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),且f(x)=2x,所以f-1(x)=log2x,

所以f-1(x)-f-1(1-x)=log2x-log2(1-x)=log2=1,则解得x=.

(2)因为关于x的方程f(x)+f(1-x)=m在区间[0,1]内有解,所以2x+21-x=m在区间[0,1]内有解,

令g(x)=2x+21-x=2x+,

令t=2x∈[1,2],且t=2x是单调递增的,

又y=t+在区间[1,]上单调递减,在区间[,2]上单调递增,所以g(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,g(x)min=2,当x=1或0时,g(x)max=3,所以实数m的取值范围是[2,3].

12.解(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.

因为f(x)+f(-x)==0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.

(2)令y=,对调x,y,得x=,

所以2y=(-1<x<1).

所以f-1(x)=log2(-1<x<1).

(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,

所以所以

所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};

当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.