初中苏科版1.2 一元二次方程的解法精品同步达标检测题

这是一份初中苏科版1.2 一元二次方程的解法精品同步达标检测题，文件包含12一元二次方程的解法学生版-九年级数学上册同步精品讲义苏科版docx、12一元二次方程的解法教师版-九年级数学上册同步精品讲义苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点01 一元二次方程的解法——直接开方法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
【微点拨】
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
【即学即练1】1．一元二次方程x2﹣2x＋5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】
解：∵△＝（−2）2−4×5＝−16＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
知识点02 一元二次方程的解法——配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【微点拨】
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
【即学即练2】2．在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是三边垂直平分线的交点B．点P是三条内角平分线的交点
C．点P是三条高的交点D．点P是三条中线的交点
【答案】D
【分析】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．
【详解】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x，y)，则=
==，
∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，
∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，
AC边上中线所在直线表达式为：，
又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，
∴点P是三条中线的交点，
故选D．
知识点03 公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值；
④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
【微点拨】
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
【即学即练3】3．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设点B关于直线的对称点，易得求出a的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解．
【详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴直线OA的解析式为，
∵，
∴设直线CD的解析式为，
则，
设点B关于直线的对称点，
则①，
且，
即，解得，
代入①可得，
故选：A．
知识点04 因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
【微点拨】
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【即学即练4】4．分式方程的解为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：，
去分母得：2（x＋2）＋x2−4＝8，
解得：x＝2或x＝−4，
检验：当x＝2时，（x＋2）（x−2）＝0，
当x＝−4时，（x＋2）（x−2）≠0，
∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝−4．
故选：A．
能力拓展
考法01 配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
【典例1】用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
直接利用配方法进行配方即可．
【详解】
解：
故选：D．
考法02 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
【典例2】关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．0
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系可得，解得．将代入原方程，利用根的判别式验证方程是否有解，由此即可确定m的值．
【详解】
解：设方程的两根为x1和x2．
∵，
又∵，
∴．
∴．
当m=1时，原方程为．
判别式．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为．
判别式．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故选：B
分层提分
题组A 基础过关练
1．方程的根是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解方程即可得到正确选项．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故选：C．
2．方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2B．C．x＝0D．x＝2或x＝0
【答案】D
【分析】
利用解一元二次方程的因式分解法，即可求解
【详解】
解：x2＝2x，
移项得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：D．
3．关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据根的判别式即可得出答案．
【详解】
解：
原方程没有实数根，
故选C．
4．将一元二次方程配方，其正确的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】
解：，
配方得：，即．
故选：D．
5．用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（ ）
A．（x﹣5）2＝24B．（x﹣5）2＝26C．（x+5）2＝24D．（x+5）2＝26
【答案】B
【分析】
先移项、再配方即可解答
【详解】
解：，
，
，
．
故选B．
6．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0B．3C．6D．9
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程根的判别式，解出c即可．
【详解】
根据题意得：，
解得：．
故选：D．
7．一元二次方程的解是（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】
解出该一元二次方程即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
题组B 能力提升练
1．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（ ）
A．3B．﹣4C．8D．3或8
【答案】A
【分析】
分和两种情况，分别可得一个关于的方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意，分以下两种情况：
（1）当时，
则，即，
解得或（舍去）；
（2）当时，
则，即，
解得（舍去）；
综上，
故选：A．
2．小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
【答案】C
【分析】
解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．
【详解】
解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程无实数根，
∴方程无解，
故整式方程不正确，分式方程无解，
故选：C．
3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，且该方程的根都是整数，则的值为（ ）
A．1B．0C．0或1D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式可得方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根则△＞0，然后列出不等式计算即可，根据m为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×(m-1)＞0，
∴m＜2；
∵m为非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，x2-2x-1=0，
∵△=(-2)2-4×1×(-1)=8，
∴，
此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去；
当m=1时，x2-2x=0，
∴，此时方程的根都是整数，
∴m=1，
故选：A．
4．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（ ）
A．24B．25C．24或25D．无法确定
【答案】C
【分析】
分类讨论6为底边和6为腰两种情况，结合一元二次方程的根与其根的判别式的情况即可确定的值．
【详解】
解：①当6为底边时，则，
∴，
∴，
∴方程为，
解得：，
∵，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
②当6为腰时，则设，
∴，
∴，
∴方程为，
∴，，
∵，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：或25．
故选：C．
5．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及常数确定实际销售价格为，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得，据此可得，最佳乐观系数k的值等于____．
【答案】
【分析】
由，得：，再根据，可得，在列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：由，得：
即：
∴
∵
∴
∴
解得：，
∵
∴不合题意
∴
故答案为：
6．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cs∠AED＝，则BN的长为_____．
【答案】5或
【分析】
取AD的中点G，连接MG，分点N在点G的左边和右边两种情形，运用勾股定理，三角函数，一元二次方程的知识求解即可．
【详解】
解：根据题意可分两种情况画图：
①如图1，取AD的中点G，连接MG，
∴AG＝DG＝AD＝2，
∵点M为正方形ABCD的边BC中点，
∴MG⊥AD，MG＝AB＝AD，
∴∠MGN＝∠A＝90°，
在Rt△ADE和Rt△GMN中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△GMN（HL），
∴∠GNM＝∠AED，
∴cs∠GMN＝cs∠AED＝，
∴设GN＝x，MN＝17x，
∵，
∴，
∴x＝，x＝－（舍去），
∴GN＝1，
∴AN＝1，
∴BN＝＝；
②如图2，取AD的中点G，
同理可得Rt△ADE≌Rt△GMN（HL），
∴∠GNM＝∠AED，
∴cs∠GMN＝cs∠AED＝＝，
∴设GN＝x，MN＝17x，
∵，
∴，
∴x＝，x＝－（舍去），
∴GN＝1，
∴AN＝3，
∴BN＝＝5，
故答案为：5或．
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y＝（k＞0）的图象上有两点A，B（点A在B上方），直线AB的解析式为y＝k'x+18．在第一象限内有一点C（8，12），∠ACB＝90°，若△ABC和△ABO的面积相等．则k的值为_____．
【答案】或．
【分析】
分当点C和O在AB的两侧和同侧两种情形分别求解即可．
【详解】
解：分两种情形讨论：
（1）当点C和O在AB的两侧时，如图1中，过点C作CE⊥AB于E，连接OC交AB于F．设直线AB交y轴于点M，交x轴于点N，取AB的中点G，连接CG．过O作OD⊥AB于点D．
∵S△ABC＝•AB•CE，S△ABO＝•AB•OD，且△ABC和△ABO的面积相等，
∴CE＝OD
∵∠FEC＝∠FDO＝90°，∠EFC＝∠DFO，
∴△EFC≌△DFO（AAS），
∴CF＝OF，
∵O（0，0），C（8，12），
∴F（4，6），
∵直线AB的解析式为y＝k′x+18，
∴k′＝﹣3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+18，
∴M（0，18），N（6，0），
∵G是AB的中点，
∴GA＝GB，
∵AM＝BN，
（这个一般结论的证明如下：构造如图所示的图形，四边形PQOH是矩形，
∵PQ∥OM，∴，
∵PH∥ON，∴，
如图，∵，（其中S是矩形PQOH的面积），
∴，即，∴n=l，即AM=BN）
∴GM＝GN，
∴G（3，9），
∵∠ACB＝90°，GA＝GC，
∴CG＝AG，
设A（m，﹣3m+18），则有（m﹣3）2+（﹣3m+18﹣9）2＝（8﹣3）2+（12﹣9）2，
解得m＝3﹣或3+（舍弃），
当m＝3﹣时，﹣3m+18＝3（3+），
∴k＝（3﹣）×3（3+）＝．
（2）当点C和点O在AB的同侧时，如图2中，由题意可得OC∥AB，
∵C（8，12），直线AB：y＝k′x＝18，
∴直线AB的解析式为y＝x+18，
∴M（0，18），N（﹣12，0），
∵GA＝GB，AM＝BN，
∴GM＝GN，
∴G（﹣6，9），
∵∠ACB＝90°，GA＝GB，
∴AG＝CG，
设A（m，m+18），则有（m+6）2+（m+18﹣9）2＝（8+6）2+（12﹣9）2，
解得m＝﹣6+或﹣6﹣（舍弃），
∴k＝（﹣6+）×（6+）＝，
∴k的值为或．
故答案为为或．
题组C 培优拔尖练
1．方程的解是（ ）
A．2或0B．±2或0C．2D．－2或0
【答案】B
【分析】
首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论．
【详解】
解：∵，
∴，
∴或或，
故选：B．
2．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．有两个实数根
【答案】B
【分析】
先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．
【详解】
解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，
b＜﹣2，b2﹣4（3+b）= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6)
∵b+2＜0， b-6＜0，
∴(b+2)(b-6) ＞0，
所以，原方程有有两个不相等的实数根；
故选：B．
3．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（ ）
A．B．C．D．7或8
【答案】D
【分析】
两种情况，4为腰和4为底边，而一元二次方程的两根也分为两种情况：①一边为腰一边为底，此时代入4即可求解，②两边都为腰，此时判别式为0，代入数值即可求解．
【详解】
①一边为腰一边为底，当4为底时，有
，解得，此时
解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去；
同理，当4为腰时，解得另一根为2，三角形三边分别为4、4、2，满足三角形三边关系
故m=7
②方程两根都为腰，此时
即，解得m=8
综上所述，m=7或8
故选D．
4．要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的情况得到且解得：且，再把分式方程化简求值得：，因为解为非负数，且即且，所以且，即可得出满足题意的整数解．
【详解】
解：关于x的一元二次方程有两个实数根
则
且
关于x的分式方程
去分母得：
解得：
分式方程的解为非负数
且即且
且
满足题意的整数的值为
故答案为：B．
5．关于x的方程k2x2＋(2k-1)x+1 =0有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．当k=时，方程的两根互为相反数B．当k=0时，方程的根是x=-1
C．若方程有实数根，则k≠0且k≤D．若方程有实数根，则k≤
【答案】D
【分析】
先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据k的取值范围解答即可．
【详解】
解：若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，
∴△=（2k-1）2-4k2=-4k+1≥0，
∴k≠0且k≤，即A错误；
若k=0，则原方程为-x+1=0，所以方程有实数根为x=1，则B错误，C错误．
故选：D．
6．若反比例函数的图像上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图像上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】
设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)，代入一次函数可得关于m的一元二次方程，利用判别式来确定b的取值范围．
【详解】
设反比例函数上有一点A(m，)，则关于x轴对称点B(m，)
∵点B在一次函数上，代入得：
化简得：
∵有两个不同的点关于x轴的对称点都在一次函数上
∴关于m的一元二次方程有两个不同的解
∴△=＞0
解得：或
故选：D
7．从－3，－1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的方程有实数解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a值之和是（ ）．
A．﹣3B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的判别式求出符合条件的a的值，再根据分式方程求出符合条件的a的值，由此确定符合条件的共同的a值，即可计算得到答案.
【详解】
∵关于x的方程有实数解，
∴∆≥0，即4+4（1-2a）≥0，
∴a≤1，
故符合一元二次方程有实数解的a值是：-3，-1，，1；
，
去分母得：ax-1=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程有整数解，
∴a=-1或，
∴这5个数中所有满足条件的a值之和是-1+=-，
故选：B.
课程标准
课标解读
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．