高中数学必修第一册人教A版（2019）5.2 《三角函数的概念》教材分析

5.2三角函数的概念

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系.

难点：影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，三角函数的定义方式的理解，三角函数内在联系性的认识.

三、教科书编写意图及教学建议

学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，主要是理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题.

三角函数的引入有两种不同的路径，一种是把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的（形式）推广，利用角的终边上点的坐标比定义三角函数；另一种是直接从建立周期现象的数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系.教科书采用第二种路径，原因是三角函数是周期函数，与锐角三角函数没有必然联系.同时，直接从描述周期现象的需要出发，有利于学生把握三角函数的研究对象及其本质，而且能更自然地借助单位圆抽象三角函数的定义，确定三角函数的研究内容，探寻研究方法.特别是可以借助单位圆，从圆的性质（特别是对称性）得到三角函数研究内容的启发，并且能引导学生通过数形结合的方法展开研究，以及借助单位圆记忆三角函数的性质和众多三角公式，从而发展学生的数学抽象、直观想象等素养.

利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点的横坐标、纵坐标、角、弧之间的联系，并且可以在角的变化过程中进行观察，发现其中的规律性.所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.

5.2.1 三角函数的概念

首先，教科书明确了研究任务：单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况.然后，分析点的坐标与以为终边的角之间的对应关系.最后，明确了点的横坐标和纵坐标都是角的函数的基础上，给出三角函数的定义，并引导学生用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、公式一以及同角三角函数的基本关系.

本节的研究路径是：明确研究对象—对应关系的特点分析—定义—性质.

1.三角函数的研究对象

明确研究对象是后续一切学习活动的基础.前面已经指出，三角函数的研究对象是周期现象，研究任务是建立一个函数来描述周期现象的变量关系，通过研究函数的性质来发现周期现象的变化规律.教科书通过“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的分析，使研究对象简单化、本质化；通过分析单位圆上点在旋转中各变量之间的相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念.教学中可以让学生思考：我们要研究的问题是什么？你认为可以如何研究？在明确研究对象、内容和思路的基础上再展开具体学习.

2.三角函数的定义

（1）首先需要说明，三角函数概念的建构过程与前面各类基本初等函数概念的建构过程都不一样.幂函数、指数函数等是通过具体实例的共性归纳而抽象出来的，而三角函数概念是直接由单位圆上点的运动规律的描述得到的.

建构三角函数的概念，是一个数学化的过程，教科书先利用已有的函数研究经验，在直角坐标系中对问题进行了重新叙述，即把问题归结为点的坐标与旋转角之间对应关系的探索.然后通过“探究”，引导学生从特殊到一般，对单位圆上点的坐标与相应的角之间的对应关系展开研究，得出“点的横坐标、纵坐标都是角的函数”的结论，接着再给出三角函数的定义.这是一个在一般函数概念指导下的探究活动，其思路是先确认“这样的对应关系是函数”，然后给出形式化定义.

上述处理方法与以往有较大的区别，为什么做出这样的改变呢？

显然，理解三角函数的定义，关键是明确它的对应关系.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数，与学生的已有经验有较大的距离.前面学习的函数，其解析式都有明确的运算含义.三角函数对应关系则与众不同，主要表现在不以“代数运算”为媒介.以前遇到的，，，等，都有“运算”的背景，而三角函数是“与，直接对应”，无须计算.虽然，，都是实数，但实际上是“几何元素之间的对应”.所以在“对应关系”的认识上必须采取措施破除定势，帮助学生搞清三角函数的“三要素”，特别是要先明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再给定义.这是在一般函数概念引导下的“下位学习”，不仅使三角函数定义的引入水到渠成，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质.

教学时要根据教科书的安排，让学生认真完成“当时，找出相应点的坐标”并强调点的坐标是唯一确定的，这实际上就是理解三角函数的对应关系的过程.在此基础上，让学生再确定几个特殊角所对应的点的坐标，然后可以借助信息技术，让学生观察任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础.

关于定义本身，教学中应当向学生指出，是一个任意角，同时它也是一个实数（弧度数）；“它的终边与单位圆交于点”实际上包含两个对应关系，即

实数（弧度）对应于点的纵坐标—正弦函数，

实数（弧度）对应于点的横坐标—余弦函数.

认识清楚上述对应关系是理解三角函数定义的关键.

这里，是一个整体，是正弦函数的一个记号，它的意义是“弧度的角的终边与单位圆交点的纵坐标”，就如表示以为底的对数一样.离开自变量的“”“”“”等是没有意义的.

（2）用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点.其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数；其次是使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础.例如，更有利于我们数形结合地讨论三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等.

（3）在建立三角函数的概念后，教科书通过探究栏目提出问题，让学生思考任意角的三角函数与锐角三角函数之间的关联.事实上，如图5-5，在中，，.由锐角三角函数的定义，有.

图5-5

把放在直角坐标系中，使锐角的顶点与原点重合，与轴的正半轴重合.在上取，使，作，交于，则根据任意角的三角函数定义，有.

因为，所以，当时，按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦，与按本节的三角函数定义求得的的正弦相等.对于余弦、正切也有相同的结论.

3.三角函数的定义域和函数值的符号规律

通过探究栏目，教科书让学生根据定义得出三角函数的定义域和函数值的符号规律.这个“探究”不难，可以由学生独立完成.教学中只要提醒学生注意角的终边与轴重合时，终边上所有点的横坐标为0，因此，正切函数的定义域不包括终边与轴重合的角.而对于三角函数值的符号，只要根据定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），就可以容易地得出判断.教学时，应当先对函数值的正负进行讨论，然后再将三个函数在各象限的符号填入图5.2-6中，并提醒学生把图5.2-6与三角函数的定义联系起来.

三角函数值的符号规律是三角函数的一条性质.在求一个角的三角函数值时，常常要根据这条性质，先确定符号再求绝对值，有时还要根据条件对三角函数值的符号进行讨论.

4.公式一

从研究一个数学对象的基本套路出发，给出三角函数的定义及其符号表示后，接着要从定义出发研究它的基本性质.三角函数的性质，除了单调性、奇偶性、最大值、最小值等以外，“与众不同”的是它的周期性，由此而使三角函数具有更丰富的性质.其中，三角函数取值的规律性、各三角函数的相互联系性就是值得研究的性质.这就是三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式所反映的性质.

公式一的本质是函数值重复出现，它是“单位圆上任意一点旋转整数周就回到原来的位置”的代数表示，可以直接由三角函数的定义得到，不存在理解的困难.关键是如何让学生发现和提出问题，也就是要“让学生想到那里去”，教学时要注意从研究方法的高度进行引导.例如，可以提出如下问题：

（1）前面研究了三角函数值的符号规律，你认为接着可以研究什么问题？（可以研究取值的规律）

2）三角函数的取值规律中，你认为有哪些特殊情况值得研究？（相等、互为相反数等）

（3）从三角函数的定义出发，你能发现什么时候三角函数取值相等吗？（由定义容易得到“终边相同的角的同一三角函数的值相等”，再将它符号化就得到公式一）

上述问题串不仅引导学生得到公式一，而且可以让学生进一步思考，还有哪些时候出现函数值相等或互为相反数？这样，后续其他诱导公式的引入也就水到渠成了.

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～内角的三角函数值.更重要的是，公式一从代数的角度揭示了三角函数值的周期变化规律，即“角的终边每绕原点旋转一周，函数值重复出现”，这体现了几何与代数的融合.为此，教科书在“边空”中作出了提示，教学时也要提醒学生关注这种数形对应.

5.关于去掉单位圆中的三角函数线的说明

与以往教科书不同，本套教科书根据《标准（2017年版）》的设置，去掉了正弦线、余弦线，原因是借助单位圆上点的坐标定义三角函数后，已经没有必要再用有向线段表示三角函数值了.实际上，正弦线、余弦线分别是正弦函数、余弦函数的一种几何表示，它们是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段.一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段就被看作带有方向，于是把它叫做有向线段.当有向线段与数轴平行时，就根据此线段的方向（从起点到终点）与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数.显然，因为“单位圆上点的坐标就是三角函数”，所以正弦线的值与正弦函数值完全一致，余弦线的值与余弦函数值也完全一致，所以就没有必要引入正弦线和余弦线了。

因为作正切函数图象的需要，所以正切线将在讨论正切函数的性质与图象时引入.

6.例题

例1是根据定义求一个角的三角函数值.需要先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标，再由定义得解.这道题的目的是巩固任意角三角函数的定义.

例2实际上是三角函数的“坐标比”定义.通过这道题的解答，可以使学生认识到，只要知道角的终边上的任意一点，就可以得出相应的三角函数值.于是，我们也可以用角的终边上任一点的坐标比来定义三角函数，这与利用单位圆上点的坐标定义三角函数是等价的.教学中应侧重引导学生思考这种等价性的原因，并让学生自己给出新的定义；

如图5-6，设是一个任意角，是终边上任意一点，点与原点的距离，那么：

（1）叫做的正弦，即；

（2）叫做的余弦，即；

（3）叫做的正切，即.

图5-6

教学中要引导学生分析这些函数值不会随点的改变而改变的原因.

例3和例4的目的都是巩固和加深对三角函数值的符号规律的认识.其中，例3的条件以一个不等式组出现，并结合了常用逻辑用语中的充要条件.教学时要让学生先把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.

例5是求三角函数值，由于还未学习其他诱导公式，这里仅限于能运用公式一把求这些角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值.这类题目虽然可以用计算器直接求出结果，但本题的目的是熟练运用公式一，所以应要求学生运用公式一先转化成锐角三角函数，然后再利用计算器求值.

5.2.2 同角三角函数的基本关系

从定义出发，用联系的观点提出问题，获得研究思路，这是数学研究中的常用思想.由三角函数的定义可知，三角函数的基本性质就是圆的几何性质的直接反映.因此，与圆的几何性质建立联系，为发现三角函数的性质提供思路，是研究三角函数的重要思想方法.教科书在本小节开头设置“探究”的目的，正是为了引导学生联系圆的基本性质，把单位圆的一些几何关系用坐标表示出来，进而获得一些三角函数的基本关系.

另外，公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等.因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系，同角三角函数的基本关系式就是这种内在联系的反映.

1.同角三角函数的基本关系式

（1）教科书首先关注了如何引导学生发现和提出问题.实际上，这里的发现和提出问题与象限角中发现和提出“终边相同的角的表示”、公式一是非常类似的.教学时要注意引导学生体会这里的问题是如何发现的.

（2）在“探究”的引导下，以单位圆上点的坐标的意义为基础，在单位圆中构造出直角三角形，是得到同角三角函数基本关系的关键.教学中可以引导学生先画出教科书中的图5.2-7，然后启发他们思考其中的几何关系.应当说，有了图5.2-7，由勾股定理得到同角三角函数的“平方关系”是容易的.另外，教科书根据三角函数的定义得出了“商的关系”，教学时也可以引导学生构造图形解释关系式.总之，讨论同角三角函数的基本关系时，数形结合思想起着非常重要的作用.

这里，“同角”有两层含义，一是角相同，二是对任意一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.

（3）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的平方的正弦，两者是不同的.教学时应使学生弄清它们的区别，并能正确书写.

（4）公式，的应用极为广泛，它们可以有许多等价形式，例如，

，；

，；

，.

2.例题

（1）例6是根据一个角的某个三角函数值求其余两个函数值，目的是让学生进一步熟悉同角三角函数的基本关系式.解决这类问题时，要先判断角是第几象限的，进而确定所求三角函数值的符号，然后再具体求解.

①如果已知某个三角函数值，且角所在的象限是确定的，那么只有一种结果.例如，已知，并且是第三象限角，求，的值.

②如果只给了某个三角函数值，那么要按角所在的象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组结果.例6就是这种情况.

对于例6的结果，要让学生知道，中的负号来自是第四象限角，这时取负值，取正值，所以取负值.可能有的学生会认为，“因为是第四象限角，所以”，这就错了.

另外，，的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，而不要用

，     （*）

的书写形式，这是因为，取正取负受着限制，不是无条件的，这不同于“由可以推出”这种情形.再说，采用了（*）式后，，的取值可以有“，”“，”“，”“，”四种搭配方式，这样就会产生四种不同结果.

（2）例7是恒等式的证明，目的是让学生通过三角恒等式的证明进一步理解同角三角函数的基本关系.证明恒等式常用以下方法：从一边开始证明它等于另一边（如例7的证法1），一般由繁到简，通过恒等变形得到另一个式子，从而推出原式成立；也可考虑选取与原式等价的式子（如例7的证法2），通过等价转化推出原式成立.

显然，第一种方法的依据是相等关系的传递性“，，则”；第二种方法的依据是等价转化思想，即“等价于，所以的充要条件是”.这样就产生了两种思维过程，并对应着两种证明方法.假设要证明的式子是，那么：

综合法：先证，再证与等价，由此可知（如例7的证法2）.

分析法：要证，只要证（与它等价的）.由可知.

注意，等价转化可以使用综合法或分析法；反过来，使用分析法或综合法时，却不一定要求等价转化.对于初学三角恒等式证明的学生，运用等价转化可以使他们的思路更清楚一些.

值得注意的是，用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的要求已经降低，像“已知，求的其他三角函数值”之类的题目都不作要求.教学中不必作太多的拓展、补充.