高中数学必修第一册人教A版（2019）4.4《对数函数》知识探究

《对数函数》知识探究探究点1 对数函数的概念判断一个函数是对数函数的依据:(1)形如;(2)底数满足,且;(3)真数为,而不是的函数;(4)定义域为.【要点辨析】学习对数函数概念的注意事项(1)对数符号前面的系数是1.(2)由指数式与对数式的关系知,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值,所以对数函数的定义域是.(3)对数函数中底数的限制条件:,且.学科素养:根据对数函数的概念、推测解释,从而解决问题,提升学生的数学抽象、数学运算核心素养.典例1  [概括理解能力]已知下列函数①;②;③;④是常数).其中是对数函数的是__________(只填序号).解析:本题主要考查根据对数函数概念判断命题是否成立,具体解题过程如下:根据对数函数的真数是,而不是的函数;对数函数的系数是1;对数函数的底数,且得到①②④都不是对数函数.答案:③探究点2 对数函数的图象与性质1.对数函数,且的图象特点(1)图象在轴右侧,且过点.(2)图象都无限地靠近轴,但不会与轴相交.(3)当时,图象自左向右“上升”,当时,图象自左向右“下降”.2.底数对函数图象的影响(1)底数与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当时,对数函数的图象“上升”;当时,对数函数的图象“下降”.(2)函数与,且的图象关于轴对称.(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是还是,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.①上下比较:在直线的右侧,时,越大,图象向右越靠近轴;时,越小,图象向右越靠近轴.②左右比较:比较图象与直线的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.(如图所示)【要点辨析】两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线右侧的部分是“底大图低”.(如图所示)学科素养:利用对数函数的图象与性质解决相关问题,提升学生的数学运算核心素养.典例2  [分析计算能力](1)(2018广东汕头一中期中)已知,且,则函数的图象必过定点_________.(2)若函数,且的图象恒过定点,则实数的值分别为_________.(3)(2018江苏徐州一中高一检测)设,,其中.①若,求的值;②若,求的取值范围.解析:通过对数函数的图象特征和基本性质分析计算解决本题.具体解题过程如下:(1)当即时,恒成立,所以的图象必过定点.(2)∵函数的图象恒过定点将代入,得,又当,且时,恒成立,∴.(3)①∵,∴,解得,经检验,在函数的定义城内,∴.②,即,∴解得,∴的取值范围为.探究点3 对数函数图象的变换1.常见的图象变换一般地,函数(为正数)的图象可由函数的图象变换得到.将的图象向左或向右平移个单位长度可得到函数的图象,再向上或向下平移个单位长度可得到函数的图象(记忆口诀:左加右减,上加下减)2.含有绝对值的函数的图象变换一般地,的图象是与直线对称的对称图形;函数的图象与的图象在轴上方相同,在轴下方关于轴对称.【要点辨析】常见的对数图象变换:学科素养:利用对数函数图象的变换解决对数型函数的图象问题,培养学生的直观想象核心素养.典例3  [观察记忆能力]函数是(    )A.B.C.D.解析:解决此类问题可以根据对数函数性质变换解析式,也可以观察图象,用排除法,具体解题过程如下:方法一:,而的图象与的图象关于轴对称,所以将的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象.方法二:根据定义域、单调性排除选项A、B、D.答案:C探究点4 几类函数模型的增长差异1.几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型的增长特点是直线上升,其增长速度不变.(2)指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧上升,形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.(4)幂函数模型:当时,幂函数是增函数,且当时,越大其函数值的增长就越快.2.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地,在区间上,尽管函数,和都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着的增大,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度会越来越慢.因此,总会存在一个,当时,就有.3.指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较性质函数在上的单调性递增递增递增增长速度越来越快越来越慢越来越快图象的变化随x的增大越来越陡随x的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同【要点辨析】1.进一步理解三个增长函数模型(1)直线上升,其增长量固定不变.(2)指数增长,其增长量成倍增加,增长速度是直线上升无法企及的,随着自变量的不断增长,直线上升与指数增长的差距越来越大,当自变量很大时,这种差距大得惊人,因此指数增长可以用“指数爆炸”来形容.(3)对数增长,其增长速度平缓,当自变量不断增大时,其增长速度小于直线上升的速度.2.选取上述三个增长函数模型时,应注意:(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型.(3)幂函数模型可以描述增长幅度不同的变化,当值较小时,增长较慢;当值较大时,增长较快.学科素养:通过分析函数模型的增长差异,解决函数相关问题,提升学生的数学建模、逻辑推理核心素养.典例4  [推测解释能力、分析计算能力](1)(2018四川宜宾二中月考)在一次数学实验中,采集如下一组数据:x-2.0-1.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02则的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中为待定系数)(    )A.B.C.D.(2)某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为(其中为常数,表示时间,单位:小时,表示病毒个数),则_________,经过5小时,1个病毒能繁殖__________个.(3)如图所示,函数和的图象交于点,且.①请指出示意图中曲线分别对应哪一个函数;②结合函数图象,比较,的大小.解析:(1)根据表中的数对画图象是解题的关键.如图:(2)用代入法解决本题,当时,,∴.当时,.(3)明确指数函数、对数函数、幂函数三种常见函数的递增特点是解决此类问题的关键.具体解题过程如下:①曲线对应的函数为,曲线对应的函数为.②∵,019.由图可知,当时,;当时,,且在上是增函数,∴.答案:(1)B   (2)