高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）说课ppt课件

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1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.(逻辑推理)2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.(数学建模)3.会应用一次函数、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题.(数学运算)
[激趣诱思]某餐厅经营盒饭生意,每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每盒盒饭的成本为15元,餐厅经营者为了对销售量做一个估计,试营业阶段最初的几天调整了定价,根据销售单价与日均销售量的关系制作下表:你能够帮助该经营者计算出每盒盒饭定价为多少时利润最大吗?本题的求解,要用到二次函数的知识,我们已经学习过一次函数、二次函数、幂函数等,这些函数都与现实世界紧密联系.本节课我们将通过一些实例感受它们的广泛应用,体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.
知识点一:常见的函数模型(1)一次函数模型.形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图象解题时,应注意:①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况;②一次函数的图象是一条直线.
(2)二次函数模型.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求最值,从而解决利润最大、用料最省等问题.(3)分段函数模型.这个模型实质是一次函数、正比例函数(形如y=kx,k≠0)、反比例函数(形如y= ,k≠0)、二次函数模型中两种及以上的综合.
微思考(1)在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?提示 通常需要先画出函数图象,再根据图象来确定两个变量的关系,选择函数类型.(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示 在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.
知识点二:实际问题的函数建模实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,结合对函数性质的研究,通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.一般步骤为:(1)设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的关系,并用x,y分别表示问题中的变量.(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域.(3)求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问题的解.
微练习某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销售中发现,这种商品每天的销量m(单位:件)与每件的售价x(单位:元)满足一次函数m=162-3x.若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为(　　)　　　　　　　　　　　　　A.30元 B.42元C.54元 D.越高越好答案 B解析 设每天的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x),30≤x≤54,将上式配方后得y=-3(x-42)2+432,当x=42时,y取得最大值.故每件商品的售价定为42元时,每天才能获得最大的销售利润.
例1在一次会展期间某企业向展销商销售一种商品,根据市场调查,每件商品售价x(单位:元)与销量t(单位:万件)之间的函数关系如图所示,又知供货价格与销量成反比,比例系数为50.(注:每件产品利润=售价-供货价格)
(1)求售价20元时的销量及此时的供货价格;(2)当销售价格为多少时总利润最大,并求出最大利润.
反思感悟 (1)一次函数模型的重要特征是均匀变化,且满足条件的点在一条直线上,求解时可设一次函数模型为y=kx+b,利用待定系数法建立方程(组)求k,b.(2)二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法结合函数的定义域求最值.
变式训练1两个城市之间用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次.(1)若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式;(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人,问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.
解 (1)设每日来回y次,每次挂x节车厢,由题意设y=kx+b.由已知可得解得k=-2,b=24.∴y=-2x+24(x>0,x∈N*).(2)设每日火车来回y次,每次挂x节车厢,设每日可营运S节车厢.则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72.所以当x=6时,Smax=72节.此时y=12,故每日最多运营人数为110×72=7 920(人).
例2某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?分析利润=销售收入-总的成本.由于本题中的销量只能为500件,但生产的数量不确定,所以模型确定为分段函数模型.
解 (1)当05时,产品只能售出500件.所以,
(2)当05时,f(x)<12-0.25×5=10.75.故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
反思感悟 (1)分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.(2)分段函数的最大值是各段最大值中最大的,分段函数的最小值是各段最小值中最小的.
变式训练2甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列各题:(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);(2)甲厂生产多少台该产品时,可使盈利最多?
解 (1)由题意得G(x)=2.8+x.(2)∵函数f(x)在区间(5,+∞)上单调递减,∴f(x)<8.2-5=3.2(万元).当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值为3.6.故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.
例3(2021黑龙江齐齐哈尔八中等校高一期中)为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金200万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与各自的资金投入a1,a2(单位:万元)满足 a2+120.设甲大棚的资金投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收入为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入,才能使总收入f(x)最大.
变式训练3某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图1,图2所示.
(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)
数学建模问题中的最值典例 (2021湖北武汉高一期末)某品牌手机公司的年固定成本为50万元,每生产1万部手机需增加投入20万元,该公司一年内生产x(x>0)万部手机并全部销售完.当年销售量x不超过40万部时,销售1万部手机的收入R(x)=380-5x万元;当年销售量x超过40万部时,销售1万部手机的收入(1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式;(2)年销售量为多少万部时,利润最大,并求出最大利润.
方法点睛 1.数学建模问题中利用已知条件建立函数关系式后应根据函数关系式的特征选择恰当的方法求最值,涉及一次函数常利用函数的单调性求最值,涉及二次函数常用配方法结合函数的定义域求值,而涉及形如y=ax+ (ab>0)的函数最值,可以结合函数的定义域选择利用基本不等式或函数的单调性求最值.2.对于分段函数的最值问题,还需要对各段的最值进行比较后确定.
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是(　　)A.一次函数模型B.二次函数模型C.分段函数模型D.无法确定答案 C解析 由s与t的图象,可知t分4段,则函数模型为分段函数模型.
2.(2020广东深圳中学高一期中)已知等腰三角形的周长为40 cm,底边长y(单位:cm)是腰长x(单位:cm)的函数,则函数的定义域为(　　)A.(10,20)B.(0,10)C.(5,10)D.[5,10)答案 A
3.(2021四川泸州泸县五中高一月考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为 x2+2x+20万元,商品的售价是每件20元,为获取最大利润(利润=收入-成本),该企业一个月应生产该商品数量为(　　)A.9万件B.18万件C.22万件D.36万件答案 B
4.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为(　　)A.60安B.240安C.75安D.135安答案 D解析 设比例系数为k,则电流强度I=kr3,由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k= =5,所以I=5r3,则当r=3时,I=5×33=135(安).
5.(2021贵州安顺高一期末)某城市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小时6元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台120元,超过30小时的部分每张球台每小时3元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动,活动时间不少于10小时,也不超过40小时,设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元,在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元.(1)试分别写出f(x)与g(x)的解析式;(2)选择哪家比较划算?请说明理由.
解 (1)由题设有f(x)=6x(10≤x≤40),(2)令6x=120时,解得x=20∈[10,30];令6x=30+3x,解得x=10∉(30,40],所以当10≤x<20时,f(x)g(x),选乙家比较合算.