高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征精品课时作业

7.3.2 离散型随机变量的方差（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础 

一、单选题

1．（2022秋·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）若随机变量X的概率分布表如下：

则（    ）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16

【答案】C

【详解】根据概率的性质可得，

所以，

所以，

故选:C.

2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）随机变量的分布列是.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可知，，解得，

所以.

故选：B.

3．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）已知随机变量X满足，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】，得，

，.

故选：C

4．（2022·高二课时练习）设，若随机变量ξ的分布列如下：

则下列方差值中最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意，，

，，

，

．

，，．

其中最大．

故选：C．

5．（2022秋·广东梅州·高二校考期中）若随机变量的分布列如下：

则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意得，解之得，

，

则

，

故当时，取得最大值.

故选：C.

6．（2022秋·山西临汾·高二校联考期中）已知随机变量满足，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【详解】因为，，

所以，，

即，.

故选：A.

7．（2022·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考期末）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：

（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量

（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量

则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】根据题意，，，，分布列如下：

根据题意，，，，分布列如下：

，，

，，

可得，

故选：C.

8．（2022·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（    ）

A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

【答案】A

【详解】由分布列的性质：，可得，

∴，，

∴，

又，

∴在上增大时，增大.

故选：A

二、多选题

9．（2022秋·江苏常州·高二校考阶段练习）设离散型随机变量的分布列为：

若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【详解】对A：由，解得，故A正确；

对B：，

，故B正确；

对C：，故C正确；

对D：，故D错误.

故选：ABC.

10．（2022秋·河北衡水·高二校考期中）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【详解】已知表示小球落入格子的号码，则的所有取值范围为，，，，，，

则，由对称性可知，

而，

，

所以，

综上得选项BC正确．

故选：BC

三、填空题

11．（2022·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为：

若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．

①；②；③；④．

【答案】①③

【详解】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，

则，

，

所以①③正确；

又由离散型随机变量Y满足，所以，

，所以②④错误，

故答案为：①③．

12．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量取值，，，，的概率均为0.2，随机变量取值，，，，的概率也均为0.2．若记，分别为，的方差，则______（填“”“”或“”）．

【答案】

【详解】互不相等

，

∴，记作，

∴

，

同理，

∵，…，，

∴，

∴．

故答案为：.

四、解答题

13．（2022秋·江西南昌·高二南昌市八一中学校考期末）冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等.

(1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率；

(2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差．

【答案】(1)

(2)，

(1)

设“选出的名同学是来自互不相同大学”为事件，

 则，

所以选出的名同学是来自互不相同大学的概率为；

(2)

随机变量的所有可能值为，，，，4.

，

∴，，

，，.

所以随机变量的分布列是： 

=

．

14．（2022秋·辽宁·高二渤海大学附属高级中学校考阶段练习）有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示．

(1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为，求的分布列．

(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率．

(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由．

【答案】(1)分布列见详解

(2)0.49

(3)甲公司，理由见详解

(1)根据题意可知：随机变量的可能取值有：0，1，2

随机变量的分布列为：

(2)小方月薪高于小芳月薪的概率：

(3)入职甲公司，月薪的期望为，

方差

入职乙公司，月薪的期望为

方差

乙公司月薪高于甲公司的概率为

即，

即两家公司月薪的期望相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司的月薪概率更大，故选甲公司．

 B能力提升 

15．（2022·高二课时练习）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下：

假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.

(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；

(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：

根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.

【答案】(1)

(2)见解析

（1）

由题意可知名被采访者中，预测中国经济前景为“乐观”的人数为人，概率为0.2，

若又随机访问了两名业内人士，至少有一个预测中国经济前景为“乐观”的概率为.

（2）

由题意可知，预测中国经济前景为“乐观”的概率为，

预测中国经济前景为“尚可”的概率为，

预测中国经济前景为“悲观”的概率为

设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为，，

方差分别为，

则，

，

，

，

则，

投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高，但二者相差不大.

,

投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高，风险要小，

建议投资人工智能项目.

16．（2022春·江苏宿迁·高二沭阳如东中学期末）现有A，B两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为随机变量（万元），根据市场分析，的分布列为：

投资B项目100万元，一年后获得的利润（万元）与B项目产品价格的调整（价格上调或下调）有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是p（0≤p<1）．

经专家测算评估B项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表：

（1）求的方差；

（2）求的分布列；

（3）若p=0.3，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目？

（参考数据：1.22×0.49+0.72×0.42+9.82×0.09=9.555）．

【答案】（1）0.01；（2）分布列见解析；（3）从获得稳定收益考虑, 当p=0.3时应投资A项目.

【详解】（1）依题意，，

所以．

（2）设表示事件”第i次调整，价格下调”（i=1，2），则；

； ，

所以的概率分布列为：

（3）当p=0.3时，，

，

由（1）知，，当投资两个项目的利润均值相同的情况下，投资B项目的风险高于A项目，

所以从获得稳定收益考虑，当p=0.3时应投资A项目．

C综合素养

17．（2022·高二课时练习）如图，某工人的住所在处，上班的企业在处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口，环城北路经过学校的路口，中间路线经过商场的路口．如果开车到五个路口因遇到红灯而堵车的概率分别为，再无别的路口红灯.

(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?

(2) 对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差.

【答案】(1) 这位工人应该选择行驶路线（2）

【详解】（1）设这位工人选择行驶路线、、的分别堵车、、次，则、1、2；、1、2、3

由于 ，，，则期望值

由于 ，，，则期望值

由于 ，，

，,则期望值.

比较知最小，所以这位工人应该选择行驶路线

（2）已求 最小，且 ，，，

则  ，

所以符合题意的方差为