高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征精品习题

7.3.1 离散型随机变量的均值（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础 

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（    ）

A．36元 B．37元 C．38元 D．39元

【答案】B

【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）

故选：B

2．（2022秋·北京顺义·高二统考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（    ）

A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3

【答案】D

【详解】解：依题意可得，解得，

所以；

故选：D

3．（2022秋·北京大兴·高二统考期末）已知离散型随机变量的期望，则等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】解：因为，

所以.

故选：C.

4．（2022·高二课时练习）若离散型随机变量的分布列如下表，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由期望的计算公式，可得．

故选：D

5．（2022·高二课时练习）为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【详解】记抽到自己准备的书的学生人数为X，则X的可能取值为0，1，2，4，

；；

；，

则．

故选：B．

6．（2022秋·陕西咸阳·高二校考期末）某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为，故，

又，故，解得，当且仅当，即时等号成立.

故选：B.

7．（2022春·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】X的所有可能取值为1,2,3，

，，，

由，

解得或，

又因为，所以.

故选：A.

8．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设非负随机变量的所有可能取值按从小到大依次为,对应的概率分别为设满足的有,,,因为,所以

故选：D

二、多选题

9．（2022秋·河北承德·高二校联考阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表所示．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】依题意得，解得，，，

故选：AC．

10．（2022·高二单元测试）为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在某市中小学中随机抽取了10所学校，这10所学校中了解这个项目的人数如图所示.若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（    ）

A．X的取值范围为 B．

C． D．

【答案】BC

【详解】由题意知10所学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数为4个，

故X的取值范围为，故A错误；

由此可得 ,故B，C正确；

又，

故，故D不正确，

故选：BC

三、填空题

11．（2022春·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）马老师从课外资料上抄录了一个随机变量的分布列如下表：

请小牛同学计算随机变量的数学期望尽管“”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能判定这两个“”处的数值相同，据此，小牛同学给出了正确答案．即______．

【答案】

【详解】设，则，.

故答案为：.

12．（2022·全国·高三专题练习）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其平均每月参与马拉松训练的天数进行统计，得到下表：

依据上表，用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取3人，记抽取的3人中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为Y，则___________.

【答案】65##1.2

【详解】用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，其中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为，

随机变量Y的取值范围为，

，，

，，

所以.

故答案为：

四、解答题

13．（2022春·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.

(1)分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；

(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)；.

(2)分布列见解析，.

【详解】（1）设“3轮获胜”为事件，“5轮获胜”为事件，

3轮：白黑黑：，黑白黑：，

所以，先摸球者3轮获胜的概率为

若进行5轮，前四个球的情况为：黑白白白：，白黑白白：，白白黑白：，白白白黑：，

所以，先摸球者5轮获胜的概率为

（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为.

X的所有可能取值为：0､1､2､3，

，

，

，

，

所以X的分布列为：

则.

14．（2022·河南开封·统考一模）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为．

(1)求的值；

(2)记“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为，求的分布列与期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【详解】（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为，

所以，解得．

（2）设表示事件“甲在两轮中猜对个成语”，表示事件“乙在两轮中猜对个成语”，根据独立性假定，得，，，

，，，的可能取值为0，1，2，3，4，所以

，，

，

，，

的分布列如下表所示：

．

15．（2022春·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）某校为丰富同学课余生活，活跃校园气氛，促进年级之间的友好关系，决定在高二､高三之间进行知识抢答赛，比赛规则如下：每个年级选出3名同学参加比赛，第一场比赛从两个年级的3名同学中各出1人进行抢答，失败者淘汰，失败者所在年级的第二名同学上场，以此类推，直至一方年级的3名同学全部淘汰，比赛结束.已知每个年级的3名同学之间已经排定好比赛顺序，且每个同学在每场比赛中胜利或失败的概率均为.

(1)求比赛结束时刚比赛完第四场的概率；

(2)已知其中一个年级的同学甲排在第二个上场，求甲所参加的比赛场数的分布列与数学期望.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【详解】（1）打完第四局结束,则赢的一方只能输一局且只能为前三局

设比赛结束时刚比赛完第四场为事件

（2）设甲参加的比赛场数为, 可能的取值为.

当时,

当时,

当时,

当时,

的分布列为则随机变量的分布列为：

则数学期望为

．

 B能力提升 

16．（2022春·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知某种零件成箱包装，件一箱.为了保障零件的质量，每箱零件在交付用户之前，需对零件的安全指标进行检验，如检出不合格品，则需要更换为合格品.检验时，先从这箱零件中任取几件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验，设每件零件是不合格品的概率都为，且各件零件是否为不合格品相互独立.

(1)若从这箱零件中任取件作检验，求件零件中恰有件不合格品的概率.

(2)现对一箱零件检验了件，结果恰有件不合格品，设每件零件的检验费用为（）元，考虑到每件零件的成本费，不超过，如果有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用.现以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据，工厂将不对这箱余下的所有产品作检验，试求出的所有可能取值.

【答案】(1)0.243

(2)

【详解】（1）由题意，件零件中恰有件不合格品的概率：.

（2）令表示余下的90件产品中的不合格品数，依题意知，，

，

若对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为元，

，

解得，又由，，

故的所有取值集合为.

17．（2022春·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）某班级50名学生的考试成绩分数X分布在区间内，设考试分数X的分布频率是且，考试成绩采用“5分制”，规定分数在的成绩记为1分，分数在的成绩记为2分，分数在的成绩记为3分，分数在的成绩记为4分，分数在的成绩记为5分．现从这50名学生中采用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分、3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽取3人，记者人的乘积之和为（将频率视为概率）．

(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数；

(2)求；

(3)求的分布列与数学期望.

【答案】(1)；

(2)

(3)分布列见解析；期望为7

【详解】（1）解：因为，

所以，所以；

考试分数在，，，，，，，，，内的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，

销售量的平均数为（分；

（2）解：成绩为1分的频率为，成绩为2分的频率为，成绩为3分的频率为，

所以成绩为1分的学生抽取人，

成绩为2分的学生抽取人，

成绩为3分的学生抽取人，

；

（3）解：由（2）知，的可取值为：5，6，7，8，9，

，

，

，

，

，

所以的分布列为：

所以.

C综合素养

18．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为．

(1)证明：在的概率分布中，最大．

(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．

【答案】(1)证明见解析

(2)应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小，证明见解析

【详解】（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

∵，∴，

所以概率最大．

（2）由（1）知，当时，有的值最大，

且，，

所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．

证明如下：

假设，，为，，的任意一个排列，即若甲、乙、丙按照某顺序派出，

该顺序下三人能完成项目的概率为，，，记在比赛时所需派出的人数为，则，2，3，且的分布列为：

数学期望，

∵，∴，

要使尽可能小，则需要尽可能大， 故当取时最小，所以，

∴，

所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．