人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征精品精练

7.3.1 离散型随机变量的均值 (精讲）

目录

一、必备知识分层透析

二、重点题型分类研究

题型1: 两点分布的均值

题型2：离散型随机变量均值公式及性质

题型3：离散型随机变量的均值

题型4：由离散型随机变量的均值求参数

题型5：均值的实际应用

三、高考（模拟）题体验

一、必备知识分层透析

知识点1：离散型随机变量的均值

（1）离散型随机变量的均值的概念

一般地，若离散型随机变量的概率分布为：

则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望.

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.

（2）离散型随机变量的均值的深层理解

①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即.

②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.

③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态.

（3）两点分布的均值公式

  一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:

（4）均值的性质

①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.

②若与相互独立，则.

知识点2：样本均值与离散型随机变量均值的比较

（1）样本均值

样本数据；；；；记

均值：，其中.

（2）离散型随机变量均值

离散型随机变量的分布列

均值

知识点3：求离散型随机变量的均值步骤

(1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值.

(2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤.

(3)求出离散型随机变量取每个值的概率.

(4)写出离散型随机变量的分布列.

(5)利用均值的定义求.

其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义.

二、重点题型分类研究

题型1: 两点分布的均值

典型例题

例题1．（2022秋·江苏苏州·高二校考期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ）

A．0 B．1 C．0.3 D．

例题2．（2022秋·江苏南通·高二校考期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ）

A． B． C． D．

同类题型演练

1．（2022秋·山西太原·高二校考期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

2．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆市东风中学校考期中）若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

3．（2022秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习）两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

题型2：离散型随机变量均值公式及性质

典型例题

例题1．（2022秋·黑龙江绥化·高二校考期末）设的分布列如表所示，又设，则等于（       ）

A． B． C． D．

例题2．（2022秋·广东广州·高二统考期末）设离散型随机变量的分布列为，，，则=（    ）

A．2 B．1 C．-1 D．-2

例题3．（2023·全国·高三专题练习）随机变量，满足，且，则___________.

例题4．（2023·全国·高三专题练习）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________.

例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为

设，则的值为____

同类题型演练

1．（2022秋·河北保定·高二校联考阶段练习）已知随机变量满足，则（    ）

A．或4 B．2 C．3 D．4

2．（多选）（2022·高二课时练习）（多选）已知随机变量的分布列为：

若，则以下结论正确的是（    ）A．无法确定 B．

C． D．

3．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的期望为15，则___________.

4．（2022秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）设的分布列为

又，则______．

5．（2022秋·湖北·高二统考期末）已知随机变量X的分布列为

则________，________．

题型3：离散型随机变量的均值

典型例题

例题1．（2023·高二课时练习）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击了一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分，他向乙靶射击了两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成了以上三次射击．

(1)求该射手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分的数学期望．

例题2．（2023·高二课时练习）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果取到次品就不再放回去，然后再取一个零件，重复上述步骤，直至取到正品为止，求在取到正品之前已取出的次品数的期望．

例题3．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为，，，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过，，三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．

(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．

(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．

例题4．（2023·全国·高三专题练习）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为．

(1)证明：；

(2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．

同类题型演练

1．（2023·全国·高三专题练习）甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．

(1)求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；

(2)记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．

2．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中.

(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值，在此基础上，设进入决赛的人数为，求的分布列及数学期望.

3．（2023·全国·高三专题练习）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有个人，把这个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这个人的血液全为阴性，因而这个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．核酸检测通常有两种分组方式可以选择：方案一：10人一组；方案二：8人一组．

(1)分别求出采用方案一和方案二中每组的化验次数的分布列和数学期望；

(2)若该社区约有2000人，请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由．

（参考数据：，）

4．（2023·全国·高三专题练习）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．

(1)求该团队能进入下一关的概率；

(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．

题型4：由离散型随机变量的均值求参数

典型例题

例题1．（2023·全国·高三专题练习）某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例题2．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（    ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·高二课时练习）在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次，一旦命中目标，则停止射击，否则一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为，射击次数为，若的数学期望，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为：

其中，随机变量的期望为，则当取得最小值时，_________．

同类题型演练

1．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X的分布列如下所示，且，则a､b的值分别是（    ）

A．0.1，0.4 B．0.4，0.1

C．0.3，0.2 D．0.2，0.3

2．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知随机变量的分布列如下：

且，则的值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．（2022秋·河北邯郸·高二校联考阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为

若，则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

4．（2022秋·山东济宁·高二统考期中）已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为：

则a，b的值分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

题型5：均值的实际应用

典型例题

例题1．（2022春·江苏徐州·高三期末）有9只不同的实验产品，其中有4只不合格品、5只合格品．现每次取一只测试，直到4只不合格全部辨别出为止．

(1)若最后1只不合格品正好在第6次测试时被发现，不同的情形有多少种？

(2)记4只不合格品全部辨别出来所需测试的次数为，求的分布列和数学期望．

例题2．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）学校在军训过程中要进行打靶训练，给每位同学发了五发子弹，打靶规则：每个同学打靶过程中，若连续两发命中或者连续两发不中则要停止射击，否则将子弹打完.假设张同学在向目标射击时，每发子弹的命中率为.

(1)求张同学前两发只命中一发的概率；

(2)求张同学在打靶过程中所耗用的子弹数的分布列与期望.

例题3．（2022·浙江·模拟预测）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.

(1)如图进行一次高尔顿板试验，求小球落入6号球槽的概率；

(2)某商场店庆期间利用如图的高尔顿板举行有奖促销活动，顾客只要在商场购物消费每满800元就能得到一次抽奖机会，如消费400元没有抽奖机会，消费900元有一次抽奖机会，消费1700元有两次抽奖机会等，一次抽奖小球掉入号球槽得到的奖金为（元），其中.

（ⅰ）求一次抽奖的奖金（元）的分布列及数学期望；

（ⅱ）已知某顾客在商场消费2000元，设他所得的奖金为（元），求.

例题4．（2022秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）甲同学参加某个知识答题游戏节目，共需要完成且次答题．若每次回答正确的概率为，回答错误的概率为，且各次答题相互独立．规定第一次答题时，回答正确得20分，回答错误得10分，第二次答题时，设置了两种答题方案供选择，方案一：回答正确得50分，回答错误得0分．方案二：若回答正确，则获得上一次答题分数的两倍，回答错误得10分．从第三次答题开始执行第二次答题所选方案，直到答题结束．

(1)以累计的总分作为参考依据，如果，甲选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由；

(2)记甲第次获得的分数为，期望为，且选择方案二，求．

同类题型演练

1．（2022·河南·统考一模）甲、乙两家公司生产同一种零件，其员工的日工资方案如下：甲公司，底薪140元，另外每生产一个零件的工资为2元；乙公司，无底薪，生产42个零件以内（含42个）的员工每个零件4元，超出42个的部分每个5元．假设同一公司的员工一天生产的零件个数相同，现从这两家公司各随机选取一名员工，并分别记录其30天生产的零件个数，得到如下频数表：

甲公司一名员工生产零件个数频数表

乙公司一名员工生产零件个数频数表

若将频率视为概率，回答以下问题：

(1)现从记录甲公司某员工30天生产的零件个数中随机抽取3天的个数，求这3天生产的零件个数都不高于39的概率；

(2)小明打算到甲、乙两家公司中的一家应聘生产零件的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小明做出选择，并说明理由．

2．（2022·浙江·模拟预测）某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．

(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；

(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．

3．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对着8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌片产生效果的概率为．

(1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率；

(2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数的数学期望为，求证：．

4．（2022春·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊比赛，约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．己知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，甲赢的概率为，甲与丙比赛，甲赢的概率为，其中．

(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？

(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金13万元，负队获奖金3万元；若平局，两队各获奖金4万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计万元，求的数学期望的取值范围．

三、高考（模拟）题体验

1．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·云南·统考二模）某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·四川雅安·统考二模）2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求．在北京冬季奥运会的某个比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、花样滑冰（）、跳台滑雪（）、自由滑雪（）、雪车（）这6个项目随机选择3个比赛项目现场观看（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的3个观察项目中当天会决出奖牌的项目数的均值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

4．（2022·浙江·模拟预测）现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是__________．

5．（2022·浙江·模拟预测）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.

6．（2022·浙江·模拟预测）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为，且相互独立．甲选手依次对所有n个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．

(1)当时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；

(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．

7．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．

(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；

(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，

（i）试证明数列为等比数列；

（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．

8．（2022·浙江·统考高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．