高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布精品复习练习题

7.4.1 二项分布 (精讲）

目录

一、必备知识分层透析

二、重点题型分类研究

题型1: 重伯努利试验的判断

题型2: 重伯努利试验的概率问题

题型3：二项分布及其应用

题型4：二项分布的均值与方差

题型5：重伯努利试验与二项分布综合应用

三、高考（模拟）题体验

一、必备知识分层透析

知识点1：重伯努利试验(次独立重复试验)

（1）重伯努利试验的定义

①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.

（2）重伯努利试验的特征

①每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变；

②各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响；

③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的

（3）重伯努利试验的概率公式

一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) .

知识点2：二项分布

（1）二项分布

一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.

如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．

（2）明确二项分布中的各量表示的意义

：伯努利试验的次数

： 事件发生的次数

：每次试验中事件发生的概率

分布列：，

结论：随机变量服从参数为,的二项分布

记法：记作,并称为成功概率

（3）二项分布的均值与方差

若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, .

二、重点题型分类研究

题型1: 重伯努利试验的判断

典型例题

例题1．（2022·高二课时练习）重伯努利试验应满足的条件：

①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；

③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．

其中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④

例题2．（多选）（2022·高二课时练习）（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）．

A．依次投掷四枚质地不同的硬币

B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次

C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球

D．小明做道难度不同的数学单选题

同类题型演练

1．（2021·高二课时练习）判断下列试验是不是重伯努利试验.

（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，次正面向上；

（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次，其中次击中；

（3）口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球，恰好抽出个白球．

2．（2022·高二课时练习）n重伯努利试验的定义及特征

（1）定义：将一个伯努利试验______________进行__________所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

（2）特征：①同一个伯努利试验重复做__________．

②各次试验的结果__________．

题型2: 重伯努利试验的概率问题

典型例题

例题1．（2022秋·山东淄博·高二统考期末）若，则取得最大值时，（    ）

A．4或5 B．5或6 C．10 D．5

例题2．（多选）（2022秋·山东·高二校联考阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的号码，则（    ）

A． B． C． D．

例题3．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知随机变量服从二项分布，则___________.（结果表示为最简分数）

例题4．（2022秋·四川资阳·高二校考期中）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)求甲正确完成两个面试题的概率；

(2)求乙正确完成面试题数的分布列．

同类题型演练

1．（2022春·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______．

2．（2022秋·河南三门峡·高一统考期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取五局三胜制（当一人赢得三场胜利时获胜，比赛结束）．根据他们以往交手成绩，甲胜的概率为0.6，若各局比赛结果相互独立，则甲以获胜的概率是______．

3．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．

(1)求甲被录用的概率；

(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．

4．（2022·全国·高三专题练习）某市民法律援助热线电话接通率为，小李同学及其父母3人商定明天分别就同一问题咨询该服务中心，且每人只拨打1次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．

题型3：二项分布及其应用

典型例题

例题1．（2023春·北京丰台·高三统考期末）非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)求的值；

(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为,用频率估计概率，求的分布列及数学期望；

(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为，若中位数的估计值为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）

例题2．（2023·高二课时练习）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．

(1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；

(2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布；

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

例题3．（2023·全国·高三专题练习）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．

(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．

同类题型演练

1．（2023·全国·高三专题练习）某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分．一位顾客可最多连续参加次游戏．

(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；

(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？

2．（2023·全国·高三专题练习）产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.

(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.

（i）求5个样品全部测试合格的概率；

（ii）求4个样品测试合格的概率.

(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.

3．（2023·全国·高三专题练习）随着近期我国不断走向转型化进程以及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式.但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有些风险不可控制的，某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策：已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元：创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元：项目没有成功则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励.

(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为（单位：万元），若的概率为，求的大小：

(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的数学期望最大？

4．（2023·全国·高三专题练习）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中男子个人赛的规则如下：

①共滑行5圈（每圈），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；

②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；

③如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；

④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.

已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.

(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；

(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.

题型4：二项分布的均值与方差

典型例题

例题1．（2023·全国·高三专题练习）产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.

(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.

（i）求5个样品全部测试合格的概率；

（ii）求4个样品测试合格的概率.

(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.

例题2．（2023·全国·高三专题练习）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．

(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．

例题3．（2023·全国·高三专题练习）2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，

假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，

(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；

(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．

例题4．（2022春·江西·高三校联考阶段练习）某市体育中考由平时体育成绩和体育测试成绩两部分组成，满分为分，其中平时体育成绩占分，体育测试成绩占分．现从该市某学校参加中考的九（）班、九（）班两个班级学生中随机抽取了各名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：

(1)从该校九（）班的学生中随机抽取人，表示这人成绩不低于分的人数，求的分布列、数学期望和方差；

(2)试确定为何值时，使得抽取的九（）班成绩的方差最小，并说明理由．

同类题型演练

1．（2023·全国·高三专题练习）为迎接党的“二十大”胜利召开，学校计划组织党史知识竞赛.某班设计一个预选方案：选手从6道题中随机抽取3道进行回答.已知甲6道题中会4道，乙每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响.

(1)分别求出甲、乙两人答对题数的概率分布列；

(2)你认为派谁参加知识竞赛更合适，请说明你的理由.

2．（2023·全国·高三专题练习）第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日在北京和张家口联合举办.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的大热潮.某市举办了中学生滑雪比赛，从中抽取40名学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图.

(1)求频率分布直方图中的值，并根据直方图估计该市全体中学生的测试分数的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保留一位小数）；

(2)将频率作为概率，若从该市全体中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X，求X的分布列及数学期望.

3．（2022·高二课时练习）某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女学生各25名，将他们的成绩（单位：分）记录如下：

(1)从该校参加活动的男生中随机抽取3人，X表示这3人成绩不低于80分的人数，求X的分布列、数学期望和方差；

(2)试确定a，b为何值时，使得抽取的女生成绩的方差最小，并说明理由．

4．（2022秋·浙江宁波·高二校联考期中）某高中设计了一个生物实验考查方案：考生从5道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过，已知5道备选题中考生甲有3道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．

题型5：重伯努利试验与二项分布综合应用

典型例题

例题1．（2022·河北·校联考模拟预测）小明和小红进行抛掷硬币比赛，规定小明和小红每人抛6次.小明得分规则为每连续抛掷次结果相同则得分（规定连续抛掷结果不同不得分，如正反正反正反不得分，正正反正反反得4分），小红每抛掷一次正面结果则得2分，得分高者获胜.

(1)求小红得8分的概率；

(2)求小明得分的分布列和期望，并比较两人谁获胜的概率大？

例题2．（2022春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.

(1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.

例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．

(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；

(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为，求的分布列及数学期望；

(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．

同类题型演练

1．（2022·高二单元测试）某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需的费用为500元．

(1)求系统G不需要维修的概率；

(2)该电子产品共由3个完成相同的系统G组成，设该电子产品系统维修所需的费用为Y元，求Y的均值与方差；

(3)为提高系统G正常工作的概率，在系统G内增加2个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后，若有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个系统G正常工作的概率？

2．（2022·全国·高三专题练习）某商场为吸引顾客，增加顾客流量，决定开展一项有奖游戏．参加一次游戏的规则如下：连续抛质地均匀的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分．一位顾客可最多连续参加次游戏．

(1)求顾客甲在一次游戏中正面朝上次数的分布列与期望；

(2)若连续参加游戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖．顾客乙准备连续参加次游戏，则他获得这份大奖的概率多大？

3．（2022·全国·高三专题练习）3月30日，由中国教育国际交流协会主办的2022联合国国际教育日—中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为（每项得分不考虑平局的情况）．

(1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率；

(2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

4．（2022秋·广西北海·高二统考期末）现有甲，乙两名篮球运动员，甲､乙两人各投篮一次，投中的概率分别和，假设每次投篮是否投中，相互之间没有影响.（结果需用分数作答）

(1)求甲投篮3次，至少有2次未投中的概率；

(2)求两人各投篮2次，甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率；

(3)设乙单独投篮3次，用表示投中的次数，求的分布列和数学期望.

5．（2022秋·河北唐山·高二唐山一中校考阶段练习）为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为900元.

(1)求系统需要维修的概率；

(2)该电子产品共由3个系统组成，设为电子产品所需要维修的费用，求的分布列和数学期望.

三、高考（模拟）题体验

1．（2022·浙江·模拟预测）若离散型随机变量，，且，则为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·吉林长春·统考模拟预测）已知随机变量，下列表达式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（    ）

A． B．

C． D．

4．（2022·天津南开·南开中学校考模拟预测）盒中有大小相同的6个红球，4个白球，现从盒中任取1球，记住颜色后再放回盒中，连续摸取4次．设表示连续摸取4次中取得红球的次数，则的数学期望______．

5．（2022·河南开封·河南省杞县高中校联考模拟预测）在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，金陵中学高二某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学们的一致好评．设随机变量，记，，1，2，…，n．在研究的最大值时，该小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当k取的整数部分，则是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为______的概率最大．

6．（2022·河南安阳·统考模拟预测）产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.

(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.

（i）求5个样品全部测试合格的概率；

（ii）求4个样品测试合格的概率.

(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.

7．（2022·陕西西安·交大附中校考模拟预测）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．

(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．