北师大版2 探索直线平行的条件精品课时练习

2.2 探索直线平行的条件

同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。

内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。

同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。

三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。

【速记同位角、内错角与同旁内角】

平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，

如：直线a与直线互相平行，记作a∥，读作a平行于b。

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合

平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

几何描述 ：∵∥a，∥a

　　　　   ∴∥

平行线的判定

判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　     简称：同位角相等，两直线平行

几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　     简称：内错角相等，两直线平行

几何符号语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　     简称：同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

【题型一】同位角、内错角、同旁内角的判断

【典题】（2022春·山东济宁·七年级统考期中）已知图①～④，

在上述四个图中，∠1与∠2是同位角的有（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①

【答案】C

【分析】根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的角叫做同位角”进行判断即可．

【详解】图①③中，∠1与∠2是同位角；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了同位角的定义，解题关键是掌握同位角的构成形式．

巩固练习

1．（）（2022春·广东惠州·七年级校考期末）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　）

A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4

【答案】B

【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据此定义即可得出答案．

【详解】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，

∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，

故选：B．

【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题的关键是熟记内错角和同位角的定义．

2．（）（2022春·山东德州·七年级校考期中）下列图形中，与是同旁内角的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据同旁内角的定义去判断

【详解】∵A选项中的两个角，符合同旁内角的定义，

∴选项A正确；

∵B选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，

∴选项B错误；

∵C选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，

∴选项C错误；

∵D选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，

∴选项D错误；

故选A．

【点睛】本题考查了同旁内角的定义，结合图形准确判断是解题的关键．

3．（）（2022春·河南信阳·七年级统考期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（    ）

A．1与5是同位角 B．3与6是同旁内角

C．2与4是对顶角 D．5与2是内错角

【答案】D

【分析】根据同位角、对顶角、同旁内角以及内错角的定义对各选项作出判断即可．

【详解】解：A、∠1与∠5是同位角，故本选项不符合题意；

B、∠3与∠6是同旁内角，故本选项不符合题意．

C、∠2与∠4是对顶角，故本选项不符合题意；

D、∠5与2不是内错角，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了同位角、对顶角、同旁内角、内错角的定义，解答此题的关键是确定三线八角，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

4．（）（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），下列三幅图依次表示（   ）

A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角

C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角

【答案】B

【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．

【详解】解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知

第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．

所以B选项是正确的，

故选B．

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，属于简单题，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．

【题型二】平行线的判定

【典题】（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解．

【详解】解：若，则，故本选项不符合题意；

B、若，则，故本选项不符合题意；

C、若，则，故本选项符合题意；

D，若，则，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022秋·河北保定·八年级校考期末）如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（　　）

如图，已知，，求证：与平行．证明：

①：；②：，；③：；

④：；⑤：．

A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①

【答案】B

【分析】先证明，结合，证明，从而可得结论．

【详解】根据平行线的判定解答即可．

证明：∵（已知），（邻补角的定义），

∴（同角的补角相等）．

∵（已知），

∴（等量代换），

∴（同位角相等，两直线平行）．

所以排序正确的是②③⑤④①，

故选：B．

【点睛】本题考查的是补角的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键．

2．（）（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可．

【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故A选项不符合题意．

B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故B选项不符合题意．

C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意．

D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能得出，故D选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

3．（）（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，下列推论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．

【详解】解：A、，

∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；

B、，

∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；

C、由无法得到，不符合题意；

D、，

∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．

4．（）（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，现有条件：①；②；③；④．能判断的条件有（   ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

【答案】C

【分析】根据平行线的判定定理即可求解．

【详解】①∵

∴

②∵

∴

③∵

∴

④∵

∴

∴能得到的条件是①③．

故选C．

【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角，平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行．

5．（）（2022春·山东济宁·七年级统考期中）如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是______（填序号）．

【答案】①②③

【分析】①根据同位角的定义即可判断；

②根据同旁内角的定义即可判断；

③根据内错角的定义即可判断；

④根据同位角的定义即可判断．

【详解】①∠A与∠1是同位角，正确；

②∠A与∠B是同旁内角，正确；

③∠4与∠1不是内错角，故错误；

④∠1与∠3不是同位角，故错误．

∴正确的是①②，

故答案为：①②．

【点睛】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．

6．（）（2022春·福建厦门·七年级统考期末）如图，，，．与平行吗？为什么？

解：，理由如下：

∵，（已知）

∴，即．（垂直的定义）

又∵，且，（已知）

∴．（等量代换）

∴．（____________）

∴．（____________）

【答案】，，同角的余角相等，同位角相等，两直线平行；

【分析】先证明，，结合同角的余角相等可得，从而可得答案．

【详解】解：，理由如下：

∵，（已知）

∴，即．（垂直的定义）

又∵，且，（已知）

∴．（等量代换）

∴．（同角的余角相等）

∴．（同位角相等，两直线平行）

【点睛】本题考查的是垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，熟练的证明是解本题的关键．

7．（）（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）阅读下面的解答过程，并填空．

如图，，平分，平分，．求证：．

证明：∵平分，平分，（已知）

∴__________，_________．（角平分线的定义）

又∵，（已知）

∴∠____________=∠____________．（等量代换）

又∵，（已知）

∴∠____________=∠____________．（等量代换）

∴．（____________）

【答案】；；；；；；同位角相等，两直线平行

【分析】根据角平分线的定义，等量代换，同位角相等两直线平行，联系证明过程，可推理出答案．

【详解】证明：∵平分，平分，（已知）

∴，．（角平分线的定义）

又∵，（已知）

∴．（等量代换）

又∵，（已知）

∴．（等量代换）

∴．（同位角相等，两直线平行）．

【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解决本题的关键是熟悉相关的几何定理，联系证明过程进行推导．

【题型三】 用直尺、三角板画平行线

【典题】（2022春·山东德州·七年级校考期中）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等

【答案】A

【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．

【详解】∵∠DPF=∠BAF，

∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．

故选A．

【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．

巩固练习

1．（）（2022春·河北石家庄·七年级石家庄二十三中校考期中）数学课上，老师要求同学们利用三角板画出两条平行线，老师展示了甲、乙两位同学的画法如下：

甲的画法：

乙的画法：

请你判断两人的作图的正确性（    ）

A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两人都正确 D．两人都错误

【答案】C

【分析】根据平移的性质以及平行线的性质进行判断即可．

【详解】甲的画法依据是：同位角相等，两直线平行．

乙的画法依据是：内错角相等，两直线平行．

故选C

【点睛】此题主要考查了平行的画法，平行线的性质以及平移变换，正确应用平行线的性质是解题关键．

2．（）（2022秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末）如图，点在直线上，点在直线外．

(1)作射线；

(2)过点作直线，使得；

(3)过点作直线的垂线段；点到直线的距离是线段______的长度．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)作图见解析，

【分析】（1）根据题意画射线，即可求解；

（2）根据题意过点作直线，使得；

（3）过点作直线的垂线段，根据点到直线的距离等于垂线段的长度即可求解．

【详解】（1）解：如图所示，

（2）解：如图所示，

（3）解：如图所示，点到直线的距离是线段的长度．

【点睛】本题考查了作射线，作平行线，作垂线，点到直线的距离，掌握以上知识是解题的关键．

3．（）（2022秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点在格点上．按下述要求画图：

(1)画射线AC；

(2)过点B画AC的平行线BD，点D在格点上；

(3)在射线AC上取一点E，画线段BE，使其长度表示点B到AC的距离．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【解答】解：（1）如图，射线AC即为所求；

（2）如图，直线BD即为所求；

（3）如图，线段BE即为所求．

4．（）（2022春·西藏日喀则·七年级校考期中）读下列语句，并画出图形．点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．

【答案】见解析

【分析】根据题目的要求直接画图即可．

【详解】解：如图，直线CD和直线EF即为所求作．

【点睛】本题考查作平行线和垂线，主要是考查学生的理解能力和动手操作能力，读懂作图语句，弄清所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图方法是解答的关键．

【题型四】平行公理的应用

【典题】（2022春·北京西城·七年级北京师大附中校考期中）若直线l1l，l2l，则（  ）

A．l1l2 B．l1⊥l2 C．l1与l2相交 D．以上都不对

【答案】A

【分析】根据平行于同一直线的两直线互相平行解答．

【详解】解：∵l1∥l，l2∥l，

∴l1∥l2．

故选：A．

【点睛】本题主要考查直线的平行公理，正确理解题意是解题的关键．

巩固练习

1．（）（2022春·河北保定·七年级统考期末）a、b、c是同一平面内的三条直线，下列说法不正确的是（    ）

A．若a⊥b，b//c，则a⊥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c

C．若a//b，b⊥c，则a⊥c D．若a//b，b//c，则a//c

【答案】B

【分析】根据平行线的判定及性质及垂直的性质逐项进行分析即可解答．

【详解】解：A．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．

B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项错误，符合题意，

C．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．

D．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项正确，不合题意，

故选：B．

【点睛】本题主要考查平行公理的推论、平行线的判定定理与性质定理及垂直的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．

2．（）（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）下列说法正确的有（填序号）：_____．

①同位角相等；

②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；

③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；

④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

【答案】③④##④③

【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可．

【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；  

②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；  

④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；  

⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确．

故答案为③④．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键．

3．（）（2022春·湖南永州·七年级统考期中）下列三种说法：

①相等的角是对顶角．

②若线段AB与线段CD没有交点，则ABCD．

③若a、b、c都是直线，且ab，bc，则a与c不相交．

正确的是 _____．

【答案】③

【分析】根据两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，对选项一一分析，即可求解．

【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故①说法错误；

②在同一平面内，若直线AB与CD没有交点，则ABCD，故②说法错误；

③若直线ab，bc，则ac，a与c不相交，符合平行公理，故③正确．

故答案为：③．

【点睛】本题考查了两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，掌握以上知识是解题的关键．