北师大版七年级下册2 探索直线平行的条件当堂检测题

第6讲   平行线

知识点1 平行公理及推论

1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.

直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.

2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

【典例】

例1 （2020春•焦作期末）下列说法中正确的个数有　　

①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④两条直线相交，对顶角相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【方法总结】

本题主要考查了平行公理，垂线的性质以及垂线段的性质，对顶角的性质，解题时注意：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

【随堂练习】

1．（2019春•邱县期末）下列语句：

①不相交的两条直线叫平行线

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行

③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行

正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是　　

A．如果，，那么 B．如果，，那么 

C．如果，，那么 D．如果，，那么

知识点2 平行线的判定

1. 平行线的判定方法：

判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

    简单说成：同位角相等，两直线平行.

如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.

判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

    简单说成：内错角相等，两直线平行.

如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.

判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

    简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.

2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

   注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.

【典例】

例1 （2020春•三门峡期末）如图，，垂足为，，．试判断和的位置关系，并说明理由．

【方法总结】

本题考查平行线的判定，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

例2 （2020春•渭滨区期末）如图，已知，，，试说明．

【方法总结】

此题主要考查了平行线的判定，正确作出辅助线是解题关键．

【随堂练习】

1．（2020春•伊通县期末）已知：如图，，求证：．

2．（2020秋•官渡区校级月考）如图，点在直线、之间，点为上一点，且，．求证：．

知识点3 平行线的性质

平行线的性质：

性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

    简单说成：两直线平行，同位角相等.

如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.

性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

    简单说成：两直线平行，内错角相等.

如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.

性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

    简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.

【典例】

例1 （2020秋•肇州县期末）如图，将一张上、下两边平行（即的纸带沿直线折叠，为折痕．

（1）试说明；

（2）已知，求的度数．

【方法总结】

本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

例2 （2020秋•安徽期中）如图，已知，求证：．（请你至少使用两种方法证明）

【方法总结】

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

【随堂练习】

1．（2020秋•松北区期末）如图，已知，，则的度数为　_______．

2．（2020秋•永吉县期末）如图，直线，点在上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于，两点；连接，．若，则的大小为　_________．

3．（2020春•荔湾区校级月考）已知：如图，平分，，，请证明：平分．

知识点4 平行线的判定与性质的综合运用

    两直线平行同位角相等.

两直线平行内错角相等.

    同旁内角互补两直线平行.

“” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.

【典例】

例1（2020秋•南岗区期中）已知，AE∥BD，∠A＝∠D．

（1）如图1，求证：AB∥CD；

（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．

【方法总结】

本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．

例2 （2020春•黄陂区期末）如图，直线AB与CD交于点F，锐角∠CDE＝α，∠AFC+α＝180°．

（1）求证：AB∥DE；

（2）若G为直线AB（不与点F重合）上一点，∠FDG与∠DGB的角平分线所在的直线交于点P．

①如图2，α＝50°，G为FB上一点，请补齐图形并求∠DPG的度数；

②直接写出∠DPG的度数为_____________（结果用含α的式子表示）．

【方法总结】

本题考查了平行线的判定与性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．

【随堂练习】

1．（2020春•宜春期末）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．

（1）求证：∠DEF＝∠EBG；

（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

2．（2020春•丹东期末）（1）如图1，已知射线BC，MA⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E和F，若∠BAM+∠D＝180°，请判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

（2）在（1）的条件下，连接DE，直接写出∠BAE，∠EDC，∠AED之间的数量关系．

（3）如图2，AB∥CD，EF∥CG，若∠A＝32°，∠E＝60°，请求出∠C的度数．

知识点5 命题、定理、证明

1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.

   数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.

假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.

3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.

判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.

4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.

【典例】

例1（2020春•博兴县期末）如图，有以下四个条件：①，②，③平分，④平分．

（1）若平分，，，求证：平分．

（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．

【方法总结】

本题考查的是平行线性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键．

例2（2020春•邳州市期末）

（1） 完成下面的推理说明：

已知： 如图，，、分别平分和．

求证：．

证明：、分别平分和（已 知） ，

_______，　   　　   　．

　   　，

　   　．

　   　．

（等 式的性质） ．

　   　．

（2） 说出 （1） 的推理中运用了哪两个互逆的真命题 ．

【方法总结】

本题考查的是平行线的判定与性质的运用， 解题时注意： 平行线的判定是由角

的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量

关系 ． 命题都是由题设和结论两部分组成， 题设是已知事项， 结论是由已知

事项推出的事项 ．

【随堂练习】

1．（2020秋•肃州区期末）下列命题中是假命题的是　　

A．一个三角形中至少有两个锐角 

B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 

C．同角的余角相等 

D．一个角的补角大于这个角本身

2．（2020春•泰州期末）如图，①，②平分，③，④平分．

（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；

（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．

综合运用

1．（2020秋•叙州区期末）如图，下列条件：①，②，③，④，⑤，⑥中能判断直线的有　　

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2．（2020春•下城区期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是　　

A． B． C． D．

3．（2019春•桂平市期末）如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（2020春•定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的有___________．（填序号）

5．（2020春•商河县期末）填写推理理由：

如图，，，求证：．

证明：，

______________________

，

．______________

______________．

_______．

6．（2020春•青龙县期末）已知：如图，，．求证：．

7．（2020春•凉山州期末）如图，已知∠1、∠2互为补角，且∠3＝∠B．

（1）求证：∠AFE＝∠C；

（2）若CE平分∠ACB，且∠1＝85°，∠3＝50°，求∠AFE的度数．