【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修二：第02讲 向量的加减法 讲义

第02讲  向量的加减法

知识点01  向量的加法

1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2.向量求和的法则

（1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

注意：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a

（2）平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

物理学中位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.

3.向量加法的运算律

交换律：a＋b＝b＋a

结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

【即学即练1】化简等于（    ）

A． B． C． D．

答案   C

解析： .故选:C.

知识点02  向量的减法

1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图，

3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.

【即学即练2】在中，已知是边上一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

答案   C

解析： 解：，

则有，

可得．

故选：C.

考法01  向量加法的运算律

【典例1】已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　）

A．5 B．4

C．3 D．2

答案   A

解析： 因为向量的加法满足交换律和结合律，

所以，，，，都等于，

故选：A

考法02  向量减法运算律

【典例2】化简（    ）

A． B． C． D．

答案   D

解析： ；故选：D.

题组A  基础过关练

1．下列说法错误的是（    ）

A．若为平行四边形，则

B．若则

C．互为相反向量的两个向量模相等

D．

答案   B

解析： 对于A，中，，且向量与同向，则，A正确；

对于B，当时，与不共线，也满足，B不正确；

对于C，由互为相反向量的定义知，互为相反向量的两个向量模相等，C正确；

对于D，，D正确.

故选：B

2．已知O是所在平面内一点，且，那么（    ）

A．点O在的内部 B．点O在的边上

C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部

答案   D

解析： 因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．

故选：D

3．（    ）

A． B． C． D．

答案   A

解析： 由向量的运算法则，可得

．

故选：A.

4．＝________.

答案  

解析： 解：，

故答案为：.

5．计算：_________．

答案  

解析： .

故答案为：.

6．下列四个等式：

①；    ②；    ③；    ④．

其中正确的是______．（填序号）

答案   ①②③

解析： 由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误，

故答案为：①②③

题组B  能力提升练

1．在中，已知为上一点，若，则（    ）

A． B． C． D．

答案   B

解析： 因为，

所以

.

故选：B.

2．已知在边长为2的等边中，向量，满足，，则（    ）

A．2 B． C． D．3

答案   C

解析： 如图所示：

设点是的中点，

由题可知：

.

故选：C.

3．在平行四边形中，为上任一点，则（    ）

A． B． C． D．

答案   B

解析： 解：，

在平行四边形中，，所以，

故选：B．

4．（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

答案   AD

解析： 解：由向量的加法法则可得：，故正确，错误；

当点在线段上时，，否则,故错误，D正确．

故选：AD.

5．已知非零向量，满足：，作，，则___________.

答案  

解析： 构造如图所示的平行四边形，，,

则，，

则为正三角形，

故，

则平行四边形为菱形，

故OB平分，

则.

故答案为：

6．已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）

①；②；③；④.

答案   ①②③

解析： 对于①，，故①成立；

对于②，设分别为的中点，

则，

，

，

所以，故②成立；

对于③，，

所以，故③正确；

对于④，，故④不成立.

故答案为：①②③.

7．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：

(1)；

(2).

答案   (1)；

(2).

解析： （1）；

（2）.

题组C  培优拔尖练

1．如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

答案   B

解析： 连接，，点为线段中点，

点为线段的中点，

,

又，

.

故选：B.

2．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ）

A． B．

C． D．

答案   B

解析： 解：对于A，因为，,

所以，故正确；

对于B，因为,(为中点)，故错误；

对于C，因为(为中点),

(为中点),

所以，故正确；

对于D，因为，，

所以，故正确.

故选：B.

3．若非零不共线的向量满足，则（    ）．

A． B． C． D．

答案   C

解析：

（2）由非零向量，满足

当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, ,

则. 在图（1）中, ,

不能比较与的大小;

在图（2）中, 由, 得,

所以 为的直角三角形.

易知,

由三角形中大角对大边, 得.

故选：C

4．（多选）下列关于向量的叙述正确的是（    ）

A．向量的相反向量是

B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的

C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则

D．若向量与满足关系，则与共线

答案   ABD

解析： 解：A向量的相反向量是，正确：

B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：

C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则，不正确，因为与可能方向相反；

D.若向量与满足关系，∴，则与共线，正确.

故选：ABD

5．已知非零向量满足，且，则的值为___.

答案   4

解析： 因为，且，

所以，

即，

所以，

即.

故答案为：4

6．是正三角形，给出下列等式：

①；

②；

③；

④．

其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号)

答案   ①③④

解析： 对于①，，，，①正确；

对于②，，如下图所示，以、为邻边作平行四边形，

由平面向量加法的平行四边形法则可得，显然，②错误；

对于③，以、为邻边作平行四边形，则，

以、为邻边作平行四边形，则.

由图可知，，即，③正确；

对于④，，，因为，④正确.

故答案为：①③④.

7．如图所示，在中，与相交于点.

(1)用和分别表示和；

(2)若，求实数和的值.

答案   (1)，

(2)

解析：（1）由，可得.

（2）设，将

代入，则有，

即，解得，

故，即.