重难专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）

专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题 【题型归纳目录】题型一：问题（系数为1）题型二：问题（系数不为1）题型三：问题题型四：问题题型五：问题【知识点梳理】（1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；【典型例题】题型一：问题（系数为1）例1．（2023·全国·高三专题练习）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，，当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.例2．（2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】设，，所以，又，所以．故选：．例3．（2023·湖南·高考真题）如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，设，且，故，由图可知 ，因，所以，故AC错；当时，，点在的右上方，不满足题意，故D错.故选：B.题型二：问题（系数不为1）例4．（2023·全国·高三专题练习）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即当M与C重合时，最大，此时 所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.例6．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则，因为，则，,，又，则，则，则，又，易知为减函数，由单调性易得其值域为.故选：B.题型三：问题例7．（2023春·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是__________．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．【答案】①④【解析】设，由图可知：且，∴①④正确，故答案为：①④例8．（2023·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为___________.【答案】【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得，设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，连接FH，则点K､H为临界点；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以实数x的取值范围是().故答案为：().例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知点在由射线、线段，线段的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且与平行，若，当时，的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，∴的取值范围为.故选：D.题型四：问题例10．（2023春·山东济南·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    )A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】，∵E、O、F三点共线，∴，∵m>0，n>0，t>0，∴，当且仅当时取等号，∴．故选：B．例11．（2023春·江西宜春·高一江西省万载中学校考阶段练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为________．【答案】3【解析】设，由题意知，，由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，即，从而消去，得．故答案为：3例12．（2023·全国·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为___________【答案】【解析】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，所以，所以 ，可得，所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，则有，即，所以，因为，所以， 故答案为：.例13．（2023秋·江西·高二南昌二中校考开学考试）如图在中，，，与交于点．设，．（1）用，表示；（2）已知线段上取一点，在线段上取一点，使过点．设，，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值．【解析】（1）设，则，．∵、、三点共线，∴与共线，故存在实数，使得，即，，∴，消去得，即①，∵，，又、、三点共线，∴与共线，同理可得②，联立①②，解得，．故．（2）．理由如下：∵，，又与共线，故存在实数，使得，即．∴，消去得，整理得．例14．（2023·高一课时练习）如图，在中，，，与相交于点M，设，，（1）试用，表示向量：（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．【解析】（1）由A，M，D三点共线可知，存在实数使得．由B，M，C三点共线可知，存在实数使得．由平面向量基本定理知．解得，所以．（2）证明：若，，则．又因为E，M，F三点共线，所以．例15．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在中，为直角，，AD与BC相交于点M，．(1)试用表示向量；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得直线EF过M，设，求的值．【解析】(1)∵C、M、B三点共线，则，又∵D、M、A三点共线，则，可得，解得∴．(2)∵Ｅ、M、Ｆ三点共线，则∴，整理得：．例16．（2023春·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期中）在中，为直角，，，与相交于点，，．（1）试用、表示向量；（2）在线段上取一点，在线段上取得一点，使得直线过，设，，求的值．【解析】（1）设，，，三点共线，存在非零实数使得，，，所以，又，，三点共线，存在非零实数使得，，又，，所以，联立，解得，，所以．（2）证明：由（1）知，，，三点共线，存在非零实数使得，，，消去得．所以．题型五：问题例17．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则______.【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数，使得.又，所以，又∵，且不共线，故由平面向量的分解的唯一性得所以.故答案为：3.例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.【答案】     2     【解析】因为在中，，所以,即.因为点在线段上移动（不含端点），所以设.所以，对比可得.代入，得；代入可得，根据二次函数性质知当时，.故答案为：例19．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则______.   【答案】【解析】建立直角坐标系，如图所示，，，，即，，即，，解得．．故答案为：【同步练习】一、单选题1．（2023春·浙江温州·高一期中）如图，平面内有三个向量，，，与的夹角为120°，，的夹角为150°，且，，若，则（    ）A． B． C． D．9【答案】B【解析】作的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，因为与的夹角为120°，，的夹角为150°，且，，所以，所以，，所以，所以，即即．故选：B2．（2023春·安徽池州·高一统考期中）已知点C为扇形AOB的弧上任意一点，且∠AOB＝120°，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为（    ）A．[－2，2] B．(1，]C．[1，] D．[1，2]【答案】D【解析】设半径为1.由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，则A，B(1，0)，C(cosθ，sinθ)（其中），则由＝λ＋μ (λ，μ∈R)，可得(cosθ，sinθ)＝λ＋μ(1，0)，整理得：－λ＋μ＝cosθ，λ＝sinθ，解得λ＝，μ＝cosθ＋，则λ＋μ＝＋cosθ＋＝sinθ＋cosθ＝2sin（其中），易知λ＋μ＝2sin在上单调递增，在上单调递减，由单调性易得其值域为[1，2]．故选：D3．（2023秋·广西·高三阶段练习）已知半径为2的扇形AOB中，，C是OB的中点，P为弧AB上任意一点，且，则的最大值为（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由题有面积,又由余弦定理.故.故到的距离满足.故的最大值为 故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，，，即，，，即，又，，，解得，，故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在扇形中， ， 为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设射线OB上存在为B'，使，AB'交OC于C'，由于，设， ，由A，B'，C'三点共线可知x'+λy'=1，所以u=x+λy=tx'+t•λy'=t，则存在最大值1，即在弧AB（不包括端点）上存在与AB'平行的切线，所以．选D.6．（2023春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则，因为，则，,，又，则，则，则，又，易知为减函数，由单调性易得其值域为.故选：B.7．（2023秋·江西抚州·高三江西省临川第二中学校考期中）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】D【解析】设扇形所在圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，设，则，由题意可得令则在上不是单调函数，从而在上一定有零点即在时有解，可得解得，经检验此时取得最大值故答案选考点：平面向量的坐标运算；函数的性质；函数的零点．8．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值为（　　）A． B．5 C． D．6【答案】A【解析】如图所示，建立直角坐标系．．，设 （）．则，其中．∴，当且仅当时取等号．故选A．9．（2023·全国·高一专题练习）给定两个长度均为2的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示.若，其中，，则的最大值是（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系，则，，即，.设，则.，，，.，（此时有，是个锐角）..可取到.有最大值，故选：.10．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图建立平面直角坐标系，则，∴，设，，∴，又，∴，解得，∴，即的最小值为.故选：B.11．（2023秋·北京·高三北京八中校考阶段练习）如图，已知，，，，，则等于A． B． C． D．【答案】A【解析】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为，且，∴，∴A（1，0），B（），又令，则=，∴=7，又如图点C在∠AOB内，∴=，sin=,又，∴C（），∵，（m，n∈R），∴（）=（m,0）+（）=(m，）即 m，，解得n=，m=，∴，故选A．二、多选题12．（2023春·浙江台州·高一温岭中学校考阶段练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则可能的整数值为（    ）A．3 B．1 C．0 D．【答案】AB【解析】以点为原点，建立直角坐标系，则，，所以,,圆的半径为，所以圆，所以圆上点 ，所以，因为，所以, 所以,所以，其中，.所以,所以，即，所以可能的整数值为：1,2,3.故答案为：AB.13．（2023春·辽宁·高一东港市第二中学校联考阶段练习）已知中，是边的中点，动点满足，则（    ）A．的值可以等于2B．的值可以等于2C．的值可以等于D．的值可以等于3【答案】AD【解析】因为，所以，，，则在以为直径的圆上，如图也是该圆上的点．分别以为轴建立平面直角坐标系，则圆方程是，，，，即，所以，．可设，，所以，时，，A正确；同理，B错误；，易知，所以，C错；，易知，所以，，，D正确；故选：AD．14．（2023春·全国·高一期末）已知正的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足，有，且，则（    ）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】ABD【解析】以点为原点、边为x轴建立平面直角坐标系（如图所示），则，，，；因为，所以点在以为圆心、1为半径的圆上，设，则，，，又因为， 所以，即，即，又因为，所以，即；对于A：因为，所以，则，即的最小值为，即选项A正确；对于B：因为，所以，则，即的最大值为，即选项B正确；对于C、D：因为且，所以，因为，所以所以，所以，即的最小值为，最大值为，即选项C错误，选项D正确.故选：ABD.三、填空题15．（2023秋·上海徐汇·高二位育中学校考期中）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120，与 的夹角为30，且，，若，则(x,y)___________.【答案】(4,2)【解析】如图所示，以OC为对角线作平行四边形，则有，，，所以在Rt△MOC中，由，得出， ；由向量加法的平行四边形法则可得，又因，得出，，，则有，，则由以上等式可解的，所以.故答案为：.16．（2023秋·上海长宁·高二统考期末）如图，已知平面内有三个向量，，，其中与和的夹角分别为和，且，，若，则________．【答案】8【解析】如图所示，过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于两点，所以四边形平行四边形，则，因为向量与和的夹角分别为和，即,则,在直角中，，，所以，在直角中，，，所以，又由，可得，又因为，所以，所以．故答案为：8．17．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设，则的取值范围是___________.【答案】【解析】以为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，如图所示：则直线方程为，点到的距离所以以为圆心且与相切的圆方程为设则，，又所以，则，所以所以因为在圆上，所以设直线与有交点则圆心到的距离为解得，则所以故答案为：．18．（2023秋·四川泸州·高二四川省泸县第二中学校考阶段练习）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最小值为______.【答案】1【解析】以为坐标原点，所在的直线为轴，轴，建立坐标系，则，，，，因为，所以，又的方程为，且到的距离为，所以点为圆心且与相切的圆的方程为，又在圆上，所以，令，，所以.故答案为：1.19．（2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学阶段练习）如图，半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，且．若，则______．【答案】【解析】将扇形放入平面直角坐标系中，，，，如图所示：则，即，，，，，，，，，则，得，则，故答案为：．20．（2023春·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学校考阶段练习）给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是________.【答案】【解析】建立如下图所示的直角坐标系，则,,设,则，∵，∴，∴，由可得，即，故答案为：.21．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考阶段练习）已知正三角形的边长为2，D是边的中点，动点P满足，且，其中，则的最大值为___________．【答案】【解析】由题设，在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，构建以为原点，为x、y轴的直角坐标系，如下图示：所以，，，令且()，所以，，，又，即，所以，而，则，故当时，有最大值.故答案为：四、解答题22．（2023春·山西运城·高一校考阶段练习）如图，平面内有三个向量其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.【解析】如图所示：过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，与的夹角为，与的夹角为，，，在中，，，又，，，，，，，．五、双空题23．（2023·全国·高一专题练习）给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.【答案】     2     【解析】建立如图所示坐标系，则 ，设 ，由 ,化简得:，（1）, 则当 时, 最大，值为（2）其中 且为第一象限角则当 时,最大，值为故答案为：；24．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中x、.则的最大值为______；的取值范围是______.【答案】     2     【解析】如图所示，以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，设.由于，，.根据，得到从而故，当时，.，又，，即.故答案为：2，