重难专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）

专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧与总结】（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上. 为的内心.（2）外心：为的外心.（3）垂心：为的垂心.（4）重心：为的重心.【典型例题】题型一：重心定理例1．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】D【解析】因为，所以.以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心.故选：D例2．（2023春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因为，所以为中点，又因为G是的重心，所以，又因为为中点，所以，所以，所以，所以.故选：A例3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，由已知得，因为，所以，又因为点是的重心，所以，则，又因为，所以，则，又由余弦定理得，所以，整理得，因为，令，则，所以，则.故选：D.例4．（多选题）（2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】如图：对于选项A，，即选项A错误；对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；对于选项C，，即选项C正确；对于选项D，，即，即选项D正确，故选：BCD．题型二：内心定理例5．（2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知点P为的内心，，若，则______．【答案】【解析】在，由余弦定理得,设分别是边上的切点，设，则，所以，由得，，即，①同理由,②联立①②以及即可解得：，故答案为：例6．（多选题）（2023·高一单元测试）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心【答案】ABC【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心，所以，所以，故正确；对于B选项，因为且，所以，整理得：，即，设为中点，则，所以三点共线，又因为，所以垂直平分，故，正确；对于C选项，由正弦定理得，所以，设中点为，则，所以，所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；对于D选项，因为，设中点为，则，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.故选：ABC例7．（多选题）（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（　　）A．若A＝30°，，，则△ABC有两解B．若，则角A最大值为30°C．若，则△ABC为锐角三角形D．若，则直线AP必过△ABC内心【答案】ABD【解析】对于选项A：bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA＜a＜b，所以，△ABC有两解，A选项正确；对于选项B：设（以为基底），则，∵∴=0则，即∴∵，∴，B选项正确；对于选项C：∵，∴，又∴C为锐角若C为最大角， 则△ABC为锐角三角形，否则△ABC为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，C选项错误；对于选项D：∵表示与同向的单位向量，表示与同向单位向量    又∵与不共线∴与菱形对角线向量共线∴直线AP为角A的角平分线，即直线AP必过△ABC内心， D选项正确．故选：ABD．例8．（2023春·上海浦东新·高一校考期末）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】分别表示方向的单位向量，令，，则，即，又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在该菱形的对角线上，所以点P在，即的平分线上，故动点P的轨迹一定通过的内心.故选：B. .例9．（2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.例10．（2023·全国·高一假期作业）已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（    ）A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上，同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心，故选：B.例11．（2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点设，则，则设∵三点共线，则，即即故选：D．题型三：外心定理例12．（2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）设为锐角的外心（三角形外接圆圆心），．若，则（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中点，连接，为的外心，，，，三点共线，，，，，，，，即，，，则，解得：.故选：A.例13．（2023·浙江·高一校联考期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设的中点为，则，所以，所以外心与中点重合，故为直角三角形.设，则，，，设为方向上的单位向量，则 在上的投影向量为.故选：C.例14．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知为的外心，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为的外心，所以，设，又，，，且，，且，.故选:C.例15．（2023春·四川成都·高一统考期末）设O为的外心，且满足，，则下列结论中正确的个数为（    ）①；②；③.A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】因为，所以，所以，即，所以，故①正确，所以，即，所以，故②正确；因为，所以，所以，，所以，所以，则，所以，所以，即，故③正确；故选：A例16．（2023春·湖北武汉·高一校联考期末）在中，是边上的点，且为的外心，则（    ）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因为，则是的中点，所以，设外接圆的半径为，所以．故选：B．例17．（2023春·河南许昌·高一统考期末）已知P在所在平面内，满足，则P是的（    ）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】表示到三点距离相等，为外心．故选：A．例18．（2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）已知为的外心，若AB=1，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点为的外心，设的中点为，连接，则，如图所以.故选：B.题型四：垂心定理例19．（2023春·河南南阳·高一统考期中）若为所在平面内一点，且则点是的（    ）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】D【解析】，得，即；，得，即；，，即，所以为的垂心.故选：D.例20．（2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）设H是的垂心，且，则_____．【答案】【解析】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.故答案为：．例21．（2023春·湖南永州·高一统考期末）已知在中，，点为的垂心，则=________．【答案】18【解析】延长交于点，因为，点为的垂心，所以为的中点，，所以，故答案为：18【同步练习】一、单选题1．（2023·浙江绍兴·高三期末）边长为2的正中，G为重心，P为线段BC上一动点，则（    ）A．1 B．2C． D．【答案】B【解析】如图：以所在直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系，由题意可知：，因为G为的重心，所以，因为点为线段上一动点，设点，所以，，则，故选：．2．（2023·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】设，，以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，，，，则，，，，则，设，则，，，即，即点的轨迹方程为，而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，故选：A.3．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）在△ABC中，O为重心，D为BC边上近C点四等分点，，则m＋n＝（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接延长交于点，则点为的中点，连接，所以，所以，.故选：B.4．（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（    ）.A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】因为，且D为中点，，则，又因为，则可得四边形为菱形，即为菱形的对角线，所以平分，即直线经过的内心故选:A5．（2023·江苏南通·高三统考期末）设为的重心，则（   ）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】因为为重心，所以，所以，故选：B.6．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）已知O是的外心,且满足,若在上的投影向量为,则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:由题知,,所以,即,所以三点共线,且是的中点,因为O是的外心,所以是圆的直径,故是以A为直角顶点的直角三角形,过向作垂线,垂足为,连接,如图所示:因为在上的投影向量为,所以在上的投影向量为:,而,则.故选:C.7．（2023·全国·高三专题练习）的外心满足，，则的面积为（    ）A． B． C． D．2【答案】B【解析】设的中点为，则可化为即为， 三点共线且，为等腰三角形，由垂径定理得，代入数据得,解之：，.故选：B.8．（2023·高三课时练习）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】，令，则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上，，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B9．（2023·全国·高三专题练习）已知P是 的外心，且，则cosC=（    ）A．- B．- C．或- D．或-【答案】B【解析】因为P是的外心，所以，由题知，两边平方得即,即，所以，则，又由，得，因为，则C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧上，所以C为钝角，即.故选：B10．（2023·全国·高三专题练习）在中，，为的外心，，，则（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】如图，设的中点为D,E，连接OD,OE,则 ,故，即 ,即，故,，即 ,即，故,故,故选：B11．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心【答案】C【解析】由题意知，中，，则，即，所以，即，同理，，；所以是的垂心.故选：C12．（2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（    ）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】D【解析】，得，即；，得，即；，，即，所以为的垂心.故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B14．（2023·高一课时练习）已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.故选：C.15．（2023·高一课时练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ）A．内心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【解析】设为的中点，则，则，即，三点共线，又因为为的中点，所以是边的中线，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：C.16．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】C【解析】设的中点是，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.17．（2023·全国·高三专题练习）已知H为的垂心，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意，，同理．由H为△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得， ，又，所以．故选：C．18．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是的垂心，延长交与点，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨设，其中，∵，∴，解得或，当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.故，则，∴是锐角，，于是，解得.故选：A.二、多选题19．（2023·全国·高三专题练习）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（　　）A．若，则点O为的重心B．若，则点为的垂心C．若，则点为的外心D．若，则点为的内心【答案】AC【解析】对于A，设边、、的中点分别为、、,则，所以所以、、三点共线，即点在中线上，同理点在中线上，则是的重心.故A正确对于B，若，则，所以所以为的外心，故B错误对于C，设边、、的中点分别为点、、，则,所以为线段的中垂线，同理、分别为线段、的中垂线，所以是的外心，故C正确对于D，由已知，，即垂直，也即点在边的高上；同理，点也在边的高上，所以则是的垂心，故D错误.故选：AC20．（2023·全国·高三专题练习）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是(    )A． B．C． D．【答案】ABC【解析】如图：根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且.对于A，∵，∴，故A正确；对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点为BC中点，且AG＝2GD，则，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，显然不正确.故选：ABC.三、填空题21．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，若，则___________．【答案】【解析】因为为重心，则，又因为，不妨设，所以，所以，所以，所以故答案为：.22．（2023·高三课时练习）已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．【答案】【解析】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．由数量积的几何意义，可得，．依题意有，即．同理，即．将两式相加得，所以．故答案为: .23．（2023·全国·高三专题练习）在中，为其外心，，若，则________．【答案】【解析】设外接圆的半径是，．设，则在等腰中，．所以．故答案为：.24．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．【答案】2【解析】设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，则，，因为与共线，所以，又因为，，所以，因为，所以，即，所以.故答案为：2四、解答题25．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心．(1)求；(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．【解析】（1）点G为的重心，，，，，（2）点G为的重心，，，，，，，，与共线，存在实数，使得，则，根据向量相等的定义可得，消去可得，两边同除，整理得.26．（2023·高一课时练习）如图所示，已知中，顶点A、B的坐标分别为和，且的垂心坐标为，求顶点C的坐标．【解析】设，则，，，.因为点是的垂心，所以，，所以，.所以，即，解得；，，又，所以.所以点C的坐标为．