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    高中数学第九章平面向量9.2.1第2课时向量的减法课后素养落实含解析苏教版必修第二册学案
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    高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用第2课时学案及答案

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    这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.4 向量应用第2课时学案及答案,共6页。学案主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.化简下列向量式,结果为0的个数是( )
    ①eq \(RS,\s\up7(→))-eq \(RT,\s\up7(→))+eq \(ST,\s\up7(→));②eq \(BD,\s\up7(→))+eq \(DC,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→));③eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→))-eq \(CB,\s\up7(→));④eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(BC,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→)).
    A.1 B.2 C.3 D.4
    D [①eq \(RS,\s\up7(→))-eq \(RT,\s\up7(→))+eq \(ST,\s\up7(→))=0;
    ②eq \(BD,\s\up7(→))+eq \(DC,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→))=eq \(BC,\s\up7(→))+eq \(CB,\s\up7(→))=0;
    ③eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→))-eq \(CB,\s\up7(→))=eq \(AB,\s\up7(→))-(eq \(AC,\s\up7(→))+eq \(CB,\s\up7(→)))=0;
    ④eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(BC,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→))=0.]
    2.如图所示,在正方形ABCD中,已知eq \(AB,\s\up7(→))=a,eq \(BC,\s\up7(→))=b,eq \(OD,\s\up7(→))=c,则图中能表示a-b+c的向量是( )
    A.eq \(OA,\s\up7(→)) B.eq \(OB,\s\up7(→)) C.eq \(OC,\s\up7(→)) D.eq \(OD,\s\up7(→))
    B [由已知得,
    a-b=eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AD,\s\up7(→))=eq \(DB,\s\up7(→)),c=eq \(OD,\s\up7(→)),
    ∴a-b+c=eq \(DB,\s\up7(→))+eq \(OD,\s\up7(→))=eq \(OB,\s\up7(→)).]
    3.如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中eq \(OB,\s\up7(→))=b,eq \(OC,\s\up7(→))=c,则eq \(EF,\s\up7(→))等于( )
    A.b-c B.b+c
    C.-b-c D.-b+c
    A [eq \(EF,\s\up7(→))=eq \(OA,\s\up7(→))=eq \(CB,\s\up7(→))=eq \(OB,\s\up7(→))-eq \(OC,\s\up7(→))=b-c.]
    4.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,|eq \(BC,\s\up7(→))|=4,|eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(AC,\s\up7(→))|=|eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→))|,则|eq \(AM,\s\up7(→))|=( )
    A.2 B.4 C.16 D.8
    A [因为|eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(AC,\s\up7(→))|=|eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→))|,又点A在直线BC外,故四边形ABDC是以AB,AC为邻边的平行四边形且对角线相等,故ABDC为矩形,|eq \(AM,\s\up7(→))|=eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up7(→))|=2.]
    5.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列各式正确的是( )
    A.eq \(AD,\s\up7(→))+eq \(BE,\s\up7(→))+eq \(CF,\s\up7(→))=0
    B.eq \(BD,\s\up7(→))-eq \(CE,\s\up7(→))+eq \(DF,\s\up7(→))=0
    C.eq \(AD,\s\up7(→))+eq \(CE,\s\up7(→))-eq \(CF,\s\up7(→))=0
    D.eq \(BD,\s\up7(→))-eq \(BE,\s\up7(→))-eq \(FC,\s\up7(→))=0
    A [A项,eq \(AD,\s\up7(→))+eq \(BE,\s\up7(→))+eq \(CF,\s\up7(→))=eq \(DB,\s\up7(→))+eq \(BE,\s\up7(→))+eq \(CF,\s\up7(→))=eq \(DE,\s\up7(→))+eq \(CF,\s\up7(→))=eq \(DE,\s\up7(→))+eq \(ED,\s\up7(→))=0;
    B项,eq \(BD,\s\up7(→))-eq \(CE,\s\up7(→))+eq \(DF,\s\up7(→))=(eq \(BD,\s\up7(→))+eq \(DF,\s\up7(→)))-eq \(CE,\s\up7(→))=eq \(BF,\s\up7(→))-eq \(CE,\s\up7(→))≠0;
    C项,eq \(AD,\s\up7(→))+eq \(CE,\s\up7(→))-eq \(CF,\s\up7(→))=eq \(AD,\s\up7(→))+(eq \(CE,\s\up7(→))-eq \(CF,\s\up7(→)))=eq \(AD,\s\up7(→))+eq \(FE,\s\up7(→))≠0;
    D项,eq \(BD,\s\up7(→))-eq \(BE,\s\up7(→))-eq \(FC,\s\up7(→))=(eq \(BD,\s\up7(→))-eq \(BE,\s\up7(→)))-eq \(FC,\s\up7(→))=eq \(ED,\s\up7(→))-eq \(FC,\s\up7(→))=eq \(ED,\s\up7(→))+eq \(CF,\s\up7(→))≠0.]
    二、填空题
    6.已知两向量a和b,如果a的方向与b的方向垂直,那么|a+b|________|a-b|.(填写“=”“≤”或“≥”)
    = [以a,b为邻边的平行四边形是矩形,
    矩形的对角线相等.由加减法的几何意义知|a+b|=|a-b|.]
    7.已知|a|=7,|b|=2,若a∥b,则|a-b|=________.
    5或9 [∵a∥b,当a与b同向时,|a-b|=|7-2|=5,
    当a与b反向时,|a-b|=|7+2|=9.]
    8.如图,在平行四边形ABCD中,eq \(OA,\s\up7(→))=a,eq \(OB,\s\up7(→))=b,eq \(OC,\s\up7(→))=c,试用a,b,c表示eq \(OD,\s\up7(→)),则eq \(OD,\s\up7(→))=________.
    a+c-b [因为eq \(OA,\s\up7(→))=a,eq \(OB,\s\up7(→))=b,eq \(OC,\s\up7(→))=c,所以eq \(BC,\s\up7(→))=eq \(OC,\s\up7(→))-eq \(OB,\s\up7(→))=c-b,又eq \(AD,\s\up7(→))=eq \(BC,\s\up7(→)),所以eq \(OD,\s\up7(→))=eq \(OA,\s\up7(→))+eq \(AD,\s\up7(→))=a+c-b.]
    三、解答题
    9.化简:
    (1)eq \(MN,\s\up7(→))-eq \(MP,\s\up7(→))+eq \(NQ,\s\up7(→))-eq \(PQ,\s\up7(→));
    (2)eq \(BD,\s\up7(→))+eq \(DC,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→)).
    [解] (1)eq \(MN,\s\up7(→))-eq \(MP,\s\up7(→))+eq \(NQ,\s\up7(→))-eq \(PQ,\s\up7(→))=(eq \(MN,\s\up7(→))+eq \(NQ,\s\up7(→)))-(eq \(MP,\s\up7(→))+eq \(PQ,\s\up7(→)))
    =eq \(MQ,\s\up7(→))-eq \(MQ,\s\up7(→))=0.
    (2)eq \(BD,\s\up7(→))+eq \(DC,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→))=(eq \(BD,\s\up7(→))+eq \(DC,\s\up7(→)))+(eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AC,\s\up7(→)))=eq \(BC,\s\up7(→))+eq \(CB,\s\up7(→))=0.
    10.如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,eq \(AB,\s\up7(→))=a,eq \(BC,\s\up7(→))=b,eq \(AC,\s\up7(→))=c,试作出下列向量,并分别求出其长度.
    (1)a+b+c;
    (2)a-b+c.
    [解] (1)由已知得a+b=eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(BC,\s\up7(→))=eq \(AC,\s\up7(→))=c,所以延长AC到E,
    使|eq \(CE,\s\up7(→))|=|eq \(AC,\s\up7(→))|.则a+b+c=eq \(AE,\s\up7(→)),且|eq \(AE,\s\up7(→))|=2eq \r(2).
    所以|a+b+c|=2eq \r(2).
    (2)作eq \(BF,\s\up7(→))=eq \(AC,\s\up7(→)),连接BD,CF,
    则eq \(DB,\s\up7(→))+eq \(BF,\s\up7(→))=eq \(DF,\s\up7(→)),
    而eq \(DB,\s\up7(→))=eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AD,\s\up7(→))=a-b,
    所以a-b+c=eq \(DB,\s\up7(→))+eq \(BF,\s\up7(→))=eq \(DF,\s\up7(→)),
    且|eq \(DF,\s\up7(→))|=2,所以|a-b+c|=2.
    11.边长为1的正三角形ABC中,|eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(BC,\s\up7(→))|的值为( )
    A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.1
    B [如图所示,|eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(BC,\s\up7(→))|=|eq \(AB,\s\up7(→))+eq \(BC′,\s\up7(→))|=|eq \(AC′,\s\up7(→))|,
    又|eq \(AB,\s\up7(→))|=1,|eq \(BC′,\s\up7(→))|=1,∠ABC′=120°,
    ∴在△ABC′中,|eq \(AC′,\s\up7(→))|=eq \r(3).]
    12. (多选题)设a,b是非零向量,则下列不等式中恒成立的是( )
    A.|a+b|≤|a|+|b| B.|a|-|b|≤|a+b|
    C.|a|-|b|≤|a|+|b| D.|a|≤|a+b|
    ABC [由向量模的不等关系可得:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;|a+b|≤|a|+|b|,故A恒成立;||a|-|b||≤|a+b|,故B恒成立;||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,故C恒成立.令a=-b,|a|=2,则|a+b|=0,则D不成立.故选ABC.]
    13.已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则eq \f(|a+b|,|a-b|)=________.
    eq \r(3) [如图,设eq \(OA,\s\up7(→))=a,eq \(OB,\s\up7(→))=b,eq \(OC,\s\up7(→))=a+b,则eq \(BA,\s\up7(→))=eq \(OA,\s\up7(→))-eq \(OB,\s\up7(→))=a-b,
    ∵|a|=|b|=|a-b|,
    ∴BA=OA=OB.
    ∴△OAB为正三角形,设其边长为1,
    则|a-b|=|eq \(BA,\s\up7(→))|=1,|a+b|=2×eq \f(\r(3),2)=eq \r(3).
    ∴eq \f(|a+b|,|a-b|)=eq \f(\r(3),1)=eq \r(3).]
    14.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则eq \(AF,\s\up7(→))-eq \(DB,\s\up7(→))等于________.
    eq \(BE,\s\up7(→))或eq \(DF,\s\up7(→)) [由题图易知eq \(AF,\s\up7(→))=eq \(DE,\s\up7(→)),
    ∴eq \(AF,\s\up7(→))-eq \(DB,\s\up7(→))=eq \(DE,\s\up7(→))-eq \(DB,\s\up7(→))=eq \(BE,\s\up7(→)),
    又eq \(BE,\s\up7(→))=eq \(DF,\s\up7(→)),
    ∴eq \(AF,\s\up7(→))-eq \(DB,\s\up7(→))=eq \(DF,\s\up7(→))或eq \(BE,\s\up7(→)).]
    15.如图所示,▱ABCD中,eq \(AB,\s\up7(→))=a,eq \(AD,\s\up7(→))=b.
    (1)用a,b表示eq \(AC,\s\up7(→)),eq \(DB,\s\up7(→));
    (2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在直线互相垂直?
    (3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?
    (4)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
    [解] (1)eq \(AC,\s\up7(→))=eq \(AD,\s\up7(→))+eq \(AB,\s\up7(→))=b+a,eq \(DB,\s\up7(→))=eq \(AB,\s\up7(→))-eq \(AD,\s\up7(→))=a-b.
    (2)由(1)知,a+b=eq \(AC,\s\up7(→)),a-b=eq \(DB,\s\up7(→)).
    若a+b与a-b所在直线垂直,
    则AC⊥BD.
    又∵四边形ABCD为平行四边形,
    ∴四边形ABCD为菱形,即应满足|a|=|b|.
    (3)假设|a+b|=|a-b|,
    即|eq \(AC,\s\up7(→))|=|eq \(BD,\s\up7(→))|.
    ∵四边形ABCD为平行四边形,
    ∴四边形ABCD是矩形,∴a⊥b,
    ∴当a与b垂直时,|a+b|=|a-b|.
    (4)不可能,∵▱ABCD的两条对角线不可能平行,
    ∴a+b与a-b不可能为共线向量,也就是不可能为相等向量.
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