重难专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）

专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】题型一：直接使用奔驰定理题型二：三角形面积比问题【方法技巧与总结】奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故.（3）为内一点，，则.重要结论：，，.结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.【典型例题】题型一：直接使用奔驰定理例1．（2023春·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ）A． B． C． D．例2．（多选题）（2023·高一单元测试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ）A．若是的重心，则有B．若，则是的内心C．若，则D．若是的外心，且，则例3．（多选题）（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（    ）A．若，则点是边的中点B．若点是边靠近点的三等分点，则C．若点在边的中线上且，则点是的重心D．若，则与的面积相等例4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．若，，，则C．若O为△ABC的内心，，则D．若O为△ABC的垂心，，则例5．（多选题）（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（    ）A． B．直线过边的中点C． D．若，则例6．（多选题）（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考期中）已知点O为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（    ）A．B．直线AO必过BC边的中点C．D．若，则例7．（2023春·江苏徐州·高一徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）校考阶段练习）定理：如图，已知P为内一点，则有.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则.试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.(1)点在内部，满足，求的值；(2)点为内一点，若，设，求实数和的值；(3)用“奔驰定理”证明推论②.题型二：三角形面积比问题例8．（多选题）（2023·高一课时练习）若点为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（    ）A．直线必过边的中点B．C．若的面积为9，则的面积是4D．例9．（多选题）（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（    ）A．B．直线必过边的中点C．D．若，且，则例10．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知点为内一点，且，则的面积之比等于_______．例11．（2023秋·江苏泰州·高三阶段练习）已知点为内一点，且，则，，的面积之比等于_________．例12．（2023·河南南阳·统考三模）已知为内一点，且，则，，的面积之比为________．例13．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ）A． B． C． D．【同步练习】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（    ）①若，则点为的重心；②若，，，则；③若，则点为的垂心；④若，，且为边中点，则．A．个 B．个 C．个 D．个2．（2023秋·河南安阳·高三阶段练习）是所在平面上一点，满足，若，则的面积为（    ）A．4 B．6 C．8 D．163．（2023·全国·高三专题练习）是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为（  ）.A． B． C． D．4．（2023春·安徽黄山·高一统考期末）已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（    ）A． B． C． D．6．（2023秋·河北邯郸·高三校联考阶段练习）已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ）A． B． C．2 D．7．（2023春·陕西延安·高一校考阶段练习）已知是所在平面内一点，且满足，则与的面积之比为A． B． C． D．8．（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）记△ABC所在平面内一点为P，满足，其中，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．9．（2023秋·江西景德镇·高二校联考期末）已知点为内一点，且满足，则A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题10．（2023秋·辽宁大连·高一统考期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ）A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上C． D．三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若是的重心，则有；②若成立，则是的内心；③若，则；④若是的外心，，，则.则正确的命题有___________.12．（2023·全国·高一专题练习）设为所在平面上一点，且满足.若的面积为8，则的面积为__________.13．（2023春·河南濮阳·高一统考期中）是所在平面上的一点，满足，若，则的面积为___________.14．（2023·湖北·高三竞赛）已知是所在平面上一点，满足.则与的面积之比为_______.15．（2023·全国·高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足，若的面积为1，则的面积为__________.16．（2023·全国·高三专题练习）已知点为内一点，，则的面积之比为______．17．（2023·上海·高三专题练习）已知的面积为360，点是三角形所在平面内一点，且，则的面积为__．四、解答题18．（2023春·山东济南·高一统考期末）在中，点P为内一点．(1)若点P为的重心，用，表示；(2)记，，的面积分别为，，，求证：；(3)若点P为的垂心，且，求．19．（2023春·河北保定·高二河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点P为内一点，若F为AC中点，G为BC中点，___________．的面积之比为_____________．