苏教版 (2019)必修 第二册11.1 余弦定理精品巩固练习

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册11.1 余弦定理精品巩固练习，文件包含第12讲余弦定理正弦定理的应用原卷版docx、第12讲余弦定理正弦定理的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

第12讲 余弦定理、正弦定理的应用
目标导航


课程标准
课标解读
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题；
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力。

知识精讲


知识点01 高度问题
类型
简图
计算方法
底部可达

测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线

测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线

测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
【即学即练1】如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山在西偏北的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度（    ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在中，使用正弦定理得到，再在中，由特殊角的三角函数值求出答案.
【详解】在中，，，
所以，
因为，所以由正弦定理得：，
即，解得：，
在中，，
所以.
故选：B

知识点02 距离问题
类型
图形
方法
两点间不可到达的距离

余弦定理
两点间可视不可到达的距离

正弦定理
两个不可到达的点之间的距离

先用正弦定理，
再用余弦定理

【即学即练2】海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，由正弦定理即可得出答案.
【详解】由题意知，
由，所以．
故选：D.

知识点03 角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解。
【即学即练3】一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（    ）
A．北偏东 B．北偏东或南偏东
C．南偏东 D．以上方位都不对
【答案】B
【分析】画出示意图，易知，，，则由正弦定理即可求出或，即或，由此即可选出答案.
【详解】如图所示，由题意可知（海里），海里，，
在中，由，得，
所以或，
故或，
即灯塔S在B处的北偏东或南偏东．
故选：B.

能力拓展


考法01 高度测量问题
【典例1】文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．

(1)求；
(2)求塔高AB（结果保留整数）．
【答案】(1)；(2)47
【分析】（1）利用平方关系求出，再根据利用两角和的正弦公式即可得解；
（2）在中，利用正弦定理求出，再解即可得解.
【详解】（1）解：在中，因为，所以，
则，所以，所以，
又，所以，
则；
（2）解：在中，因为，
所以米，
则中，米，
所以塔高AB为47米.

考法02 距离测量问题
【典例2】如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．

(1)求小岛与小岛之间的距离；
(2)记为，为，求的值．
【答案】(1)2；(2)
【分析】(1) 在中，利用余弦定理即可求解；
(2) 在中，先利用正弦定理求出，然后利用两角和的正弦公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知：，，
因为角为钝角，，所以，
在中，由余弦定理得，，
所以，解得或（舍），
所以小岛与小岛之间的距离为2．
（2）在中，由正弦定理，因为，
所以，则，
因为，所以为锐角，所以，
因为，
，
所以
．
分层提分


题组A 基础过关练
1．在中，，则三角形的形状为（    ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到的形状为直角三角形.
【详解】中，，
则，整理得，则，
则的形状为直角三角形，
故选：A.
2．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ）

A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上
【答案】D
【分析】根据题意求出各角的度数，确定，故灯塔A在灯塔B的南偏西方向上.
【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形，
所以，又，
所以，所以，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．
故选：D．
3．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理求解即可
【详解】因为，故，由正弦定理，，故m
故选：D
4．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】由题设可得，即可得结果.
【详解】由题设，，而，
所以，可得米.
故选：C
5．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．

【答案】
【分析】由余弦定理求得后可得速度．
【详解】由题意可知，AB＝300m，m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为（m/s），
故答案为：．
6．如下图所示，为了测量山高MN，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶C处为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得，已知山高米，则山高__________米．

【答案】
【分析】利用三角函数求出AC，利用正弦定理求出AM，再利用三角函数求出MN.
【详解】在△ABC中，BC⊥AB，∠BAC=30°，BC=50，
所以AC=100，
因为，，
所以∠AMC=45°，
在△ACM中，由正弦定理得：，
即，解得：，
因为，MN⊥AN，
则（米）.
故答案为：
7．如图，为测得河对岸塔的高，可在河岸上选取与塔底在同一水平面的两个测量点与，现测得,，，，则塔高度为__________.

【答案】
【分析】在三角形中，由正弦定理求出，在直角三角形中，由可求出结果.
【详解】在三角形中，由正弦定理得，
又，所以，
在直角三角形中，.
故答案为：.
8．已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，再从地按南偏东的方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．求地与地之间的距离．
【答案】
【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解.
【详解】
由题意得，，所以，
因为，，
所以 ，
所以，，
地在地的南偏东，地距地．
9．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．

【答案】
【分析】先求得，然后利用余弦定理求得，由此求得正确答案.
【详解】由勾股定理得：，
，
由余弦定理得：，
因为，
所以.
10．如图，从A点和B点测得上海东方明珠电视塔塔顶C的仰角分别为38.3°和50°（A，B两点与塔底D点在同一条直线上），，求东方明珠电视塔的高度（精确到1m）．参考数据：

【答案】
【分析】确定、，利用，求出，即可得到结论．
【详解】解：由题得：在，，
中，，
，
；
；
东方明珠电视塔的高度．
题组B 能力提升练
1．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（    ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理和余弦定理化角为边可得答案.
【详解】因为，由正弦定理可得，
因为，所以，整理可得.
故选：B.
2．一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（    ）
A．海里/小时 B．海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的合成法则和余弦定理，即可求出船速的大小．
【详解】如图所示，

，，，


，
；
又，
船速的大小应为海里小时．
故选：A
3．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，
【详解】设表高为，则，，
而，得，，
故，
得，
故选：D
4．一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（    ）
A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里
【答案】A
【分析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，然后在中利用余弦定理求解即可.
【详解】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，
由题意知，，．
由余弦定理得，
所以，化简得，
解得或（舍去），
所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，
故选：A

5．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（    ）

A．10km B．20km C．km D．km
【答案】C
【分析】三角形为等腰三角形，利用正弦定理求出的长，即为这时船与灯塔的距离.
【详解】由题意，可得，，则，
在中，由正统定理得．
故这时船与灯塔之间的离是km.
故选：C.
6．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米.

【答案】
【分析】在中根据求出，在中根据求出，在中由余弦定理得：求解.
【详解】在中，，
所以，
在中，，，
所以，
在中，，，，
由余弦定理得：

所以(米).
故答案为：.
7．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.

【答案】
【分析】根据已知条件，结合几何图形的特点，利用正余弦定理解三角形即可.
【详解】根据题意可得：，
在三角形中，，故可得，
在三角形中，由正弦定理可得：，即，解得，
在三角形中，，故可得.
即索菲亚教堂的高度为.
故答案为：.
8．如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．

(1)求的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？
【答案】(1)
(2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元）
【分析】（1）根据余弦定理求解即可.
（2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理，得．
在中，由余弦定理得．
由，得，所以，
解得，所以长度为．
（2）小李的设计符合要求．理由如下：
因为，，
因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低．
因为，所以是等边三角形，，
所以，
所以总造价为（元）．
9．已知的周长为，且.
(1)求边的长；
(2)若的面积为，求角的度数.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解；
（2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解．
【详解】（1）解：由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
．
（2）解：的面积，
，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
，
．
10．2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为270m，雪道长为260m．

(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】(1)235m
(2)甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．
【分析】（1）过作，过作，两直线交于，过作垂直地面交地面于，进而根据几何关系求得，即可得答案；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，进而结合题意列方程求解即可.
【详解】（1）解：过作，过作，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：

根据题知 ，∴．
∵BC的坡度，∴．
设，则，∵，∴，
解得（负值已舍去），∴，
所以，该滑雪场的高度h为235m．
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，解得，
经检验，是原分式方程的解，也符合题意，∴．
所以，甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．
题组C 培优拔尖练
1．在中，若，则的面积的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用余弦定理得到关于的表达式，再利用三角形面积公式，结合二次函数最值的求法即可得解.
【详解】依题意，不妨设，，，则，，
由余弦定理得，即，则，
故，则，
所以，
又因为，
故，
当，即时，取得最大值，此时，，能组成三角形．
所以，即.故选：A.
2．的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若为钝角三角形，则
D．若三角形为斜三角形，则
【答案】C
【分析】由大角对大边及正弦定理判断A；由，可得有两解，从而判断B；由余弦定理判断C；由三角形的内角和公式、两角和和正切公式及诱导公式判断D.
【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，
所以，，故A选项正确；
对于B选项，，则，如图：

所以有两解，B选项正确；
对于C选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得，C选项错误；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，所以D正确.
故选：C.
3．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距25米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得，则教学楼AB的高度是（    ）

A．20米 B．25米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】设，用 x表示出BC与BD，然后在三角形BCD中用余弦定理列方程即可.
【详解】设 ，在直角三角形中，
，
在三角形BCD中，，
即 ，解得（舍）.
故选：B.
24．（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（    ）
A． B．的最小值是2
C．的最小值是 D．的面积最小值是
【答案】ABD
【分析】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断．
【详解】解：由题意得：，
由角平分线以及面积公式得，
化简得，所以，故A正确；
，当且仅当时取等号，
，，
所以，当且仅当时取等号，故D正确；
由余弦定理

所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；
对于选项：由得：，，
当且仅当，即时取等号，故C错误；
故选：ABD．
5．（多选）如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．若点D在外，，则下列说法中正确的有（    ）

A．
B．
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积无最大值
【答案】ABC
【分析】由正弦定理化简原式可得，得，从而.
利用面积公式及余弦定理，列出，通过三角函数的值域求出面积最大值即可.
【详解】因为，由正弦定理得：
，
所以，整理得，
所以．因为，
所以，故，
所以，因此A和B正确，
四边形面积等于


．
因此C正确，D错误．
故选：ABC.
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）

【答案】60
【分析】作出图形，在中，，在中利用正弦定理即可求解.
【详解】如图所示，过点作且交的延长线于.

，，，
在中，因为，所以，
在中，因为，
所以，由正弦定理可得：
，即，
所以，
所以河流的宽度BC约等于，
故答案为：.
7．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地______km

【答案】
【分析】由题意作图后由正弦定理求解
【详解】作图如下，由题意得，，，，
故，，而，
得
故答案为：

8．在中，角所对的边长为，，．
(1)若，求的面积；
(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用正弦定理边角互化结合已知条件求得，再根据余弦定理和三角形面积公式求解即可；
（2）利用余弦定理和三角形两边之和大于第三边求解即可.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，
又因为，，
解得，，，
在中由余弦定理可得，
所以，
所以.
（2）因为，
所以为钝角三角形时，必为钝角，
所以由余弦定理得，
所以，解得，
又因为三角形的任意两边之和大于第三边，
所以，即，解得，
所以，
因为为正整数，
.
9．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转；为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；
(2)机器人在完成该指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（参考数据：）.

【答案】(1)
(2)机器人最快可在处截住小球，指令为.
【分析】（1）根据求得正确答案.
（2）利用余弦定理列方程，结合判别式以及“指令”求得正确答案.
【详解】（1）依题意可知，为锐角，所以，
所以指令为.
（2）设，设机器人的速度为，则小球的速度为，
设机器人在处截住小球，时间为，
，所以，
由余弦定理得，
整理得，
解得（）或（，舍去），
当时，，
所以机器人最快可在处截住小球，
此时，
，为锐角，所以，
所以，
故指令为.

10．燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点．

(1)若，求的余弦值；
(2)若，求排水沟的长；
(3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米）
【答案】(1)；(2)百米；(3)百米．
【分析】（1）在直角三角形和直角三角形中，分别求出和的正、余弦值，再利用两角和的余弦公式，求的余弦即可；
（2）在三角形中，使用余弦定理求解即可；
（3）连接，以为参变量，在三角形和中，利用和，结合解三角形知识对，进行求解，并借助函数思想求出的最大值即可.
【详解】（1）∵百米，百米，，
∴在直角三角形中，百米，
∴，，
又∵，，百米，
∴在等腰直角三角形中，百米，，，
∴



.
∴的余弦值为.
（2）由第（1）问，当时，，百米
∴在三角形中，


，
∴百米.
∴排水沟的长为百米.
（3）设，，，
∵、、分别为边、、的中点，
∴，百米，，
∴，百米，，
在三角形中，由余弦定理得,
由正弦定理，
得，

连接，∵，，为边的中点，
∴，，
在三角形中，，
由余弦定理得


，
在三角形中，，
由余弦定理得


，
令
∵，∴，∴，
∴，
令，易知在上单调递增，
∴当时，的最大值为，





.
∴最大值为，
∴条走道总长度的最大值为百米．