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数学必修 第二册9.4 向量应用优秀同步测试题
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这是一份数学必修 第二册9.4 向量应用优秀同步测试题，文件包含94向量应用四大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、94向量应用四大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
知识点01 向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.
(1)用，表示，.
(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
知识点02 向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．
题型一：利用向量证明平面几何问题
【例1】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【变式1-2】（2024·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：．
【方法技巧与总结】
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
题型二：利用向量解决平面几何求值问题
【例2】（2024·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
(1)判断四边形的形状，并给出证明；
(2)若，，与的夹角为，为中点，求．
【变式2-1】（2024·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点
(1)若，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
【变式2-2】（2024·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
【变式2-3】（2024·山东枣庄·高一统考期末）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
【变式2-4】（2024·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期末）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．
【方法技巧与总结】
（1）用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解．
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则．
（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
题型三：向量在物理中的应用
【例3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系．
【变式3-1】（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知N，求，的大小．
【变式3-2】（2024·高一课时练习）如图，用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度)
【变式3-3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【方法技巧与总结】
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．
（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
题型四：平面几何中的平行（共线）问题
【例4】（2024·陕西宝鸡·高一期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点．
【变式4-1】（2024·全国·高一课时练习）如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上.
【方法技巧与总结】
利用向量方法可以解决平面几何中的平行（共线）等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
【变式4-2】（2024·浙江宁波·高一校联考期末）如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值．
一、单选题
1．（2024·全国·高一随堂练习）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．斜三角形D．等腰直角三角形
2．（2024·全国·高一随堂练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5
3．（2024·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
4．（2024·江西九江·高一校考期中）已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P在（ ）
A．的内部B．线段AB上C．直线BC上D．的外部
5．（2024·江苏泰州·高一统考期中）在平行四边形ABCD中，，，，则（ ）
A．B．3C．4D．6
6．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态．若，，，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．（2024·北京丰台·高一统考期末）如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．内心B．垂心C．重心D．边的中点
二、多选题
9．（2024·安徽宣城·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．若向量、满足，则或
B．若向量，的夹角为钝角，则
C．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为4
D．设，是同一平面内两个不共线的向量，若，，则，可作为该平面的一个基底
10．（2024·全国·高一随堂练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
11．（2024·广东江门·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．中，D为BC的中点，则
B．向量，可以作为平面向量的一组基底
C．若非零向量与满足，则为等腰三角形
D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为
12．（2024·高一单元测试）如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（ ）
A．1B．
C．2D．
三、填空题
13．（2024·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）
14．（2024·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .
15．（2024·全国·高一随堂练习）已知中，，且，若，且，则实数λ的值为 .
16．（2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
四、解答题
17．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．
18．（2024·全国·高一随堂练习）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．
(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
19．（2024·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
(1)若，，求x，y的值；
(2)求最小值．
20．（2024·广东清远·高一统考期末）在△ABC中，=3==3.
(1)用向量表示，并判断B，E，F三点是否共线;
(2)若|+|=||=·=，求△ABC的面积.
课程标准
学习目标
体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．
（1）能用向量方法解决简单的几何问题.
（2）能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.
知识点01 向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.
(1)用，表示，.
(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
知识点02 向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．
题型一：利用向量证明平面几何问题
【例1】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.
(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【变式1-2】（2024·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：．
【方法技巧与总结】
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；
④把计算所得结果转化为几何问题．
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③利用向量的坐标运算找到相应关系；
④利用向量关系回答几何问题．
题型二：利用向量解决平面几何求值问题
【例2】（2024·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
(1)判断四边形的形状，并给出证明；
(2)若，，与的夹角为，为中点，求．
【变式2-1】（2024·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点
(1)若，求AE的长；
(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求．
【变式2-2】（2024·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，.
(1)求的长；
(2)求的长.
【变式2-3】（2024·山东枣庄·高一统考期末）如图，在中，，，，点在线段上，且．
(1)求的长；
(2)求．
【变式2-4】（2024·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期末）在中，，，，为的三等分点（靠近点）．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值，并求此时的．
【方法技巧与总结】
（1）用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解．
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则．
（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
题型三：向量在物理中的应用
【例3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系．
【变式3-1】（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知N，求，的大小．
【变式3-2】（2024·高一课时练习）如图，用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度)
【变式3-3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【方法技巧与总结】
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．
（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
题型四：平面几何中的平行（共线）问题
【例4】（2024·陕西宝鸡·高一期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点．
【变式4-1】（2024·全国·高一课时练习）如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上.
【方法技巧与总结】
利用向量方法可以解决平面几何中的平行（共线）等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
【变式4-2】（2024·浙江宁波·高一校联考期末）如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值．
一、单选题
1．（2024·全国·高一随堂练习）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．斜三角形D．等腰直角三角形
2．（2024·全国·高一随堂练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5
3．（2024·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
4．（2024·江西九江·高一校考期中）已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P在（ ）
A．的内部B．线段AB上C．直线BC上D．的外部
5．（2024·江苏泰州·高一统考期中）在平行四边形ABCD中，，，，则（ ）
A．B．3C．4D．6
6．（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知平面上的三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态．若，，，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．（2024·北京丰台·高一统考期末）如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ）
A．内心B．垂心C．重心D．边的中点
二、多选题
9．（2024·安徽宣城·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．若向量、满足，则或
B．若向量，的夹角为钝角，则
C．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为4
D．设，是同一平面内两个不共线的向量，若，，则，可作为该平面的一个基底
10．（2024·全国·高一随堂练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
11．（2024·广东江门·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．中，D为BC的中点，则
B．向量，可以作为平面向量的一组基底
C．若非零向量与满足，则为等腰三角形
D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为
12．（2024·高一单元测试）如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（ ）
A．1B．
C．2D．
三、填空题
13．（2024·全国·高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）
14．（2024·高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .
15．（2024·全国·高一随堂练习）已知中，，且，若，且，则实数λ的值为 .
16．（2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中）在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .
四、解答题
17．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．
18．（2024·全国·高一随堂练习）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．
(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
19．（2024·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
(1)若，，求x，y的值；
(2)求最小值．
20．（2024·广东清远·高一统考期末）在△ABC中，=3==3.
(1)用向量表示，并判断B，E，F三点是否共线;
(2)若|+|=||=·=，求△ABC的面积.
课程标准
学习目标
体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．
（1）能用向量方法解决简单的几何问题.
（2）能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.
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