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    9.4 向量应用(四大题型)练习 高中数学苏教版必修二
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    数学必修 第二册9.4 向量应用优秀同步测试题

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    这是一份数学必修 第二册9.4 向量应用优秀同步测试题,文件包含94向量应用四大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、94向量应用四大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共39页, 欢迎下载使用。


    知识点01 向量方法解决平面几何问题的步骤
    用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
    (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
    (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
    (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
    【即学即练1】(2024·高一课时练习)如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,点F,G分别是AD,BC的三等分点.设,.
    (1)用,表示,.
    (2)如果,EF,EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
    知识点02 向量方法解决物理问题的步骤
    用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:
    (1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题.
    (2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型.
    (3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等.
    (4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
    【即学即练2】(2024·全国·高一随堂练习)如图,两个力和同时作用在一个物体上,其中的大小为,方向向东,的大小为,方向向北,求它们的合力.

    题型一:利用向量证明平面几何问题
    【例1】(2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末)如图所示,已知在正方形中,E,F分别是边,的中点,与交于点M.

    (1)设,,用,表示,;
    (2)猜想与的位置关系,写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
    【变式1-1】(2024·全国·高一随堂练习)用向量的方法证明在等腰三角形ABC中,,点M为边BC的中点,求证:.
    【变式1-2】(2024·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习)在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,,(且),D为AB的中点,E为的重心,F为的外心.
    (1)求重心E的坐标;
    (2)用向量法证明:.
    【方法技巧与总结】
    用向量证明平面几何问题的两种基本思路
    (1)向量的线性运算法的四个步骤:
    ①选取基底;
    ②用基底表示相关向量;
    ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系;
    ④把计算所得结果转化为几何问题.
    (2)向量的坐标运算法的四个步骤:
    ①建立适当的平面直角坐标系;
    ②把相关向量坐标化;
    ③利用向量的坐标运算找到相应关系;
    ④利用向量关系回答几何问题.
    题型二:利用向量解决平面几何求值问题
    【例2】(2024·福建厦门·高一统考期末)在四边形中,,,,其中,为不共线的向量.
    (1)判断四边形的形状,并给出证明;
    (2)若,,与的夹角为,为中点,求.
    【变式2-1】(2024·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习)如图所示,矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合,B,D分别在x,y轴正半轴上,,,点E为AB上一点

    (1)若,求AE的长;
    (2)若E为AB的中点,AC与DE的交点为M,求.
    【变式2-2】(2024·河北沧州·高一校考阶段练习)如图,在中,.
    (1)求的长;
    (2)求的长.
    【变式2-3】(2024·山东枣庄·高一统考期末)如图,在中,,,,点在线段上,且.
    (1)求的长;
    (2)求.
    【变式2-4】(2024·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期末)在中,,,,为的三等分点(靠近点).
    (1)求的值;
    (2)若点满足,求的最小值,并求此时的.
    【方法技巧与总结】
    (1)用向量法求长度的策略
    ①根据图形特点选择基底,利用向量的数量积转化,用公式求解.
    ②建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若,则.
    (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想
    ①几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质求解.
    ②坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
    题型三:向量在物理中的应用
    【例3】(2024·全国·高一随堂练习)如图,小娟、小明两人共提一桶水匀速前行.已知两人手臂上的拉力大小相等且均为,两人手臂间的夹角为,水和水桶的总重力为,请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系.
    【变式3-1】(2024·全国·高一课堂例题)如图所示,把一个物体放在倾角为的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力,沿着斜面向上的摩擦力,垂直斜面向上的弹力.已知N,求,的大小.

    【变式3-2】(2024·高一课时练习)如图,用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量,重力加速度)
    【变式3-3】(2024·全国·高一随堂练习)如图,在倾角为、高m的斜面上,质量为5kg的物体沿斜面下滑,物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍,N/kg.求物体由斜面顶端滑到底端的过程中,物体所受各力对物体所做的功,(参考数据,).
    【方法技巧与总结】
    用向量解决物理问题的一般步骤
    (1)问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.
    (2)模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型.
    (3)参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值.
    (4)问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
    题型四:平面几何中的平行(共线)问题
    【例4】(2024·陕西宝鸡·高一期末)如图,已知分别是的三条高,试用向量的方法求证:相交于同一点.
    【变式4-1】(2024·全国·高一课时练习)如图,点O是平行四边形的中心,分别在边上,且,求证点在同一直线上.
    【方法技巧与总结】
    利用向量方法可以解决平面几何中的平行(共线)等问题,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.
    【变式4-2】(2024·浙江宁波·高一校联考期末)如图,在梯形中,,,,点、是线段上的两个三等分点,点,点是线段上的两个三等分点,点是直线上的一点.
    (1)求的值;
    (2)求的值;
    (3)直线分别交线段、于,两点,若、、三点在同一直线上,求的值.
    一、单选题
    1.(2024·全国·高一随堂练习)已知的三个顶点分别是,,,则的形状是( )
    A.等腰三角形B.直角三角形
    C.斜三角形D.等腰直角三角形
    2.(2024·全国·高一随堂练习)马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱,当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时,每只胳膊的拉力大小为,此时两只胳膊的夹角为,试估算小猴子的体重(单位)约为( )(参考数据:取重力加速度大小为,)
    A.9.2B.7.5C.8.7D.6.5
    3.(2024·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习)是边长为2的正方形边界或内部一点,且,则的最大值是( )
    A.2B.4C.5D.6
    4.(2024·江西九江·高一校考期中)已知的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足,则点P在( )
    A.的内部B.线段AB上C.直线BC上D.的外部
    5.(2024·江苏泰州·高一统考期中)在平行四边形ABCD中,,,,则( )
    A.B.3C.4D.6
    6.(2024·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习)已知平面上的三个力,,作用于同一点,且处于平衡状态.若,,,则( )
    A.B.1C.D.2
    7.(2024·北京丰台·高一统考期末)如图,在四边形中,.若为线段上一动点,则的最大值为( )

    A.B.C.D.
    8.(2024·上海徐汇·高一上海中学校考期末)已知为所在平面内一点,是的中点,动点满足,则点的轨迹一定过的( )
    A.内心B.垂心C.重心D.边的中点
    二、多选题
    9.(2024·安徽宣城·高一统考期末)下列命题正确的是( )
    A.若向量、满足,则或
    B.若向量,的夹角为钝角,则
    C.已知,,则向量在向量方向上的投影向量的长度为4
    D.设,是同一平面内两个不共线的向量,若,,则,可作为该平面的一个基底
    10.(2024·全国·高一随堂练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似,所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已知是内一点,,,的面积分别为,,,则.设是内一点,的三个内角分别为,,,,,的面积分别为,,,若,则以下命题正确的有( )

    A.
    B.有可能是的重心
    C.若为的外心,则
    D.若为的内心,则为直角三角形
    11.(2024·广东江门·高一统考期末)下列说法正确的是( )
    A.中,D为BC的中点,则
    B.向量,可以作为平面向量的一组基底
    C.若非零向量与满足,则为等腰三角形
    D.已知点,,点P是线段AB的三等分点,则点P的坐标可以为
    12.(2024·高一单元测试)如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上(含原点)上滑动,则的值可能是( )
    A.1B.
    C.2D.
    三、填空题
    13.(2024·全国·高一随堂练习)如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同,则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .(注:重力加速度取,精确到0.01N)

    14.(2024·高一单元测试)长江流域内某段南北两岸平行,如图,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为,水流的速度的大小为,设和所成的角为,若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则 .

    15.(2024·全国·高一随堂练习)已知中,,且,若,且,则实数λ的值为 .
    16.(2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期中)在中,,,点为边的中点,点在边上运动,则的最大值为 .
    四、解答题
    17.(2024·全国·高一随堂练习)如图,在细绳l上作用着一个大小为200N的力,与水平方向的夹角为45°,细绳上挂着一个重物,使细绳的另一端与水平面平行,求物重G的大小.

    18.(2024·全国·高一随堂练习)如图,质量的木块,在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下,沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离.

    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功;
    (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和;
    (3)求物体所受合外力对物体所做的功,它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系?
    19.(2024·江西九江·高一统考期末)已知四边形ABCD是边长为2的菱形,,P为平面ABCD内一点,AC与BP相交于点Q.
    (1)若,,求x,y的值;
    (2)求最小值.
    20.(2024·广东清远·高一统考期末)在△ABC中,=3==3.
    (1)用向量表示,并判断B,E,F三点是否共线;
    (2)若|+|=||=·=,求△ABC的面积.
    课程标准
    学习目标
    体会向量在解决数学和实际问题中的作用,培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力.
    (1)能用向量方法解决简单的几何问题.
    (2)能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.
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