【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第八章 立体几何初步单元测试（强化卷）

第八章 立体几何初步单元测试（强化卷）

一、单选题

1．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；

方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解

【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，，故面积为.

方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为，

故原图的面积为.

故选：A

2．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】A

【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.

【详解】设正方体的棱长为，连接，，，

因为，故或其补角为直线与直线所成角.

而，，，

故，所以，

所以，因为为锐角，故，

故选：A.

3．如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用勾股定理可求得，可还原，由此可求得结果.

【详解】，，，，

则如图所示，

其中，，，.

故选：B.

4．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解.

【详解】在正方体中，连接，，可得，

所以异面直线与所成角即为直线与所成角，

即为异面直线与所成角，

不妨设，则，，

取的中点，因为，所以，

在直角中，可得.

故选：B.

5．如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（    ）

A．75° B．60° C．50° D．45°

【答案】C

【分析】作出遮阳棚ABC与地面所成二面的平面角，再借助正弦定理推理、计算作答.

【详解】过C作平面于E，连DE并延长交AB于O，连CO，如图，

依题意，，而，，则平面，又平面，有，

因此，是遮阳棚ABC与地面所成二面的平面角，令，而，

由于AB长一定，要使遮阴影面ABD面积最大，当且仅当最长，

在中，长是定值，由正弦定理得：，当且仅当，即取“=”，

所以遮阳棚ABC与地面所成的角应为.

故选：C

6．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）

A．直线与直线垂直，直线平面

B．直线与直线平行，直线平面

C．直线与直线相交，直线平面

D．直线与直线异面，直线平面

【答案】A

【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.

【详解】

连，在正方体中，

M是的中点，所以为中点，

又N是的中点，所以，

平面平面，

所以平面.

因为不垂直，所以不垂直

则不垂直平面，所以选项B,D不正确；

在正方体中，，

平面，所以，

，所以平面，

平面，所以，

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.

7．如图所示，平行四边形中，，且.将其沿折成直二面角，所得的四面体的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由面面垂直的性质定理可得出平面，求出的外接圆半径，利用公式可求得外接球的半径，然后利用球体的表面积公式可得出结果.

【详解】翻折前且，，则，

翻折后，平面平面，平面平面，平面，

平面，

的外接圆直径为，，

所以，四面体的外接球半径为，

因此，外接球的表面积为.

故选：D.

【点睛】本题考查外接球表面积的计算，解题时要弄清几何体的结构特征，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

8．如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面哪个选项不是该几何体的截面？

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】可通过确定截面的不同位置去剖开正方体，想象相对应的截面形状，即可确定答案.

【详解】对于A，由于截面中间是矩形，如果可能的话，一定是用和正方体底面平行的截面去剖开

正方体并且是从挖去四棱锥的那部分剖开，但此时剖面中间应该是一个正方形，

因此A图形不可能是截面；

对于B，当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，

如图：

此时截面形状如B图形，故B可能是该几何体的截面；

对于C,当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，

如图中截面PDGH位置：

截面就会如C图形，故C可能是该几何体的截面；

对于D，如图示，按图中截面 的位置去剖开正方体，截面就会如D图形，

故D可能是该几何体的截面；

故答案为：A

二、多选题

9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】BD

【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.

【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；

对B：若，，则，故选项B正确；

对C：若，，则或与相交，故选项C正确；

对D：若，，，则，故选项D正确.

故选：BD.

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，底面ABCD，M为PA的中点，则下列叙述中正确的是（    ）

A．PC//平面MBD

B．平面PAC

C．异面直线BC与PD所成的角是

D．直线PC与底面ABCD所成的角的正切值是

【答案】CD

【分析】利用反证法，根据线面平行的性质定理，结合题意，可判断A的正误；利用反证法，根据线面垂直的性质定理，可判断B的正误；根据异面直线成角的几何求法，即可判断C的正误；根据线面角的几何求法，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】设，则E不是中点，假设平面

因为平面，平面平面，

所以，

因为M为中点，所以E是中点，与题意矛盾，所以A错；

假设平面，则，

因为直角梯形ABCD所，，

所以知与不垂直，与假设矛盾，故B错；

因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，为，

因为是等腰直角三角形，所以，

故异面直线与所成的角是，所以C对．

因为底面，

所以直线与底面所成的角为，

又因为，，

所以，所以D对．

故选：CD．

11．如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．

B．是等边三角形

C．与所成的角为

D．与平面所成的角为

【答案】ABC

【分析】对于A，根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的判定定理，再利用线面垂直的性质定理即可求解；

对于B，根据直角三角形斜边的中线定理及面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及勾股定理即可求；

对于C,根据直角三角形斜边的中线定理及三角形的中位线定理，再结合异面直线所成角的定义即可求解；

对于D，根据B选项及线面角的定义，结合等腰直线三角形即可求解.

【详解】如图所示

对于A，取的中点，连接，折叠后是等腰直角三角形，

，，又,

所以平面，平面，所以，故A项正确；

对于B，设折叠前正方形的边长为，则，，

由平面平面，因为是的中点，是等腰直角三角形，

所以，又平面平面，平面，

所以平面,平面，所以,

所以，

所以是等边三角形，故B项正确；

对于C，设折叠前正方形的边长为，则取的中点的中点，连接，，

所以

所以是直线与所成的角（或补角），

在中，，所以是等边三角形，所以，

所以与所成的角为，故C项正确；

对于D，由B 选项知，平面,是直线在平面内的射影，

所以是直线与平面所成的角，

因为是的中点，是等腰直角三角形，

所以，，所以是等腰直角三角形；即，

所以与平面所成的角为，故项错误.

故选：ABC.

12．如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（ ）

A．与垂直

B．与平行

C．点到点，，，的距离相等

D．与平面，与平面所成的角可能相等

【答案】AC

【解析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等

【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.

因为，所以，所以平面，所以，从而A正确；

由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B错误；

点是的外心，所以到，，的距离相等，

根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C正确；

与平面所成的角即，与平面所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法：

（1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；

（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；

（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.

三、填空题

13．如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为___________.

【答案】

【分析】根据直观图与原图形面积之间的关系即可求解.

【详解】解：，且，

故，

∴.

故 答 案 为：.

14．如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________.

【答案】

【分析】将此三棱锥放入正方体中，即转化为正方体的外接球的问题，而正方体的体对角线即为相应的外接球的球直径，进而可以求得体积.

【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为，

所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，

求出正方体的对角线的长为，

所以球的直径是，半径为，所以球的体积为.

故答案为：.

15．已知三棱锥的一条棱长为，其余棱长均为．当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为______．

【答案】

【分析】首先分析线面间的关系，得到平面平面时，三棱锥的体积最大，得到此时，接着确定球心的位置，根据勾股定理及线面间的关系，最后获得外接球的半径，进而求出外接球的表面积.

【详解】解：由题意画出三棱锥的图形，

其中，.

取，的中点分别为，，

可知，，且，

∴平面，

∴平面平面时，三棱锥的体积最大，

此时.

设三棱锥外接球的球心为，半径为，由球体的对称性知，

球心在线段上，∴，

又，

设，

在三角形中：，

在三角形中：

∴，

解得.

∴球的半径满足，

∴三棱锥外接球的表面积为.

故答案为：.

16．已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为___________；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为_______________.

【答案】     ##    

【分析】画出图形，求出四面体的高，从而求出四面体的体积；通过分析得到，，即O，F两点重合，画出图形，得到落在内部的长为半径为1的圆周长的一半，从而求出答案.

【详解】

如图1，过点P作PF⊥CO交CO的延长线于点F，则∠POF=60°，

因为菱形的边长为2，，

所以，，

故四面体的体积为；

当四面体的体积为1时，此时，

解得：，，即O，F两点重合，

即PO⊥底面BCD，如图2，

以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以O为圆心，半径为的圆，

落在内部的长为圆周长的一半，所以长度为.

故答案为：，

四、解答题

17．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．

【答案】证明见解析.

【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得.

【详解】∵在中，D是AB的中点，，

∴,

∵E是PB的中点，D是AB的中点，

∴，

∴，

又，，平面，平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

又，，平面，平面，

∴平面．

18．为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为10cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，求制造该漏斗所需材料的面积．（假设材料没有浪费）

【答案】

【分析】由条件计算圆锥的母线长和底面半径，再由圆锥侧面积公式求其侧面积，由此可得制造该漏斗所需材料的面积．

【详解】解：如图，由题意知，，，

因为，所以，即，

解得，所以，

可得圆锥母线，

所以侧面积．

19．如图，、是圆锥SO的两条母线，是底面圆的圆心，底面圆半径为10，是的中点，，与底面所成角为，求此圆锥的侧面积．

【答案】．

【分析】先求出，再求出，从而得到，最后根据侧面积公式计算即可.

【详解】如图，作于，连接．

根据题意，得为与底面所成角，．

在中，易知是正三角形，

且有，，，．

因此在等腰Rt中，，

所以，．

则．

20．如图所示，已知斜三棱柱，侧面为菱形，点在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，，.

(1)求证：平面；

(2)求四面体外接球的表面积.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明和，原题即得证；

（2）如图所示，设是中点，连接,设四面体外接球的球心为,连接,过作连接.求出四面体外接球的半径即得解.

(1)

证明：由于侧面为菱形，所以.

因为点在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，

所以平面，而BC在平面ABC内，所以.

因为.

又因为平面，

所以平面，而AC1在平面ACC1A1中，所以.

又因为平面，

所以平面.

(2)

解：如图所示，设是中点，连接,设四面体外接球的球心为,连接,过作连接.

因为

因为

所以四面体是一个正三棱锥，所以在底面上的射影是的重心，

所以.

由题得四边形是矩形，所以,

所以.

所以四面体外接球的半径为，

所以四面体外接球的表面积为.

21．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．

（1）求证：；

（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．

【答案】（1）证明见解析；

（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.

【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证；

（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论.

【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以；

（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：

因为、分别是、的中点，所以，

又平面，平面，所以平面.

由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而，

又平面，平面，所以平面.

又因为，所以，平面平面

【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面.

22．如图，在三棱锥中，已知平面ABC，， D为PC上一点，且．

(1)若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；

(2)若，，证明：平面ABD．

【答案】(1)3：1

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，由，可得点到平面的距离为，则，再由，即可得到面积比；

（2）依题意可得平面，即可得到，再由三角形相似证明，即可得证；

（1）

解：由题意有．

∵为的中点，∴．

又，∴点到平面的距离为．

∴．

∴．

∴三棱锥与三棱锥的体积之比为．

（2）

证明：∵平面，平面，∴．

∵，∴．

∵，，平面，

∴平面．

又平面，∴．

在中，由，，得．

又，得．∴．

∵，∴．又，∴．

∴，即．

又， 平面ABD，∴平面．