人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精品同步测试题

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3.1 函数的概念及其表示
思维导图


新课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

知识梳理
一、　函数的有关概念
函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合叫做函数的值域

二、　同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
三、　区间
1．区间概念(a，b为实数，且a 定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]

{x|a 开区间
(a，b)

{x|a≤x 半开半闭区间
[a，b)

{x|a 半开半闭区间
(a，b]


2.其他区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x 区间
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)

四、　函数的表示方法

五、　分段函数
1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．












名师导学
知识点1 函数关系的判断
(1)判断一个对应关系是否为函数的方法

(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
【例】（2021·重庆·西南大学附中高一期中）下列图形是函数图像的是（       ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（       ）
A． B．
C． D．




知识点2 求函数值
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
【例2-1】（2021·全国·高一课前预习）已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).




【例2-2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)求，的值；
(2)求证：的定值；
(3)求的值．










【变式训练2-1】（2022·湖南·高一课时练习）已知函数，求的值．




【变式训练2-2】（2022·湖南·高一课时练习）已知定义域为R的函数和，求，，，的值．






知识点3 函数的定义域（重点）
求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
【例3-1】（2022·湖南·高一课时练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．




【例3-2】（2022·全国·高一课时练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
（2）已知函数的定义域为，则的定义域为______．
【变式训练3-1】（2022·广东潮州·高一期末）函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.

知识点4 区间
用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
【例】（2022·全国·高一专题练习）将下列集合用区间表示出来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．







【变式训练4-1】（2020·全国·高一课时练习）已知区间，则的取值范围为______．
【变式训练4-2】（2022·湖南·高一课时练习）用区间表示下列集合：
(1)；
(2)且.



知识点5 同一函数的判断
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
【例5-1】（2021·湖南省邵东市第三中学高一阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（多选）（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式训练5-1】（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练5-2】（多选）（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）下列四组函数中，表示同一函数的是(       )
A．， B．，
C．， D．，
知识点6 函数的值域
求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
【例】（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝；
(4)y＝x＋．




【变式训练6-1】（2021·重庆·西南大学附中高一期中）函数f(x)=1-的值域为（       ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是_________.
【变式训练6-3】（2022·江苏·高一）函数的值域为___________．
【变式训练6-4】（2021·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）求下列函数的值域.
（1），
（2），
（3）


知识点7 函数的三种表示法（重点）
理解函数表示法的三个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
【例】已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．
(1)写出函数t的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
(3)画出函数t的图象．






【变式训练7-1】（2021·湖北·高一阶段练习）一只蚂蚁从正方形的一个顶点出发，沿着正方形的边逆时针运动一周后回到点，假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变，则蚂蚁与点的距离随时间变化的大致图象为（       ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知函数用列表法表示如表，若，则可取（       ）

1
2
3
4
5

2
3
4
2
3
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练7-3】（2021·全国·高一专题练习）某问答游戏的规则是：共5道选择“题”，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法､图象法､解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系.






知识点8 函数图象的画法
作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
【例】（2021·全国·高一课前预习）作出下列函数的图象.
(1)；
(2)；
(3)．




【变式训练8-1】（2021·全国·高一课前预习）作出下列函数的图象.
(1)y＝x＋2，|x|≤3；
(2)，x∈Z且|x|≤2.





知识点9 函数的解析式（重难点）
求函数解析式的四种常用方法
(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
【例9-1】（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求函数的解析式；
（4）已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．







【例9-2】（2021·全国·高一专题练习）（1）若二次函数满足，，求.
（2）若对任意实数，均有，求.
（3）已知，求的解析式；
（4）已知，求的解析式.









【变式训练9-1】（2022·湖南·高一课时练习）已知函数对任意满足等式，求．




【变式训练9-2】（2021·安徽师范大学附属中学高一期中）（1）已知函数，求的解析式；
（2）已知为二次函数，且，，求的解析式.







【变式训练9-3】（2022·甘肃兰州·高一期末）求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．









【变式训练9-4】（2021·天津市第二南开中学高一期中）（1）已知二次函数满足，求的解析式；
（2）已知满足，求的解析式.












知识点10 分段函数求值（重点）
(1)分段函数求值的方法
①先确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
【例10-1】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知函数，则（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【例10-2】（2021·江苏宿迁·高一期中）设函数，则满足的 x 的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【例10-3】（2021·福建·福州黎明中学高一期中）已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值.










【变式训练10-1】（2022·云南·峨山彝族自治县第一中学高一期中）已知函数，则（       ）
A．5 B． C． D．
【变式训练10-2】（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期末）已知函数f(x)＝设f(0)＝a，则f(a)＝（       ）
A．－2 B．－1
C． D．0
【变式训练10-3】（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知函数，若，则（       ）
A． B． C． D．
【变式训练10-4】（2022·陕西咸阳·高一期末）已知函数，若，则___________.
【变式训练10-5】（2021·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）已知函数，则_____.
【变式训练10-6】（2021·福建三明·高一期中）已知函数且.
(1)求；
(2)若，求实数m的值.



知识点11 分段函数的图象及应用（重难点）
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．

【例11-1】（2021·江苏·高一课时练习）作出分段函数的图象．






【例11-2】（2020·全国·高一单元测试）已知函数．
（1）画出函数的图象；       
（2）由图象写出满足的所有的集合（直接写出结果）；
（3）由图象写出满足函数的值域（直接写出结果）．












【变式训练11-1】（2022·河南平顶山·高一期末）定义运算，则函数的部分图象大致是（       ）
A． B．
C． D．
【变式训练11-2】（2021·海南二中高一阶段练习）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．



知识点12 分段函数的实际应用
　分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．

【例】（2022·湖南·高一课时练习）A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．











【变式训练12-1】（2021·全国·高一课时练习）如图，已知动点P从边长为1的正方形ABCD顶点A开始沿边界绕一圈，若用x表示点P从A出发后的行程，y表示PA的长．求y关于x的函数解析式．












名师导练
A组-[应知应会]
1．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·高一）设函数，则的值为（       ）
A． B． C． D．18
4．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知函数分别由下表给出：






















下列能满足的的值是（       ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一专题练习）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（       ）
A． B．
C． D．
6．（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）如果函数对任意满足，且，则（       ）
A．2022 B．2024 C．2020 D．2021
8．（多选）（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（       ）

A． B．
C．函数的定义域是 D．函数的值域是
9．（多选）（2021·湖南·怀化五中高一期中）以下是同一函数的有（       ）
A．，； B．，；
C．，； D．，.
10．（多选）（2022·广东韶关实验中学高一阶段练习）已知函数，若，则的值可能是（       ）
A． B．3 C． D．5
11．（2022·全国·高一）已知函数，那么的表达式是___________.
12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则______.
13．（2020·浙江衢州·高一期中）已知，则___________；若，则实数的值为___________.
14．（2021·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3).




15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．





16．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）求下列函数的解析式：
(1)已知，求；
(2)已知函数是二次函数，且，求.








18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)求，的值；
(2)由（1）中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现；
(3)求的值．

















B组-[素养提升]
1．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））设的定义域为R，且满足，，若，则（       ）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
2．（2021·全国·高一专题练习）拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数给出，其中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到乙地通话5分钟的话费为（       ）
A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元
3．（2021·广东·深圳市第二高级中学高一阶段练习）函数的函数值表示不超过的最大整数，则，的值域为______；，的值域为______
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数满足，对任意的，，有，则___________.
5．（2021·全国·高一课前预习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.






6．（2021·云南省大姚县第一中学高一期末）已知定义域为的函数满足.
（1）若，求；又若，求.
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.