高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精品练习

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3.3 幂函数
思维导图

新课标要求
通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。

知识梳理
一、幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
二、五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减

三、一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．

名师导学
知识点1 幂函数的概念
幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．
【例1-1】在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
【例1-2】已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
解　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
【变式训练1-1】给出下列函数:
①y=x3;②y=x2+2x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=x-2.
其中幂函数的个数为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
C　[解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C.
【变式训练1-2】已知幂函数y=(m2-m-1)xm2-2m-3,求此幂函数的解析式,并指出其定义域.
解:∵y=(m2-m-1)xm2-2m-3为幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,则y=x-3(x≠0);
当m=-1时,m2-2m-3=0,则y=x0(x≠0).
故所求幂函数的解析式为y=x-3(x≠0)或y=x0(x≠0).


知识点2 幂函数的图象及应用
(1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
【例2-1】若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x) 解　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1 【变式训练2-1】如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
答案　B
解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2.
知识点3 幂函数的性质
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
【例2-1】[2021·安徽亳州二中高一期中] 已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m= (　　)
A.2 B.-1
C.4 D.2或-1
A【解析】因为f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-2<0,所以m=2.故选A.
【例2-2】比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与 .
解　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝在(0，＋∞)上单调递增，
又>1，∴> ＝1.
又∵函数y2＝在(0，＋∞)上单调递增，且<1，
∴< ＝1，∴>.
【变式训练2-1】比较下列各组数的大小：
(1)0.3与0.3；(2)－3.143与－π3.
解　(1)∵y＝x0.3在[0，＋∞)上单调递增且>，
∴0.3>0.3.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
【变式训练2-2】已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 < 的a的取值范围．
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为<.
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a 解得 故a的取值范围是.
名师导练
A组-[应知应会]
1．已知点22,24在幂函数y=f(x)的图像上,则 (　　)
A.f(x)=x3 B.f(x)=x3
C.f(x)=x-2 D.f(x)=12x
B　[解析] 设f(x)=xa,由题意知22a=24=223,所以a=3,所以f(x)=x3.故选B.
2．（2021秋•三明期末）已知幂函数的图象经过点，则实数的值是　　
A． B． C．2 D．3
【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出的值．
【解答】解：幂函数的图象经过点，
，
，
故选：．
3．（2021秋•下城区校级期末）若一个幂函数的图象经过点，则它的单调增区间是　　
A． B． C． D．
【分析】先求出幂函数的解析式，再得出其单调增区间．
【解答】解：设幂函数，
函数经过点，
，解得，
，
故它的单调递增区间为．
故选：．
4．（2021秋•杨浦区校级期末）已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以为　　

A． B． C． D．
【分析】根据幂函数的图象关于轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出选项正确．
【解答】解：根据幂函数的图象关于轴对称，函数是偶函数，排除、选项；
再根据幂函数的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，
所以，排除，即选项正确．
故选：．
5．已知幂函数y=(m2-2m-2)xm2+m-1在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为 (　　)
A.-1 B.3
C.-1或3 D.1或-3
B　[解析] 因为幂函数y=(m2-2m-2)xm2+m-1在(0,+∞)上单调递增,所以m2-2m-2=1且m2+m-1>0,解得m=3,则实数m的值为3.
6．（2021秋•白山期末）若函数是幂函数，且在上单调递增，则（2）　　
A． B． C．2 D．4
【分析】根据幂函数的定义，令，求出的值，再判断是否满足幂函数在上为增函数即可，确定的值，从而求出幂函数的解析式，得出结果．
【解答】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或．
又因为在上单调递增，所以，
所以，，
从而（2），
故选：．
7．（2020秋•河南月考）幂函数的图象如图所示，则的值为　　

A．或0 B． C．0 D．
【分析】依题意，或或0，结合函数为奇函数，依次验证即可得到答案．
【解答】解：由幂函数在第一象限的单调性可得，，解得，
再由可得，或或0．
又从图象可知该函数是奇函数，
若，则，符合题意；
若，则，不合题意；
若，则，符合题意，
综上，或0．
故选：．
8．（2022春•沈河区校级月考）设，则，，的大小顺序是　　
A． B． C． D．
【分析】先判断，再化、，利用幂函数的性质判断、的大小．
【解答】解：，
，
；
且，函数在上是单调增函数，
所以，
所以；
综上知，．
故选：．
9．(多选题)已知幂函数f(x)=xmn (m,n∈N*,m,n互质),则下列关于f(x)的结论正确的是 (　　)
A.当m,n是奇数时,幂函数f(x)是奇函数
B.当m是偶数,n是奇数时,幂函数f(x)是偶函数
C.当0 D.当m,n是奇数时,幂函数f(x)的定义域为R
ABD　[解析] f(x)=xmn=nxm.当m,n是奇数时,幂函数f(x)是奇函数,故A中的结论正确;当m是偶数,n是奇数时,幂函数f(x)是偶函数,故B中的结论正确;当0 10．（多选）（2021秋•徐州期末）下列关于幂函数的性质，描述正确的有　　
A．当时函数在其定义域上是减函数
B．当时函数图象是一条直线
C．当时函数是偶函数
D．当时函数有一个零点0
【分析】根据幂函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：对于，时幂函数在和是减函数，在其定义域上不是减函数，错误；
对于，时幂函数，其图象是一条直线，去掉点，错误；
对于，时幂函数在定义域上是偶函数，正确；
对于，时幂函数在上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，正确．
故选：．
11．（2019秋•金山区校级期末）幂函数的图象经过点，则的值为　 　．
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值．
【解答】解：设幂函数，；
其图象过点，
所以，解得；
所以，
所以．
故答案为：4．
12．[2021·厦门外国语学校高一期中] 已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数,则实数m的值为　　　　. 
3　[解析] ∵f(x)为幂函数,∴m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.当m=2时,f(x)=x为奇函数,不满足题意;当m=3时,f(x)=x2为偶函数,满足题意.综上所述,m=3.
13．（2021秋•湖州期末）幂函数的图象经过点，则的值为　 　；函数为　　函数．（填“奇”或“偶”
【分析】先求出幂函数解析式，再判断奇偶性即可．
【解答】解：幂函数的图象经过点，
，，
，定义域为，
又，是奇函数，
故答案为：3，奇．
14．（2020春•嘉陵区月考）若幂函数在上为减函数，则实数的值是　　
【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知，再根据函数在上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的值应满足以上两条．
【解答】解：因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以，解得：．
故答案为：．
15．（2021秋•道里区校级月考）当时，，，的大小关系是　　 ．
【分析】画出这三个函数在区间上的图象可得答案．
【解答】解：画出幂函数的图象如下图可知

故答案为
16．（2021•西湖区校级模拟）已知函数的图象在，上单调递增则　 　，（2）　　．
【分析】根据幂函数的单调性，列出不等式求出的值，写出的解析式，再计算（2）的值．
【解答】解：函数的图象在，上单调递增，
所以，
即，
解得；
又，且，
所以，2，
当时，；
当时，；
所以（2）．
故答案为：0，2；8．
17．[2021·浙江宁波高一期中] 已知幂函数f(x)的图像过点P8,12.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图像,并指出其单调区间.
解:(1)设f(x)=xα.
∵f(x)的图像过点P8,12,∴8α=12,
即23α=2-1,解得α=-13,故函数f(x)的解析式为f(x)=x-13(x≠0).
(2)作出函数f(x)的图像如图所示.

由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.
18．[2021·广州六中高一期中] 已知幂函数f(x)的图像过点(2,2).
(1)求出函数f(x)的解析式,判断并证明f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(2)若函数g(x)是R上的偶函数,当x≥0时,g(x)=f(x),求满足g(1-m)≤5的实数m的取值范围.
解:(1)设f(x)=xα,
将点(2,2)的坐标代入,得2=2α,解得α=12,
所以f(x)=x12.
幂函数f(x)=x12=x在[0,+∞)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1 因为x1-x2<0,x1+x2>0,所以f(x1) 故幂函数f(x)=x在[0,+∞)上单调递增.
(2)当x≥0时,g(x)=f(x),而幂函数f(x)=x在[0,+∞)上单调递增,
所以当x≥0时,g(x)单调递增.
因为函数g(x)是R上的偶函数,
所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.
由g(5)=5,g(1-m)≤5可得|1-m|≤5,解得-4≤m≤6,
所以满足g(1-m)≤5的实数m的取值范围为[-4,6].

B组-[素养提升]
1．已知幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于(　　)
A．1 B．0,2
C．－1,1,3 D．0,1,2
答案　C
解析　∵幂函数y＝ (m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1,1,3.
2．（2022春•凯里市校级期中）已知一次函数的图象过点和，为幂函数．
（Ⅰ）求函数与的解析式；
（Ⅱ）当时，解关于的不等式：．
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）分或，，，四种情况讨论即可．
【解答】解：根据一次函数的图象过点和，
设，
则，解得，则
为幂函数，则，故
即，
则△
当或时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为．