人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念精品一课一练

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1.1 集合的概念
思维导图


新课标要求
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系。
2.针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。

知识梳理
一、元素与集合的概念
1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a,b,c…表示.
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写拉丁字母A，B，C…表示.
3.集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.
4.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的，无序的.
二、元素与集合的关系
1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作.
2.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作.
三、常见的数集及符号表示
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
四、集合的表示法
1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.
2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.

名师导学
知识点1 集合的概念
判断一组对象是否能构成集合的三个依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
【例1】（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（       ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【解析】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
【变式训练1-1】（2021·广东·广州外国语学校高一阶段练习）下列说法中正确的是（       ）
A．与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
【答案】C
【解析】解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；
对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；
对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；
对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；
故选：C
【变式训练1-2】（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）下列能构成集合的是（       ）
A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生 D．数学必修第一册课本中所有的难题
【答案】C
【解析】构成集合的元素具有确定性，
选项ABD中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确.
故选：C.
【变式训练1-3】（多选）（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）给出下列说法，其中正确的有（　　）
A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；
B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；
C．正偶数的全体可以构成一个集合；
D．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
【答案】AC
【解析】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；
高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；
正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；
大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D错误.
故选：AC.

知识点2 元素与集合的关系
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．

【例2-1】（2021·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.
故选：B.
【例2-2】（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）下列元素与集合的关系判断正确的是（　　）
A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1∉Z
【答案】A
【解析】0是自然数，是无理数，不是有理数，是整数，根据元素和集合的关系可知，只有A正确；
故选：A
【变式训练2-1】（2022·北京大兴·高一期末）已知集合，则 （       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.
所以，，，
故选：D
【变式训练2-2】（2022·全国·高一课时练习）用“”或“”填空．
___________N；___________Z；___________Q； ___________R．
【答案】     ∉     ∈     ∉     ∈






知识点3 集合的表示法（重点）
1.用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．
2.利用描述法表示集合的关注点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．

【例3-1】（2021·全国·高一课前预习）用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
（4）由所有正整数构成的集合．
【解】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0，2，4，6，8，10}．
（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
【例3-2】（2021·全国·高一课时练习）用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：______；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；
（3）偶数集：______；
（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．
【答案】                   
【解析】（1）由描述可得：集合为.
（2）第一、三象限角平分线上的所有点都在上，故集合为.
（3）由偶数可表示为，故集合为.
（4）由描述知：集合为.
故答案为：，，，.
【变式训练3-1】（2021·贵州·六盘水红桥学校高一期中）集合用列举法表示正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】且，所有可能的取值为，.
故选：A.
【变式训练3-2】（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）表示方程的根的集合，用列举法可以表示为______，用描述法可表示为______.
【答案】        （答案不唯一）
【解析】由，得，解得，或，
所以方程根的集合用列举法可以表示为，
用描述法可表示为（答案不唯一）
故答案为：，（答案不唯一）
【变式训练3-3】（2021·江苏·高一课时练习）若用描述法表示所有负偶数构成的集合M，则__________________.
【答案】
【解析】所有负偶数构成的集合M
则.
故答案为：.
【变式训练3-4】（2021·全国·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
（1）；
（2）{(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．
【解】(1)因为，所以是6的因数，
则，即x＝1，3，4，0，－1，5，－4，8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1，0，1，3，4，5，8}；
(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1，2，3，4，
其对应的y的值分别为3，6，9，12.
所以原集合可用列举法表示为{(1，3)，(2，6)，(3，9)，(4，12)}．
【变式训练3-5】（2021·全国·高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合：
(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
【解析】(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；
(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；
(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；
(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．


知识点4 集合性质的应用（难点、易错点）
利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
【例4-1】（2021·山东聊城一中高一期中）若，则的可能取值有（       ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【解析】，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.
故选：C
【例4-2】（2021·江苏·高一课时练习）若，则中的元素应满足什么条件？
【解】根据集合中元素的互异性可得：
，解得且且，
所以应满足且且.
【变式训练4-1】（2021·福建福州·高一期中）若，则a的值为（       ）
A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2
【答案】D
【解析】因为，
所以或3或，
当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.
故选：D
【变式训练4-2】（2021·江苏扬州·高一期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．
【答案】
【解析】因为集合，且
所以或
（1）当时，此时，符合题意.
（2）当时，解得或
当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当时，符合题意.
综上可知实数的值构成的集合为
故答案为：
【变式训练4-3】（2021·重庆·万州纯阳中学校高一阶段练习）已知集合，，且，求集合．
【解】根据题意，当时，.若，则，根据互异性可知，不满足题意；若，则，此时，.
而当时，集合中，根据互异性可知，不满足题意.
综上，.














名师导练
A组-[应知应会]
1．（2021·湖南·怀化五中高一期中）下面给出的四类对象中，构成集合的是（       ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【解析】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
2．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列关系中正确的个数是（     ）
①，②，     ③，   ④
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①错误②正确③错误④正确
故选：B
3．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由元素的互异性可得，解得且且.
故选：C.
4．（2021·辽宁·大连八中高一阶段练习）集合的元素个数为（       ）
A．4 B．5 C．10 D．12
【答案】A
【解析】由题意，集合中的元素满足
是自然数，且是自然数，
由此可得=0，1，3，9；
此时的值分别为： 4，3，2，1，
符合条件的共有4个，
故选：A．
5．（2021·全国·高一课时练习）集合用列举法表示为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴．
又，
∴．
故选：A
6．（多选）（2021·全国·高一课时练习）下列正确表示方程组的解集的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由，解得，
所以该方程组的解集为或.
故选BD．
7．（2021·全国·高一课时练习）以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.
①中国古代四大发明             ②地球上的小河流
③方程的实数解       ④周长为10cm的三角形
⑤接近于0的数
【答案】②⑤
【解析】①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合；
②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；
③方程的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合；
④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合；
⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.
故答案为：②⑤
8．（2022·湖南·高一课时练习）用符号“”和“”填空：
（1）______N；       （2）1______；       （3）______R；
（4）______；       （5）______N；       （6）0______．
【答案】                             
【解析】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
9．（2022·广东揭阳·高一期末）若，则实数____________.
【答案】
【解析】因为，
所以，解得.
故答案为：.
10．（2021·全国·高一课时练习）集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______.
【答案】         
【解析】由，，，知x可取的值为0，，，
当时，，当时，，当时，，
所以集合；
由题知集合B表示点集，
所以.
故答案为：，.
11．（2021·全国·高一课时练习）已知集合中的元素满足：，且，．若集合中恰有三个元素，则______，集合中的元素是______．
【答案】     6     3，4，5
【解析】因为，，，且集合P中恰有三个元素，所以，
此时集合P中的元素是3，4，5．
故答案为：6；3,4,5
12．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
【解】(1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；
(2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；
(3)因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
13．（2021·江苏·高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）方程的根的集合；
（2）不等式的解集
【解】（1）由可得或
所以方程的根的集合为
（2）由可得
所以不等式的解集为

B组-[素养提升]
1．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知集合，则M中元素的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为且，所以，即集合中只有一个元素．
故选：A．
2．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）已知集合，若，则实数的值为（       ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】，且，或
⑴、当即或，
①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
②、当时，，，此时，符合题意；
⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
综上所述：实数的值为1.
故选：B
3．（多选）（2021·江苏常州·高一期中）已知集合，则下列说法中正确的是（       ）
A．但
B．若，其中，则
C．若，其中，则
D．若，其中，则
【答案】BC
【解析】，故，，所以，A错误；
，其中，，故，B正确；
，其中，，故，C正确；
因为，若，此时无意义，故，D错误.
故选：BC
4．（多选）（2021·福建·泉州科技中学高一阶段练习）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】当均为负数时，；
当两负一正时，；
当两正一负时，；
当均为正数时，；
∴，A、B错误，C、D正确.
故选：CD
5．（2021·全国·高一课时练习）若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以用列举法可表示为.
故答案为：.
6．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
（1）若集合中只有一个元素，则实数的值及该元素分别为______；
（2）若集合中至多有一个元素，则的取值范围是______．
【答案】    或     或
【解析】（1）、
当时，集合中只有一个元素，符合题意；
当，因为A中只有一个元素，则方程有两个相等的实根．，得，此时，集合A中只有一个元素，符合题意；
综上所述，当时，集合A中只有一个元素；当时，集合A中只有一个元素．
（2）、若集合，则方程无解，．
由（1）可知当时，集合A中只有一个元素；当时，集合A中只有一个元素．
综上所述：的取值范围是或．
故答案为：或；或.
7．（2021·江苏·高一专题练习）已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出A中其他所有元素；
（2）是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？
【解】(1)由题意可知：，则，，，，
所以A中其他所有元素为；
(2)假设，则，而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A的元素，
取，则，，，，
所以当，A中的元素是：，，，；
(3)猜想中没有元素，0，1；中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.
由(2)知：，
若，则，与矛盾，则有，即都不在集合A中，
若实数，则，，
，，
又由集合元素互异性知，A中最多只有4个元素且，
显然否则，得无实数解，同理，，即A中有4个元素，
所以中没有元素；中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.