高中4.1 指数精品课时练习
展开4.2 指数函数
思维导图
新课标要求
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
知识梳理
一、 指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
二、 两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型．
三、指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
| a>1 | 0<a<1 | |
图象 | |||
定义域 | R | ||
值域 | (0，＋∞) | ||
性质[来源:Z,xx,k.Com] | 过定点[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:Z,xx,k.Com][来源:学§科§网Z§X§X§K] | 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1[来源:学。科。网] | |
函数值的变化 | 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 | 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 | |
单调性 | 在R上是增函数 | 在R上是减函数 | |
名师导学
知识点1 指数函数的概念
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求．
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求．
【例1-1】（2022·湖南·高一课时练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B．
C． D．
【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）函数是指数函数，则有（ ）
A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1
【变式训练1-2】（2022·全国·高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则________．
【变式训练1-3】（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
知识点2 指数函数的定义域与值域
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
【例2-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
【变式训练2-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为______________．
【变式训练2-2】（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
【变式训练2-3】（2022·全国·高一专题练习）函数且的值域是，则实数 ____.
知识点3 指数函数的图象及应用（重点）
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
【例3-1】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】（2022·全国·高一）已知函数，则函数的图像经过（ ）．
A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限
C．第二、四象限 D．第一、二象限
【例3-3】（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数（且）恒过一定点________ .
【变式训练3-1】（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2022·全国·高一课时练习）函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式训练3-3】（2022·全国·高一课时练习）函数（，且）的图像经过第二､三､四象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练3-4】（2022·全国·高一课时练习）若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______．
知识点4 指数函数的性质及其应用（重难点）
1.比较幂值大小的3种类型及处理方法
2.(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．
3.(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．
(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
【例4-1】（2022·云南丽江·高一期末）若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2022·贵州黔东南·高一期末）已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
(2)解不等式
【例4-3】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】（2022·江苏·南京市第十三中学高一阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】（2022·江苏盐城·高一期末）已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】（2022·全国·高一课时练习）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练4-4】（多选）（2022·全国·高一课时练习）若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数且在上最大值和最小值的和为12，令．
(1)求实数的值.
(2)并探究是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；
(3)解不等式：．
名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）设，，则是（ ）
A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
5．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高一课时练习）我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一课时练习）若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选）（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）对于函数的定义域中任意的，有如下结论：当时，下述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数为指数函数，则a的取值范围是________
12．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
13．（2021·福建·石狮市第八中学高一期中）函数且的图象恒过定点，则点坐标为__________．
14．（2022·全国·高一专题练习）已知则a，b，c的大小关系是________.
15．（2021·广东·中山中学高一期末）已知函数f(x)＝ (a＞0，a≠1)是偶函数，则a＝ _________，则f(x)的最大值为________.
16．（2019·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数．
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)证明：当时，．
17．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数，．
(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若，且的最小值为，求实数k的值．
B组-[素养提升]
1．（2022·全国·高一课时练习）设函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海市建平中学高一阶段练习）对于函数和实数m、n．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2022·辽宁锦州·高一期末）已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ）
A．8 B．10 C．13 D．18
4．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.
5．（2022·全国·高一课时练习）函数，若，则______，______．
6．（2022·全国·高一单元测试）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“函数”．
(1)判断定义在区间上的函数是否为“函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上是“函数”，求的取值范围．
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