数学必修第一册3.2 函数的基本性质优秀当堂检测题

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这是一份数学必修第一册3.2 函数的基本性质优秀当堂检测题，文件包含32函数的基本性质原卷版docx、32函数的基本性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页，欢迎下载使用。

3.2 函数的基本性质
思维导图

新课标要求
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。
2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

知识梳理
一、增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x1，x2∈D，当x1 (2)如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
二、函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
三、函数的最大(小)值及其几何意义

最值
条件
几何意义
最大值
①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标

四、函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
五、函数奇偶性的定义
1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
六、奇(偶)函数的定义域特征
奇(偶)函数的定义域关于原点对称．

名师导学
知识点1 函数单调性的判断/证明）（重点）
利用定义证明函数单调性的步骤:
(1)取值:设x1,x2是定义域内的任意两个值,且x1 (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式;
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号;
(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与定义确定单调性.
【例1-1】（2021·南通单元测试）已知函数f(x)=-x+2x,判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明.
解:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
证明:∀0 ∵00,x1x2>0,
故f(x1)>f(x2),则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
【变式训练1-1】（2021·青岛质检）利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
证明　∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1 则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为－1 所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
所以>0，
即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
所以f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减．
知识点2 求函数的单调区间
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象．
提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
【例2-1】如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图像,指出它的单调区间.

解:由图像知,函数f(x)的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6),单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7].
【例2-2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
解　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增．
(2)当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，
[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减．
【变式训练2-1】[2021·厦门一中高一期中] 函数f(x)=x2-4x+3的单调递增区间为 (　　)
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,1)
B　[解析] 由已知得f(x)的定义域为R,f(x)=(x-2)2-1的图像的对称轴方程为x=2,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞).
【变式训练2-2】（2021·济南期中）求函数y=x+1x+2的单调区间.
解:依题意得,函数的定义域为{x|x≠-2},
y=x+1x+2=x+2-1x+2=1-1x+2.
因为函数y=1x+2的单调递减区间为(-∞,-2),(-2,+∞),
所以y=x+1x+2的单调递增区间为(-∞,-2),(-2,+∞).

知识点3 函数单调性的应用（重难点）
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
【例3-1】　(1)（2021·武汉调研）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，－4]
解析　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)（2021·长沙一中校级月考）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
答案　(－∞，1)
解析　∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
延伸探究
1．在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
答案　－4
解析　f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3
＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由题意得－a－1＝3，a＝－4.
2．若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
解　由题意可知，解得x>，
∴x的取值范围为.
【变式训练3-1】（2021·广州单元测试）函数f(x)=ax2+x-1(x>2),-x+1(x≤2)是R上的减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
-∞,-12【解析】因为函数f(x)=ax2+x-1(x>2),-x+1(x≤2)是R上的减函数,所以a<0,-12a≤2,4a+2-1≤-2+1,解得a≤-12,即实数a的取值范围是-∞,-12.
【变式训练3-2】已知f(x)是定义域为[-1,1]的增函数,且f(t-2) 1,32【解析】由题意可知-1≤t-2≤1,-1≤1-t≤1,解得1≤t≤2.因为f(x)是定义域为[-1,1]的增函数,且f(t-2) 知识点4 图像法求函数的最值
图象法求函数最值的一般步骤

【例4-1】求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
解　y＝|x＋1|－|x－2|＝作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．

所以函数的最大值为3，最小值为－3.
【变式训练4-1】已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值．
解　作出f(x)的图象如图．

由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
当x＝时，f(x)取最小值为－.
所以f(x)的最大值为2，最小值为－.

知识点5 利用函数的单调性求函数的最值
利用函数的单调性求最值的关注点
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
【例5-1】已知函数f(x)=x+4x.求f(x)在区间12,6上的最大值和最小值及对应的x的值.
解:∀x1,x2∈12,6,且x10.
当12≤x1 所以1-4x1x2<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,则f(x)在12,2上单调递减;
当2≤x14,
所以1-4x1x2>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,则f(x)在[2,6]上单调递增.
故f(x)的最小值为f(2)=4,
又f12=172,f(6)=203,172>203,所以f(x)的最大值为f12=172.
故f(x)min=f(2)=4,f(x)max=f12=172.
【例5-2】已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2.
(1)若a=2,求函数f(x)在区间[-1,3)上的最大值和最小值;
(2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3,求a的值.
解:(1)若a=2,则f(x)=4x2-8x+2=4(x-1)2-2.由函数f(x)的图像(图略)可知,
当x∈[-1,3)时,f(x)min=f(1)=-2,f(x)max=f(-1)=14.
(2)由已知得f(x)=4x-a22-2a+2.
①当a2≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(0)=a2-2a+2.
由a2-2a+2=3,解得a=1±2,
又a≤0,所以a=1-2.
②当0 由-2a+2=3,解得a=-12,又-12∉(0,4),所以舍去.
③当a2≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,f(x)min=f(2)=a2-10a+18.
由a2-10a+18=3,解得a=5±10,
又a≥4,所以a=5+10.
综上所述,a=1-2或a=5+10.
【变式训练5-1】 [2021·成都外国语学校高一月考] 已知函数f(x)=x+1x-1.
(1)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减;
(2)求函数y=x+1x-1,x∈[3,5]的最小值.
解:(1)证明:∀x1,x2∈(1,+∞),且x1 有f(x1)-f(x2)=x1+1x1-1-x2+1x2-1=(x1+1)(x2-1)-(x2+1)(x1-1)(x1-1)(x2-1)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1).
∵x1,x2∈(1,+∞),∴x1-1>0,x2-1>0,
又x10,
则f(x1)-f(x2)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知,当x∈[3,5]时,函数y=x+1x-1单调递减,
则当x=5时,函数取得最小值32.

知识点6 函数奇偶性的判断（重点）
判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
【例6-1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，
则f(x)＝0，
又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)既是偶函数又是奇函数．
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
【变式训练6-1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x5;
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(3)f(x)=2x2+2xx+1.
解:(1)函数f(x)的定义域为R.
因为f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.
因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),所以f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

知识点7 奇、偶函数的图象及应用
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
【例7-1】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．

(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
解　(1)由题意作出函数图象如图．

(2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2 延伸探究
1．本例条件下，f(x)取何值时，有四个不同的x值与之对应？
解　结合图象可知，f(x)的取值范围是(－1,0)．
2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
解　(1)由题意作出函数图象如图所示．

(2)据图可知，单调增区间为(－1,1)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－22}．
【变式训练7-1】定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
解　(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．

(2)观察图象，知f(3)
知识点8 利用函数的奇偶性求值（重点）
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
【例8-1】(1)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________；b＝________.
答案　－1　1
解析　当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.
(2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
答案　7
解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
【变式训练8-1】(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.
(2)已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a=　　　　.
(1)13　0　(2)0　[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=13.由函数f(x)=13x2+bx+b+1为偶函数,易得b=0.
(2)由奇函数的定义得f(-x)+f(x)=0,即a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0.
【变式训练8-2】已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则
f(f(－2))＝________.
答案　1
解析　因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝0，
所以f(f(－2))＝f(0)＝1.
知识点9 利用函数的奇偶性求解析式（重点）
(1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
【例9-1】(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
解　当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
故f(x)＝
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
延伸探究
1．在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
解　当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝x2＋2x＋3.
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
2．在本例(2)中，把条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．
解　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝，
即f(x)－g(x)＝.②
联立①②得f(x)＝，g(x)＝.
【变式训练9-1】已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,f(x)的解析式是 (　　)
A.f(x)=x2-x B.f(x)=-x2-x C.f(x)=x2+x D.f(x)=-x2+x
C[解析] (1)设x<0,则-x>0,因为x≥0时,f(x)=x2-x,所以f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),则x<0时,f(x)=x2+x,故选C.
【变式训练9-2】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=-x2-3x,则当x<0时,f(x)=　　　　.
x2-3x【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2-3(-x)=-x2+3x,因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(-x2+3x)=x2-3x.

知识点10 利用函数的单调性与奇偶性比较大小（重点）
比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
【例10-1】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π) D．f(π) 答案　A
解析　由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．
【变式训练10-1】若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则 (　　)
A.f-32 B.f(2) C.f(2) D.f(-1) B　[解析] ∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2),又f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,且-2<-32<-1,∴f(2)=f(-2)
知识点11 利用函数的单调性与奇偶性解不等式（重点）
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类
(1)利用图象解不等式．
(2)转化为简单不等式求解．
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
【例11-1】 (1)已知f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数,且当x≥0时,f(x)单调递增,则关于x的不等式f(x-1)>f(a)的解集是 (　　)
A.43,53 B.13,23∪43,53
C.-23,-13∪13,23 D.随a的值变化而变化
(2)定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(-2)=1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是 (　　)
A.[-2,2] B.[-2,1]
C.[-1,3] D.[0,2]
(1)B　(2)C　[解析] (1)方法一:因为函数f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,解得a=13.因为当x≥0时,f(x)单调递增,所以当x≤0时,f(x)单调递减.关于x的不等式f(x-1)>f(a)即为f(x-1)>f13,所以-23≤x-1<-13或13 方法二:因为函数f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,解得a=13.因为f(x)=f(|x|),所以不等式f(x-1)>f(a)可化为f(|x-1|)>f13,因为当x≥0时,f(x)单调递增,所以|x-1|>13 且|x-1|≤23,解得13≤x<23或43 (2)因为f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-1.因为奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在R上是减函数.由-1≤f(x-1)≤1得f(2)≤f(x-1)≤f(-2),所以2≥x-1≥-2,解得-1≤x≤3.故选C.
【变式训练11-1】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________________．
答案　{x|－33}
解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
∴f(3)＝f(－3)＝0.
当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；
当x<0时，由f(x)>0，解得－3 故所求解集为{x|－33}．
【变式训练11-2】设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m) 解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[－2,2]上单调递减．
所以不等式f(1－m) 解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.

名师导练
A组-[应知应会]
1.[2021·湖南娄底一中高一期中] 函数f(x)=x2+x在区间[-1,1]上的最小值是 (　　)
A.2 B.0 C.14 D.-14
D　[解析] 因为f(x)=x2+x的图像开口向上,对称轴方程为x=-12,且-12∈[-1,1],所以f(x)min=f-12=14-12=-14,故选D.
2.[2021·湖南娄底一中高一期中] 已知函数f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=x2-1x,则f(2)= (　　)
A.-2 B.-92
C.2 D.92
B　[解析] 因为当x<0时,f(x)=x2-1x,所以f(-2)=4+12=92,又f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-92.故选B.
3.[2021·河北邢台高一期中] 已知函数y=f(x-2)为偶函数,当x>0时,f(x)=x2+mx,且f(-6)=5,则m= (　　)
A.2 B.4 C.100 D.186
A　[解析] 设函数g(x)=f(x-2),则g(x)为偶函数,所以g(-4)=g(4),即f(-6)=f(2),所以f(2)=4+m2=5,解得m=2.
4.[2021·重庆巴蜀中学高一月考] 函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为 (　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[2,6] D.[-2,2]
C　[解析] 对于函数y=-x2+4x+12,有-x2+4x+12≥0,即x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,所以函数y=-x2+4x+12的定义域为[-2,6].函数y=-x2+4x+12在区间[-2,2)上单调递增,在区间[2,6]上单调递减,函数y=x为定义域上的增函数,因此,函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为[2,6].故选C.
5.[2021·宜宾四中高一月考] 函数f(x)=-4x2+12x4的大致图像是 (　　)

A B C D
D　[解析] 因为f(-x)=-4(-x)2+12(-x)4=-4x2+12x4=f(x),所以函数f(x)是偶函数,排除选项B和C;当x=2时,f(2)=-1532<0,排除A.故选D.
6.[2021·江苏徐州高一期中]已知函数f(x)=ax2+2a是定义在[a,a+2]上的偶函数,且g(x)=f(x+1),则g-32,g(0),g(3)的大小关系为 (　　)
A.g(0)>g-32>g(3)
B.g-32>g(0)>g(3)
C.g(0)>g(3)>g-32
D.g(3)>g-32>g(0)
B　[解析] 因为函数f(x)=ax2+2a是定义在[a,a+2]上的偶函数,所以a+a+2=0,解得a=-1,则f(x)=-x2-2,所以g(x)=f(x+1)=-(x+1)2-2,函数g(x)的图像开口向下,且对称轴方程为x=-1,所以g-32>g(0)>g(3).故选B.
7.[2021·湖南娄底一中高一期中] 设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为 (　　)
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
D　[解析] 由f(x)为奇函数可知,f(x)-f(-x)x=2f(x)x<0.而f(1)=0,则f(-1)=-f(1)=0.当x>0时,则f(x)<0=f(1),可得00=f(-1),可得-1 8.[2021·福建连城一中高一月考] 已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=g(x),f(x)≥g(x),f(x),g(x)>f(x),则 (　　)
A.F(x)的最大值为3,最小值为1
B.F(x)的最大值为2-7,无最小值
C.F(x)的最大值为7-27,无最小值
D.F(x)的最大值为3,最小值为-1
C　[解析] 在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图像,然后根据F(x)的解析式得出F(x)的图像,如图中实线部分所示.由图易知F(x)有最大值,无最小值.由3-2|x|=x2-2x,解得x=3或x=2-7,结合函数图像可知,当x=2-7时,函数F(x)取得最大值7-27,F(x)无最小值.故选C.

9.(多选题)[2021·北京首都师大附中高一月考] 已知函数f(x)=2x+1x-1的定义域是[-8,-4),则下列说法中正确的是 (　　)
A.f(x)有最大值53 B.f(x)有最大值75 C.f(x)无最小值 D.f(x)有最小值75
AC　[解析] 函数f(x)=2x+1x-1=2+3x-1,易知f(x)在[-8,-4)上单调递减,则f(x)在x=-8处取得最大值,且最大值为53,无最小值.故选AC.
10.(多选题)[2021·广州中山大学附中高一期中] 若函数f(x)=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则m的值可能是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
ABC　[解析] 函数f(x)=x2-4x-4的部分图像如图,易知f(0)=f(4)=-4,f(2)=-8.因为函数f(x)=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],所以m的取值范围是[2,4],故选ABC.

11.(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 (　　)
A.y=f(x)g(x)为奇函数
B.y=|f(x)|g(x)为偶函数
C.y=f(x)|g(x)|为偶函数
D.y=|f(x)g(x)|为偶函数
ABD　[解析] ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴y=|f(x)|为偶函数,y=|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得y=f(x)g(x)为奇函数,y=|f(x)|g(x)为偶函数,y=f(x)|g(x)|为奇函数,y=|f(x)g(x)|为偶函数.故选ABD.
12.(多选题)[2021·江苏徐州高一期中] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是 (　　)
A.当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2-2x
B.函数f(x)在R上为增函数
C.不等式f(3x-2)<3的解集为(-∞,1)
D.不等式f(x)-x2+x-1>0恒成立
BC　[解析] 对于A,设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),所以f(-x)=-x2-2x,又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x,即x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+2x,故A错误;对于B,函数y=-x2+2x的图像开口向下,对称轴方程为x=1,所以当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,又奇函数的图像关于原点对称,所以f(x)在R上为增函数,故B正确;对于C,因为奇函数f(x)在R上为增函数,所以当x∈(0,+∞)时,令f(x)=x2+2x=3,解得x=1或x=-3(舍去),即f(1)=3,所以不等式f(3x-2)<3可转化为f(3x-2) 13.[2021·安徽定远中学高一月考] 已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时函数f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时函数f(x)单调递减,则f(1)=　　　　.
13　[解析] ∵函数f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,∴f(x)的图像的对称轴方程为x=m4=-2,解得m=-8,则f(x)=2x2+8x+3,故f(1)=13.
14.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
23　12　[解析] 易知f(x)=xx+2=x+2-2x+2=1-2x+2在[2,4]上单调递增,故f(x)min=f(2)=22+2=12,f(x)max=f(4)=44+2=23.
15.设函数f(x)=-x2,x<0,g(x),x>0,若f(x)是奇函数,则g(2)的值是　　　　.
4　[解析] 因为函数f(x)=-x2,x<0,g(x),x>0是奇函数,所以g(x)=x2,所以g(2)=22=4.
16.[2021·北京房山区高一期中] 几位同学在研究函数f(x)=|x|+2x2-4时给出了下列四个结论:
①f(x)的图像关于y轴对称;
②f(x)在(2,+∞)上单调递减;
③f(x)的值域为R;
④当x∈(-2,2)时,f(x)有最大值.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
①②④　[解析] 对于①,函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞),关于原点对称,f(-x)=|-x|+2(-x)2-4=|x|+2x2-4=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,故①正确;对于②,当x∈(2,+∞)时,f(x)=|x|+2x2-4=x+2x2-4=1x-2,可知函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,故②正确;对于③,由函数f(x)在(2,+∞)上单调递减知,f(x)在(2,+∞)上的取值范围为(0,+∞),当x∈[0,2)时,f(x)的取值范围为-∞,-12,利用偶函数图像的对称性知f(x)的值域为-∞,-12∪(0,+∞),故③错误;对于④,由③知,当x∈(-2,2)时,f(x)有最大值-12,故④正确.故填①②④.
17.[2021·浙江东阳中学高一月考] 已知函数f(x)=x+ax-2.
(1)若a=4,判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明你的结论;
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,写出a的取值范围并证明.
解:(1)当a=4时,f(x)=x+4x-2在(2,+∞)上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+4x1-2-x2+4x2-2=(x1+4)(x2-2)-(x2+4)(x1-2)(x1-2)(x2-2)=6(x2-x1)(x1-2)(x2-2),
由x2>x1>2得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,
所以f(x1)-f(x2)=6(x2-x1)(x1-2)(x2-2)>0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
(2)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减,则a>-2.
证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+ax1-2-x2+ax2-2=(x1+a)(x2-2)-(x2+a)(x1-2)(x1-2)(x2-2)=(a+2)(x2-x1)(x1-2)(x2-2),
由x2>x1>2得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,由a>-2得a+2>0,
所以f(x1)-f(x2)=(a+2)(x2-x1)(x1-2)(x2-2)>0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(2,+∞)上单调递减.
18.[2021·厦门一中高一期中] 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y)成立.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)若函数f(x)在定义域上有最大值4,试求函数f(x)的最小值.
解:(1)证明:令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0),
令x=1,y=0,得f(1)+f(0)=f(1),
则f(0)=0,所以f(x)+f(-x)=0,
故f(x)为奇函数.
(2)设x=a时f(x)取得最大值4,即f(a)=4,
因为函数f(x)是奇函数,所以x=-a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-a)=-f(a)=-4.
19.[2021·无锡高一期中] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)在图中画出f(x)在R上的图像,并写出函数f(x)的单调递减区间;
(2)求函数f(x)在R上的解析式;
(3)求不等式xf(x)>0的解集.

解:(1)画出f(x)的图像,如图所示.

由图可知,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞).
(2)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=-f(x),
则x>0时,f(x)=-x2+2x,故f(x)=-x2+2x,x>0,x2+2x,x≤0.
(3)原不等式可化为x>0,f(x)>0或x<0,f(x)<0,由图可知x∈(-2,0)∪(0,2).
20.[2021·绍兴鲁迅中学高一月考] 已知关于x的不等式x2-bx+cx-1≥0的解集为[-1,1)∪[3,+∞).
(1)求f(x)=x2+bx+c在区间[m,m+1](m∈R)上的最小值g(m);
(2)画出函数g(m)的大致图像,并写出函数g(m)的最小值.
解:(1)∵关于x的不等式x2-bx+cx-1≥0的解集为[-1,1)∪[3,+∞),
∴-1和3是方程x2-bx+c=0的两个根,
则-1+3=b,-1×3=c,解得b=2,c=-3,
故f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4,其图像的对称轴方程为x=-1.
当m≥-1时,f(x)在[m,m+1]上单调递增,f(x)min=f(m)=m2+2m-3.
当m<-1 当m+1≤-1,即m≤-2时,f(x)在[m,m+1]上单调递减,
f(x)min=f(m+1)=m2+4m.
故g(m)=m2+4m,m≤-2,-4,-2 (2)函数g(m)的大致图像如图所示.

根据函数图像可得,g(m)的最小值为-4.

B组-[素养提升]
1.如果函数f(x)在区间I上单调递减,而函数g(x)=f(x)x在区间I上单调递增,那么称函数f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫作f(x)的“缓减区间”.若函数f(x)=12x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是 (　　)
A.(-∞,2] B.(0,2] C.[2,2] D.[1,3]
C　[解析] f(x)=12x2-2x+1的图像的对称轴方程为x=2,所以f(x)在区间(-∞,2]上单调递减.由已知得g(x)=f(x)x=x2+1x-2,g(x)在区间(-2,0)和(0,2)上单调递减,在区间(-∞,-2]和[2,+∞)上单调递增.若函数f(x)=12x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则f(x)在区间I上单调递减,函数g(x)=f(x)x=x2+1x-2在区间I上单调递增,则区间I为(-∞,-2]或[2,2].故选C.
2.[2021·成都树德中学高一月考] 对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对于任意x∈I,存在x0,使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”.已知函数f(x)=x2+px+q(p,q∈R),g(x)=x2-x+1x是定义在区间12,2上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间12,2上的最大值为 (　　)
A.32 B.2 C.4 D.54
B　[解析] 当x∈12,2时,g(x)=x2-x+1x=x+1x-1≥2x·1x-1=1,当且仅当x=1时取等号,根据“兄弟函数”的定义可知,f(x)=x2+px+q(p,q∈R)在区间12,2上有相同的最小值1,且f(1)=1,所以-p2=1,1+p+q=1,解得p=-2,q=2,由二次函数的性质得f(x)=x2-2x+2在区间12,2上的最大值为f(2)=4-4+2=2.
3.已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是　　　　.
0,12　[解析] ∵函数f(x)=x2-2x的图像开口向上,对称轴方程为x=1,∴当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,则此时f(x)的取值范围为[-1,3].∵g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]上单调递增,∴当x∈[-1,2]时,g(x)的最小值为g(-1)=-a+2,最大值为g(2)=2a+2,此时g(x)的取值范围为[-a+2,2a+2].∵对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),∴在区间[-1,2]上,函数g(x)的取值范围为f(x)的取值范围的子集,∴-a+2≥-1,2a+2≤3,a>0,解得0 4.已知函数y=f(x)的定义域为R,给出下列说法:
①若y=f(x-2)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称;
②若f(x+2)=-f(x-2),则函数y=f(x)的图像关于原点对称;
③函数y=f(x+2)与函数y=f(2-x)的图像关于直线x=2对称;
④函数y=f(x-2)与函数y=f(2-x)的图像关于直线x=2对称.
其中正确说法的序号是　　　　.
④　[解析] 对于①,将函数y=f(x-2)的图像向左平移2个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,因为y=f(x-2)是偶函数,其图像关于直线x=0对称,所以y=f(x)的图像关于直线x=-2对称,故①错误;对于②,由f(x+2)=-f(x-2),可得f(x+6)=-f(x+2),则f(x+6)=f(x-2),所以f(x+8)=f(x),不能得出y=f(x)的图像关于原点对称,故②错误;对于③,将y=f(x)的图像向左平移2个单位长度,得到y=f(x+2)的图像,将y=f(-x)的图像向右平移2个单位长度,得到y=f(2-x)的图像,因为函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于直线x=0对称,所以函数y=f(x+2)与函数y=f(2-x)的图像关于直线x=0对称,故③错误;对于④,将y=f(x)的图像向右平移2个单位长度,得到y=f(x-2)的图像,将y=f(-x)的图像向右平移2个单位长度,得到y=f(2-x)的图像,因为函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于直线x=0对称,所以函数y=f(x-2)与函数y=f(2-x)的图像关于直线x=2对称,故④正确.故填④.
5.关于函数图像对称性的问题,有如下事实:
①证明函数图像的对称性就是证明图像上点的对称性.例如,证明函数图像关于y轴对称,就是证明图像上的任意一点关于y轴的对称点也在图像上.
②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数图像上.
③偶函数图像关于y轴对称这个结论可以推广.例如,函数f(x)的图像关于直线x=1对称的充要条件是函数y=f(x+1)是偶函数.
请根据上述信息完成以下问题:
(1)从偶函数定义出发,证明函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴对称;
(2)求函数g(x)=x4+4x3+6x2+4x的图像的对称轴方程;
(3)已知函数y=h(x+2)为偶函数,且y=h(x)在(2,+∞)上单调递减,若函数h(x)的图像上的两点A(m,y1),B(1-2m,y2)满足y1>y2,求实数m的取值范围.
解:(1)证明:①先证充分性(如果一个函数的图像关于y轴对称,那么这个函数为偶函数).
设函数y=f(x),在函数f(x)图像上任取两点(x,f(x)),(-x,f(-x)).
因为函数f(x)的图像关于y轴对称,所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等,
即f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数.
②再证必要性(如果一个函数是偶函数,那么它的图像关于y轴对称).
设y=f(x)是偶函数,要证明其图像关于y轴对称,即证明其图像上任意一点关于y轴的对称点还在自身图像上.
设P(x,y)为f(x)图像上任意一点,则y=f(x),设P关于y轴的对称点为P'(x',y'),则x'=-x,y'=y,
又函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),
即y=f(x)=f(-x)=y',
所以点P'(x',y')在函数f(x)的图像上.
综上,函数y=f(x)是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴对称.
(2)g(x)=(x+1)4-1,设x=a为g(x)的图像的对称轴方程,
由题意知,g(x+a)=(x+1+a)4-1为偶函数.
任取x∈R,则g(x+a)=g(-x+a),
所以(x+1+a)4-1=(-x+1+a)4-1,
所以[(x+1+a)2+(x-1-a)2]·[ (x+1+a)2-(x-1-a)2]=0,
所以[(x+1+a)2+(x-1-a)2]·4(1+a)x=0恒成立,
故1+a=0,则a=-1,
所以g(x)的图像的对称轴方程为x=-1.
(3)因为函数y=h(x+2)为偶函数,且y=h(x)在(2,+∞)上单调递减,
所以|m-2|<|1-2m-2|,解得m<-3或m>13,
所以m的取值范围为(-∞,-3)∪13,+∞.