高中数学4.3 对数优秀课时练习

4.4对数函数

思维导图

新课标要求

1.通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

2.知道对数函数与指数函数 互为反函数（a＞0，且a≠1）。　

知识梳理

1.对数函数的概念

一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

2.对数函数的图象和性质

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

3.不同底的对数函数图象的相对位置

一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．

4.反函数的概念

一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．

(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．

(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．

5.三种常见函数模型的增长差异

名师导学

知识点1    对数函数的概念及应用

【例1-1】（2021·全国·高一课时练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ）

A．①②③ B．③④⑤

C．③④ D．②④⑥

【变式训练1-1】（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，是对数函数的是（    ）

A．y＝logxa(x>0且x≠1)

B．y＝log2x－1

C．

D．y＝log5x

【变式训练1-2】（2022·全国·高一课时练习）函数是对数函数，则___________.

知识点2    与对数函数有关的定义域

【例2-1】（2021·甘肃·高台县第一中学高一期中）函数的定义域为___________．

【例2-2】（2022·陕西·西安高新第三中学高一开学考试）已知函数，则的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练2-1】（2021·云南省昆明市第十中学高一阶段练习）已知，则函数的定义域为______.

【变式训练2-2】（2021·江苏常州·高一阶段练习）函数的定义域为___________.

知识点3    对数函数的图象及应用（重点）

【例3-1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)

A．0<a<b<1

B．0<b<a<1

C．a>b>1

D．b>a>1

(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________.

(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．

延伸探究

1．在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)＝loga|x－1|的图象．

2．在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)＝|logax|的图象．

【变式训练3-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练3-2】（2022·全国·高一专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练3-3】（2022·全国·高一课时练习）若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练3-4】（2022·全国·高一课时练习）函数(且)的图象恒过定点_________

知识点4    比较大小（重点）

【例4-1】比较下列各组数的大小：

(1)log5与log5；

(2)与；

(3)log23与log54.

【变式训练4-1】（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小：

(1)，；

(2)，；

(3)，．

【变式训练4-2】（2022·全国·高一课时练习）分别比较下列各组数的大小：

(1)，，；

(2)，，；

(3)与．

知识点5    解对数不等式（重难点）

【例5-1】解下列关于x的不等式：

(1)>；

(2)loga(2x－5)>loga(x－1)；

(3)logx>1.

【变式训练5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则不等式的解集为（    ）

A． B．（3，4） C．（2，5） D．

【变式训练5-2】（2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式：（，且）．

知识点6   对数型函数的单调性（重点）

【例6-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间为______，单调递减区间为______．

【例6-2】（2022·湖南·高一课时练习）求函数的单调递增区间．

【变式训练6-1】（2021·天津·高一期末）函数的单调递减区间是___________．

【变式训练6-2】（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是________．

知识点7    对数型函数性质的综合应用（难点）

【例7-1】（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（    ）

A． B． C． D．

【例7-2】（多选）（2022·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．定义域为（－1，4） B．最大值为2

C．最小值为－2 D．单调递增区间为

【例7-3】（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数

(1)若函数过点，求此时函数的解析式；

(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

【变式训练7-1】（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练7-2】（多选）（2022·浙江·杭十四中高一期末）关于函数，下列说法中正确的有（    ）

A．的定义域为

B．为奇函数

C．在定义域上是减函数

D．对任意，，都有

【变式训练7-3】（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是___________.

【变式训练7-4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数．

(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；

(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．

【变式训练7-5】（2022·江苏常州·高一期末）已知函数，且，．

(1)求函数的解析式；

(2)设，判断函数g(x)的单调性并用定义证明．

【变式训练7-6】（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．

(1)求的值；

(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．

【变式训练7-7】（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数，，且．

(1)证明：在定义域上是增函数；

(2)若，求的取值集合．

知识点8    几类函数模型增长差异的比较

【例8-1】（2022·全国·高一课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（    ）

A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢

B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快

C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢

D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快

【变式训练8-1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ）

A． B．

C． D．

知识点9    函数模型的选择问题

【例9-1】某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.

【变式训练9-1】（2021·全国·高一专题练习）某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（    ）

A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1

C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1

【变式训练9-2】某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．

下列几个模拟函数中：

①y＝ax2＋bx；

②y＝kx＋b；

③y＝logax＋b；

④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．

用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．

知识点10    指数函数、对数函数与二次函数模型的比较

【例10-1】函数f(x)＝2x(x>0)和g(x)＝x2(x>0)的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

(2)求点A，B的坐标；

(3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2 019)，g(2 019)的大小．

【变式训练10-1】甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：

①当x>1时，甲走在最前面；

②当x>1时，乙走在最前面；

③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．

其中，正确结论的序号为________．

名师导练

A组-[应知应会]

1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·广东汕尾·高一期末）函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·高一单元测试）若且，则函数的图像恒过定点（    ）

A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）

4．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（      ）

A． B． C． D．

5．（2020·北京·牛栏山一中高一期中）函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）设实数，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·天津·高一期末）函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．（多选）（2022·全国·高一单元测试）设函数，则下列命题中正确的是（    ）

A．函数的定义域为 B．函数是增函数

C．函数的值域为 D．函数的图像关于直线对称

10．（多选）（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，则下列说法正确的是（    ）

A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是

B．若函数的值域为，则实数

C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是

D．若，则不等式的解集为

11．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域是_______．

12．（2021·天津·高一期末）若函数的值域是，则实数a的取值范围是_________．

13．（2022·浙江·高一期中）已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是________.

14．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.

15．（2019·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知

(1)求的定义域、并判断函数的奇偶性；

(2)求使的的取值范围.

16．（2022·湖南·高一课时练习）对于函数与．

(1)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？

(2)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？

17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称，且．

(1)求实数a的值；

(2)，．求的最小值、最大值及对应的x的值．

B组-[素养提升]

1．（2022·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2021·江苏·高一专题练习）记在时的最大值为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高一课时练习）若函数是定义在上的奇函数，写出一组符合题意的a，b，k的值___________.

4．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．

(1)求的解析式；

(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；

(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．

5．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知函数 （ 且 ）．

(1)当 时，解不等式 ；

(2)，，求实数的取值范围；

(3)在（2）的条件下，是否存在 ，使 在区间 上的值域是 ？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，试说明理由．