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九上数学华东师大第23章单元测试卷
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这是一份九上数学华东师大第23章单元测试卷，共13页。
第23章 图形的相似
时间:90分钟 满分:100分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组图形中一定是相似图形的是( )
A.两个平行四边形 B.两个矩形
C.两个直角三角形 D.两个等边三角形
2.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=4,BD=2,则AE∶AC的值为( )
A.0.5 B.2 C.32 D.23
3.生活中到处可见黄金分割的美.如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b为2米,则a约为( )
A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米
4.一张矩形的纸片对折后与原矩形相似,那么原矩形与对折后矩形的相似比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶1
5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中
心,将△OAB扩大为原来的4倍,则点A的对应点的坐标是( )
A.(8,16)或(-16,-8) B.(-12,1) C.(8,16)或(-8,-16) D.(12,1)
6.如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是( )
A.5.5 B.5 C.4.5 D.4
7.在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,△ACD
∽△CBD,根据下列选项中的作图痕迹判断,正确的是( )
A B C D
8.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A的坐标是 (-1,-1) ,若将△ABC
向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,再向左平移2个单
位长度,再向下平移2个单位长度,再向右平移2个单位长度,…,如此平移下去,则第2 022次平移后点A的坐标是( )
A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,1)
10.如图,△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,DE∥BC,点H是边BC上的点,连接AH交线段DE于点G,且BH=DE=12,DG=8,S△ADG
=12,则S四边形BCED=( )
A.24 B.22.5 C.20 D.25
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.若x5=y2,则x−yx= .
12. 如图,D为△ABC的边AC上一点,若要使△ABD∽△ACB,则可以添加的一个条件是 .
13.如图,直角三角形纸片ABC中,AC边长为10 cm,现从下往上沿AC边依次裁剪宽为4 cm的矩形纸条,若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形,那么边BC的长度是 cm.
14.如图,在△ABC中,D是BC的中点,AM=MD,BM的延长线交AC于
点N,则AN∶NC= .
15.据《九章算术》记载:“今有山居木西,不知其高.山去木五十三里,木高九丈五尺.人立木东三里,望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何?”大意如下:如图,今有山AB位于树CD的西面.山高AB为未知数.山与树之间的距离BD=53里,树高9丈5尺.人站在离树3里的F处,人眼E观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上,人眼离地7尺,则山AB的高约为 丈.(1丈=10尺,结果精确到个位)
16.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E,F,G,N,M都在△ABC的边上,AD交EH于点P,那么△AEM与四边形BCME的面积比为 .
三、解答题(共52分)
17.(7分)如图,在△ABC中,线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,且BE与CD相交于点O,连接DE.
(1)若DE=3,则BC= ;
(2)判断线段OB和OE之间的数量关系,并证明你的结论.
18.(8分)在如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2),B(2,-1),C(4,-3).
(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于x轴对称;
(2)以点(4,0)为位似中心,在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,且△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1,并直接写出点A2的坐标.
19.(8分)如图,已知△ABC,AB=2,BC=5,∠ABC=2∠C,为了求边AC的长,小亮想出了一个好办法:将边BC反向延长至点D,使DB=AB,连接AD,从而小亮发现图中存在一对相似三角形,问题便迎刃而解了!
(1)请你找出这对相似三角形,并进行证明;
(2)求边AC的长.
20.(9分)某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,如图,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=4米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,G,E,C,A在同一直线上),这时测得FG=6米,CG=60米.
(1)请你根据以上数据,计算大雁塔的高度AB.
(2)“景点简介”显示,大雁塔的高度约为64.5米.请计算本次测量的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.
21.(10分)先阅读下面的材料,然后解答问题.
材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.例如:如图(1),AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,则AD就是△ABC的完美分割线.
解答下列问题:
(1)如图(2),在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD= °;
(2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数.
图(1) 图(2)
22.(10分)(1)问题发现
如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①ACBD的值为 ; ②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,CODO=AOBO=3,连接AC,
交BD的延长线于点M.请求出ACBD的值及∠AMB的度数,并说明理由.
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
图(1) 图(2) 备用图
参考答案与解析
第23章 图形的相似
1.D
2.D 3.A 4.A
5.C
6.A
7.C
8.B
9.D
10.B
11.35 12.∠ABD=∠C(答案不唯一)
13.20
14.1∶2
15.165
16.1∶3
17.解：(1)6(3分)
解法提示:∵线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=2×3=6.
(2)OB=2OE.
证明:∵线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,BC=2DE,∴△DOE∽△COB,(5分)
∴OBOE=BCED,∴OB=2OE.(7分)
18.解：(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(3分)
(2)如图,△A2B2C2即为所求.(6分)
点A2的坐标为(-2,4).(8分)
19
解：(1)△DBA∽△DAC.(2分)
证明:∵DB=AB,
∴∠D=∠DAB=12∠ABC.
∵∠ABC=2∠C,∴∠D=∠DAB=∠C,∴DA=AC.
∵∠D=∠D,∠DAB=∠C,∴△DBA∽△DAC.(4分)
(2)∵AB=2,BC=5,DB=AB,∴DB=2,∴CD=BC+DB=7.
∵△DBA∽△DAC,∴DB∶DA=DA∶DC,
即2∶DA=DA∶7,解得DA=14.
∵DA=AC,∴AC=14.(8分)
20.思路导图：
解：(1)∵DC∥AB,∴△EDC∽△EBA,
∴DCBA=ECEA.
∵GH∥AB,∴△FHG∽△FBA,
∴HGBA=FGFA.(4分)
∵DC=HG,
∴ECEA=FGFA,∴44+CA=666+CA,解得CA=120.
∵DCBA=ECEA,∴2BA=44+120,解得AB=62.
答:大雁塔的高度AB为62米.(7分)
(2)误差为64.5-62=2.5(米).
减小误差的建议:可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可).(9分)
21.解：(1)40(3分)
解法提示:∵AD是△ABC的完美分割线,∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=
∠B=40°.
(2)∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°.
若AD=BD,则∠ABD=∠BAD=42°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°.
若AB=BD,则∠BAD=69°=∠BDA.
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=69°+42°=111°.
若AB=AD,则∠B=∠ADB=42°.
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°.
∵∠ADB=∠DAC+∠C=42°+∠C≠42°,∴不符合题意.(9分)
综上所述,∠BAC的度数为84°或111°.(10分)
22.解：(“手拉手”模型)(1)①1(1分)
②40°(2分)
解法提示:①∵∠AOB=∠COD,∴∠BOD=∠AOC.又OC=OD,OA=OB,
∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,∴ACBD=1.
②设BD,OA交于点N,
∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,∴∠AMB=∠AOB=40°.
(2)ACBD=3,∠AMB=90°.(4分)
理由如下:∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.
∵CODO=AOBO=3,∴△AOC∽△BOD,
∴ACBD=CODO=3,∠CAO=∠DBO.(6分)
设AO,BM交于点P,
∵∠APM=∠BPO,∴∠AMB=∠AOB=90°.(8分)
(3)AC的长为23或33.(10分)
解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°,ACBD=3,设BD=x,则AC=3x.∵OB=
7,∠AOB=90°,AOBO=3,∴易得AB=27,同理,易得MD=2.分两种情况讨论.如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,在Rt△ABC中,AB2=AC2+
BC2,∴(27)2=(3x)2+(x+2)2,解得x1=2,x2=-3(不合题意,舍去), ∴AC=
3x=23.如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,在Rt△ABC中,AB2=
AC2+BC2,∴(27)2=(3x)2+(x-2)2,解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3,
∴AC=3x=33.综上所述,AC的长为23或33.
图(1) 图(2)
第23章 图形的相似
时间:90分钟 满分:100分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组图形中一定是相似图形的是( )
A.两个平行四边形 B.两个矩形
C.两个直角三角形 D.两个等边三角形
2.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=4,BD=2,则AE∶AC的值为( )
A.0.5 B.2 C.32 D.23
3.生活中到处可见黄金分割的美.如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b为2米,则a约为( )
A.1.24米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.62米
4.一张矩形的纸片对折后与原矩形相似,那么原矩形与对折后矩形的相似比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.3∶1 D.2∶1
5.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(4,1),以原点O为位似中
心,将△OAB扩大为原来的4倍,则点A的对应点的坐标是( )
A.(8,16)或(-16,-8) B.(-12,1) C.(8,16)或(-8,-16) D.(12,1)
6.如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是( )
A.5.5 B.5 C.4.5 D.4
7.在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,△ACD
∽△CBD,根据下列选项中的作图痕迹判断,正确的是( )
A B C D
8.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A的坐标是 (-1,-1) ,若将△ABC
向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,再向左平移2个单
位长度,再向下平移2个单位长度,再向右平移2个单位长度,…,如此平移下去,则第2 022次平移后点A的坐标是( )
A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,1)
10.如图,△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,DE∥BC,点H是边BC上的点,连接AH交线段DE于点G,且BH=DE=12,DG=8,S△ADG
=12,则S四边形BCED=( )
A.24 B.22.5 C.20 D.25
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.若x5=y2,则x−yx= .
12. 如图,D为△ABC的边AC上一点,若要使△ABD∽△ACB,则可以添加的一个条件是 .
13.如图,直角三角形纸片ABC中,AC边长为10 cm,现从下往上沿AC边依次裁剪宽为4 cm的矩形纸条,若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形,那么边BC的长度是 cm.
14.如图,在△ABC中,D是BC的中点,AM=MD,BM的延长线交AC于
点N,则AN∶NC= .
15.据《九章算术》记载:“今有山居木西,不知其高.山去木五十三里,木高九丈五尺.人立木东三里,望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何?”大意如下:如图,今有山AB位于树CD的西面.山高AB为未知数.山与树之间的距离BD=53里,树高9丈5尺.人站在离树3里的F处,人眼E观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上,人眼离地7尺,则山AB的高约为 丈.(1丈=10尺,结果精确到个位)
16.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E,F,G,N,M都在△ABC的边上,AD交EH于点P,那么△AEM与四边形BCME的面积比为 .
三、解答题(共52分)
17.(7分)如图,在△ABC中,线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,且BE与CD相交于点O,连接DE.
(1)若DE=3,则BC= ;
(2)判断线段OB和OE之间的数量关系,并证明你的结论.
18.(8分)在如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2),B(2,-1),C(4,-3).
(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于x轴对称;
(2)以点(4,0)为位似中心,在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,且△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1,并直接写出点A2的坐标.
19.(8分)如图,已知△ABC,AB=2,BC=5,∠ABC=2∠C,为了求边AC的长,小亮想出了一个好办法:将边BC反向延长至点D,使DB=AB,连接AD,从而小亮发现图中存在一对相似三角形,问题便迎刃而解了!
(1)请你找出这对相似三角形,并进行证明;
(2)求边AC的长.
20.(9分)某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度,如图,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=4米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,G,E,C,A在同一直线上),这时测得FG=6米,CG=60米.
(1)请你根据以上数据,计算大雁塔的高度AB.
(2)“景点简介”显示,大雁塔的高度约为64.5米.请计算本次测量的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.
21.(10分)先阅读下面的材料,然后解答问题.
材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.例如:如图(1),AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,则AD就是△ABC的完美分割线.
解答下列问题:
(1)如图(2),在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD= °;
(2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数.
图(1) 图(2)
22.(10分)(1)问题发现
如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
①ACBD的值为 ; ②∠AMB的度数为 .
(2)类比探究
如图(2),在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,CODO=AOBO=3,连接AC,
交BD的延长线于点M.请求出ACBD的值及∠AMB的度数,并说明理由.
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.
图(1) 图(2) 备用图
参考答案与解析
第23章 图形的相似
1.D
2.D 3.A 4.A
5.C
6.A
7.C
8.B
9.D
10.B
11.35 12.∠ABD=∠C(答案不唯一)
13.20
14.1∶2
15.165
16.1∶3
17.解：(1)6(3分)
解法提示:∵线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=2×3=6.
(2)OB=2OE.
证明:∵线段CD,BE分别是AB,AC边上的中线,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,BC=2DE,∴△DOE∽△COB,(5分)
∴OBOE=BCED,∴OB=2OE.(7分)
18.解：(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(3分)
(2)如图,△A2B2C2即为所求.(6分)
点A2的坐标为(-2,4).(8分)
19
解：(1)△DBA∽△DAC.(2分)
证明:∵DB=AB,
∴∠D=∠DAB=12∠ABC.
∵∠ABC=2∠C,∴∠D=∠DAB=∠C,∴DA=AC.
∵∠D=∠D,∠DAB=∠C,∴△DBA∽△DAC.(4分)
(2)∵AB=2,BC=5,DB=AB,∴DB=2,∴CD=BC+DB=7.
∵△DBA∽△DAC,∴DB∶DA=DA∶DC,
即2∶DA=DA∶7,解得DA=14.
∵DA=AC,∴AC=14.(8分)
20.思路导图：
解：(1)∵DC∥AB,∴△EDC∽△EBA,
∴DCBA=ECEA.
∵GH∥AB,∴△FHG∽△FBA,
∴HGBA=FGFA.(4分)
∵DC=HG,
∴ECEA=FGFA,∴44+CA=666+CA,解得CA=120.
∵DCBA=ECEA,∴2BA=44+120,解得AB=62.
答:大雁塔的高度AB为62米.(7分)
(2)误差为64.5-62=2.5(米).
减小误差的建议:可多次测量,取测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可).(9分)
21.解：(1)40(3分)
解法提示:∵AD是△ABC的完美分割线,∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=
∠B=40°.
(2)∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°.
若AD=BD,则∠ABD=∠BAD=42°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°.
若AB=BD,则∠BAD=69°=∠BDA.
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=69°+42°=111°.
若AB=AD,则∠B=∠ADB=42°.
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°.
∵∠ADB=∠DAC+∠C=42°+∠C≠42°,∴不符合题意.(9分)
综上所述,∠BAC的度数为84°或111°.(10分)
22.解：(“手拉手”模型)(1)①1(1分)
②40°(2分)
解法提示:①∵∠AOB=∠COD,∴∠BOD=∠AOC.又OC=OD,OA=OB,
∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,∴ACBD=1.
②设BD,OA交于点N,
∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,∴∠AMB=∠AOB=40°.
(2)ACBD=3,∠AMB=90°.(4分)
理由如下:∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.
∵CODO=AOBO=3,∴△AOC∽△BOD,
∴ACBD=CODO=3,∠CAO=∠DBO.(6分)
设AO,BM交于点P,
∵∠APM=∠BPO,∴∠AMB=∠AOB=90°.(8分)
(3)AC的长为23或33.(10分)
解法提示:由(2)可知,∠AMB=90°,ACBD=3,设BD=x,则AC=3x.∵OB=
7,∠AOB=90°,AOBO=3,∴易得AB=27,同理,易得MD=2.分两种情况讨论.如图(1),当点M,C在OA上侧重合时,在Rt△ABC中,AB2=AC2+
BC2,∴(27)2=(3x)2+(x+2)2,解得x1=2,x2=-3(不合题意,舍去), ∴AC=
3x=23.如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,在Rt△ABC中,AB2=
AC2+BC2,∴(27)2=(3x)2+(x-2)2,解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3,
∴AC=3x=33.综上所述,AC的长为23或33.
图(1) 图(2)
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