第23章 图形的相似 华东师大版九年级数学上册达标测试(含答案)

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第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若2x－7y＝0，则eq \f(x,y)等于(　　)A.eq \f(7,2) B．－eq \f(2,7) C.eq \f(2,7) D．－eq \f(7,2)2．在平面直角坐标系中，作点A(3，4)关于x轴对称的点A′，再将点A′向左平移6个单位长度，得到点B，则点B的坐标为(　　)A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)3．在比例尺为1:150 000的某城市地图上，若量得A、B两所学校的距离是4.2厘米，则A、B两所学校的实际距离是(　　)A．630米 B．6 300米 C．8 400米 D．4 200米4．已知△ABC∽△DEF，相似比为3:1，且△ABC的面积与△DEF的面积和为20，则△DEF的面积为(　　)A．5 B．2 C．15 D．185．如图，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是(　　)A．这种变换是位似变换 B．对应边扩大到原来的2倍 C．各对应角度数不变 D．面积扩大到原来的2倍 (第5题)　 　　 (第6题)　 　　 (第7题)6．如图，在△ABC中，AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，已知BC＝2a，则DG＋EH＋FI的长是(　　)A．a B．4a C．3a D．2a7．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为eq \f(1,3)，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)8．如图，在△ABC中，AB＝7 cm，AC＝4 cm，点D从B点以每秒2 cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1 cm的速度向点C移动，若D、E同时出发，同时停止且停止时△ADE与△ABC相似，则经过的时间是(　　)A.eq \f(28,15) s B.eq \f(7,3) s C.eq \f(28,15) s或eq \f(49,18) s D.eq \f(7,3) s或eq \f(49,18) s (第8题)　　　　 (第9题)9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，则线段EF的长为(　　)A．2 eq \r(5) B. eq \r(5) C.eq \f(4,5) eq \r(5) D.eq \f(2,5) eq \r(5)10．如图①，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle，1780－1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard，1845－1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：如图②，在等腰三角形DEF中，DF＝EF，FG是△DEF的中线，若点Q为△DEF的布洛卡点，FQ＝9，eq \f(FG,DE)＝eq \r(2)，则DQ＋EQ＝(　　)A．10 B.eq \f(9＋9\r(2),2) C．6＋6eq \r(3) D．7eq \r(2)二、填空题(每题3分，共18分)11．平面直角坐标系中，将点A(－1，2)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点A1的坐标为________．12．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC∽△DEF，需要添加的一个条件是____________．(写出一种情况即可)13．如图，有一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB:CD等于________． (第13题)　　　 (第14题)　　　 (第15题)　　　 (第16题)14．如图，点D，E是△ABC的边AB，AC上的点，已知F，G，H分别是DE，BE，BC的中点，连结FH，FG，GH，若BD＝8，CE＝6，∠FGH＝90°，则FH＝________．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD均在x轴上，OA＝2，AD＝3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是________________________．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有________个．三、解答题(17题6分，21题10分，22题12分，其余每题8分，共52分)17．已知eq \f(a,b)＝eq \f(2,9)，求eq \f(2a－3b,a＋b)的值．18.如图，在△ABC中，BA＝BC，过C点作CE⊥BC交∠ABC的平分线BE于点E，连结AE，D是BE上的一点，且∠BAD＝∠CAE.求证：△ABD∽△ACE.19．如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O(0，0)，A(4，2)，B(2，4)，P(4，4)，以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1:2，请在直角坐标系中画出符合条件的△DEF.20．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝5 eq \r(5) cm，且eq \f(EC,FC)＝eq \f(3,4).(1)求证：△AFB∽△FEC；(2)求矩形ABCD的周长．21．有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120 cm，高AD＝80 cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2:5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示，AD交PQ于K，交EH于R.(1)求矩形纸片较长边EH的长；(2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．22．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，eq \f(AD,AB)＝eq \f(A′D′,A′B′).(1)当eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(AB,A′B′)时，求证△ABC∽△A′B′C′.证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．　(2)当eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′)时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．答案一、1．A　2．D　3．B　4．B　5．D6．C　点拨：∵AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，∴DG∥EH∥FI∥BC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DG,BC)，即DG＝eq \f(1,4)BC；同理可得EH＝eq \f(1,2)BC，FI＝eq \f(3,4)BC；∴DG＋EH＋FI＝eq \f(1,4)BC＋eq \f(1,2)BC＋eq \f(3,4)BC＝eq \f(3,2)BC＝3a.故选C.7．A8．C　点拨：设经过t s△ADE与△ABC相似．∵点D从B点以每秒2 cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1 cm的速度向点C移动，D、E同时出发，同时停止，∴BD＝2t cm，AE＝t cm.∵AB＝7 cm，∴AD＝AB－BD＝(7－2t)cm.分两种情况：①当△ADE∽△ABC时，eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，即eq \f(7－2t,7)＝eq \f(t,4)，解得t＝eq \f(28,15)；②当△AED∽△ABC时，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AD,AC)，即eq \f(t,7)＝eq \f(7－2t,4)，解得t＝eq \f(49,18).综上所述，经过eq \f(28,15) s或eq \f(49,18) s时，△ADE与△ABC相似．故选C.9．B　点拨：设EF交AC于O，∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，∴AC⊥EF，AO＝CO.在矩形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，∴∠FCO＝∠EAO.又∵∠FOC＝∠EOA，∴△FOC≌△EOA，∴FO＝EO.在Rt△ACD中，AC＝eq \r(22＋42)＝2 eq \r(5)，∴CO＝eq \r(5).∵∠FOC＝∠D＝90°，∠FCO＝∠ACD，∴△FOC∽△ADC，∴eq \f(FO,AD)＝eq \f(CO,CD)，即eq \f(FO,2)＝eq \f(\r(5),4)，∴FO＝eq \f(\r(5),2).∴EF＝2FO＝2×eq \f(\r(5),2)＝eq \r(5).故选B.10．A　点拨：∵DF＝EF，FG是△DEF的中线，∴DG＝GE，FG⊥DE，∠FDE＝∠FED.∵eq \f(FG,DE)＝eq \r(2)，∴设DE＝x，则FG＝eq \r(2)x，DG＝eq \f(1,2)x，∴EF＝DF＝eq \r(FG2＋DG2)＝eq \r(2x2＋\f(1,4)x2)＝eq \f(3,2)x.∵点Q为△DEF的布洛卡点，∴∠QDF＝∠QED＝∠QFE，且∠FDE＝∠FED，∴∠QDE＝∠QEF，∴△DQE∽△EQF，∴eq \f(DQ,QE)＝eq \f(QE,QF)＝eq \f(DE,EF)＝eq \f(2,3)，∴QE＝6，DQ＝4，∴DQ＋EQ＝10.故选A.二、11．(－3，3)12．∠A＝∠D(答案不唯一)13．2:314．5　点拨：∵F，G分别是DE，BE的中点，∴FG＝eq \f(1,2)BD＝4.∵G，H分别是BE，BC的中点，∴GH＝eq \f(1,2)CE＝3，由勾股定理，得FH＝eq \r(FG2＋GH2)＝eq \r(42＋32)＝5.15．(－4，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(6,5)))　点拨：如图，连结FC并延长交x轴于点M，由题意可得△MOC∽△MAF，则eq \f(CO,AF)＝eq \f(MO,MA)＝eq \f(2,3)，∴eq \f(MO,MO＋2)＝eq \f(2,3)，解得MO＝4，故M点的坐标为(－4，0)．连结OE交AB于点N，易得△OAN∽△EFN，则eq \f(OA,EF)＝eq \f(AN,FN)＝eq \f(2,3)，解得AN＝eq \f(6,5)，故N点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(6,5))).综上所述，正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是(－4，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(6,5))).16．3　点拨：设AP的长为x，则BP的长为8－x.若AB边上存在点P，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△PAD∽△PBC，则AP:BP＝AD:BC，即x:(8－x)＝3:4，解得x＝eq \f(24,7)，经检验，x＝eq \f(24,7)是原方程的解；②若△PAD∽△CBP，则AP:BC＝AD:BP，即x:4＝3:(8－x)，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝2和x＝6都是原方程的解．故满足条件的点P有3个．三、17．解：∵eq \f(a,b)＝eq \f(2,9)，∴设eq \f(a,2)＝eq \f(b,9)＝k，∴a＝2k，b＝9k，∴eq \f(2a－3b,a＋b)＝eq \f(4k－27k,2k＋9k)＝eq \f(－23k,11k)＝－eq \f(23,11).18．证明：∵BA＝BC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠ACB＝90°.又∵CE⊥BC，∴∠ACE＋∠ACB＝90°，∴∠CBE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠ACE.∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.19．解：如图．20．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠AFE＝90°，∴∠CFE＋∠BFA＝90°，∠BFA＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠CFE，∴△AFB∽△FEC.(2)解：∵eq \f(EC,FC)＝eq \f(3,4)，∴设EC＝3t cm，FC＝4t cm，则EF＝DE＝5t cm，∴AB＝CD＝8t cm.又由(1)可得△AFB∽△FEC，∴eq \f(AB,FC)＝eq \f(BF,CE)，即eq \f(8t,4t)＝eq \f(BF,3t)，∴BF＝6t cm，∴AF＝10t cm.在Rt△AEF中，由勾股定理得(10t)2＋(5t)2＝(5 eq \r(5))2，∴t＝1(负值已舍去)，∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋BF＋FC)＝2(8t＋6t＋4t)＝2×18＝36(cm)．21．解：(1)设EF＝2x cm，EH＝5x cm.∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴eq \f(EH,BC)＝eq \f(AR,AD)，即eq \f(5x,120)＝eq \f(80－2x,80)，解得x＝15，∴EH＝15×5＝75(cm)，∴矩形纸片较长边EH的长为75 cm.(2)小聪的剪法不正确．理由如下：设正方形的边长为a cm，AR＝AD－RD＝80－2×15＝50(cm)，AK＝(50－a)cm，由题意，知△APQ∽△AEH，∴eq \f(PQ,EH)＝eq \f(AK,AR)，即eq \f(a,75)＝eq \f(50－a,50)，解得a＝30，与边EH平行的中位线＝eq \f(1,2)×75＝37.5(cm)．∵37.5≠30，∴小聪的剪法不正确．22．解：(1)eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(AD,A′D′)；∠A＝∠A′(2)△ABC∽△A′B′C′.理由如下：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AC).同理，eq \f(A′D′,A′B′)＝eq \f(D′E′,B′C′)＝eq \f(A′E′,A′C′).∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(A′D′,A′B′)，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(D′E′,B′C′).∴eq \f(DE,D′E′)＝eq \f(BC,B′C′).同理，eq \f(AE,AC)＝eq \f(A′E′,A′C′).∴eq \f(AC－AE,AC)＝eq \f(A′C′－A′E′,A′C′)，即eq \f(EC,AC)＝eq \f(E′C′,A′C′).∴eq \f(EC,E′C′)＝eq \f(AC,A′C′).∵eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′)，∴eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(DE,D′E′)＝eq \f(EC,E′C′).∴△DCE∽△D′C′E′.∴∠CED＝∠C′E′D′.∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°，同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°.∴∠ACB＝∠A′C′B′.∵eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(CB,C′B′)，∴△ABC∽△A′B′C′.