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初中华师大版第23章 图形的相似综合与测试学案设计
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这是一份初中华师大版第23章 图形的相似综合与测试学案设计，共17页。学案主要包含了知识网络，典例分析，解答题，B′等内容，欢迎下载使用。
一、知识网络
二、典例分析
1、分类讨论题
例1、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为___________.
解析：（1）当高AD在△ABC内时，如图1. ，又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA，∴∠BAD＝∠ACD.∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°.∵∠B＝25°，∴∠BCA＝65°.
（2）当高AD在△ABC外时，如图2.同理可证△ADB∽△CDA，∴∠ABD＝∠CAD＝25°，∴∠ACD＝65°，∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°.
说明：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法.
2、新定义图形题
例2 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.
探究：（1）如图3，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF（图4）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图4-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图4-2）……依此规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为.①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映之间关系的等式（不必证明）.
解析：（1）如图5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线.
理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△BCD∽△ACB.
（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为，.
当时，，当n＝6时，，当n＝7时，.∴当n＝6时，.②.
说明：这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用.
3、网格证明题
例3 如图6，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
解析：（1）∠ABC＝135°，；（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝135°，，∴△ABC∽△DEF.
说明：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高.
4、情景应用题
例4、如图7所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元.
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
解析：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路.如图8所示.
（2）（米），（米）.
∵△ABE∽△CFE，得，（米），
∵△BHE∽△CFE，得， （米）.
∵△ABE∽△DGA，， （米）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）.
说明：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学.
5、运动变化题
例5 如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？
解析：（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC，∴∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠BCA ∴△BDE∽△BAC， ，
，.
（2），王刚到E点的时间为，张华追赶王刚的速度是.
说明：解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置.
6、作图说理题
例6、小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明.（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明.
解析：（1）小胖的话不对.小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面.
∵OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP＝∠ABC，∴△OBP∽△ABC，.
又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO＝OA，，而AC＝1米，得OP＝0.5米.
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a＞0），如图10-2所示，BD＝a米，AE＝a米，，即DO＝OE.，同理可得△DOP∽△DEF，，由OP＝0.5米，得EF＝1米.综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高.
（2）方案一：保持BO长度不变，将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半.使，则.由△BOP∽△BEF，得，∴EF＝1.25米.
方案二：如图10-3所示，只将支架升高0.125米.，又米，，米
说明：本题为探究结论型开放题.第（1）题中，只要看构成的三角形的相似比是否变化.第（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比.它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视.
7、计算求值题
例7、 若，则 ．
解析：根据已知条件，可用设k法，把x，y，z都用k表示，就可算出比值．设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则．
【说明】设k法是求解比例问题的重要而又普遍适用的方法，它能把比例式中的各个量都统一用k来表示，清楚地揭示了各个量相互间的关系，从而使形式与内容达到统一，简化了计算，要熟练地掌握这一解题方法．
开放性问题
例8、如图11，在RT△ABC中，为直角，于点，BC＝3，AB＝5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比 _____．
图11
解析：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似(即有△ABC∽△ACD∽△CBD)，如选△ABC∽△CBD，则AB，BC为两三角形的对应边，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得面积比为25：9．
【说明】本题考查相似三角形的判定和性质．图中共有三对相似三角形，关键要准确找出相似三角形的对应边，复习时要强调相似三角形的对应关系．
9、学科间综合题
例9、如图12，是小明设计用手电来测量某古城墙高度示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1．2米，BP＝1．8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A．6米 B． 8米 C．18米 D．24米
图12
解析：要求古城墙CD的高度，就要列出有关CD的比例线段，利用物理学知识入射角等于反射角，即可得出△ABP∽△CDP，从而得，解得CD＝8米．
【说明】相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合．
10、探究说理题
例10、在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF＝60°．
(1)如图13-1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
(2)若直线向右平移到图13-2、图13-3的位置时(其它条件不变)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；
(3)探究：如图13-1，当BD满足什么条件时(其它条件不变)，？请写出探究结果，并说明理由．(说明：结论中不得含有未标识的字母)
解析：(1) (2)根据已知∠BPF＝60以及等边三角形中60的内角，挖掘图中的公共角，即可找到与△BPF相似的三角形；(3)探索成立的条件，可考虑30°角所对的直角边与斜边的关系，故猜测为的平分线．
(1)，．以为例，证明如下：∵∠BPF＝∠EBF＝60，，∴．
(2)均成立，均为，．
(3)当平分时，．
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBF＝30．∵∠BPF＝60，∴∠BFP＝90．∴．又∵∠B EF＝60－30＝30＝∠ABP，∴BP＝EP．∴．
【说明】这是一个开放性问题, 既有探索结论，又有条件的探索，同时还结合了图形的变换，复习时要注意多进行变式训练，加强一题多解、一题多变、一题多思．
11、方案设计题
例11、有一块直角三角形木板如图14-1所示，已知∠C＝90，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．
图14-2
图14-3
图14-1
解析：要在Rt△ABC内裁出面积最大的正方形DEFG，有两种可能的裁法，如图14-2和14-3，可分别求出正方形的面积(正方形的顶点都在△ABC的边上)．
方案一：如图14-2，作CM⊥AB于M，交DE于N．设正方形边长为xcm．由得,．
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，即：．∴．∴．
方案二：如图14-3，设正方形边长为y cm．∵ EF∥AC，∴ △BFE∽△BCA． ∴ ． 即．∴ ．∵x＜y ， ∴方案二裁出的正方形的面积最大．这时正方形的边长是cm．
【说明】解决实际应用问题，探究设计方案，分析图形中与面积有关的线段数量关系，利用相似三角形对应边的比等于相似比，对应高的比也等于相似比这个性质来解决的．
第23章章末测试题
一、选择题：
1、已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1︰2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A.1︰2 B.1︰4 C.2︰1 D.4︰1
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个
3、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36cm
4、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （ ）
A．3米 B．0.3米 C．0.03米 D．0.2米
5、如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2
6、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ）
A．9.5B．10.5 C．11D．15.5
7、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
8、语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有角相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有（ ）
A.4句 B.3句 C.2句 D.1句
备用：
1.如图，AB、CD都是BD的垂线，AB=4，CD=6，BD=14，P是BD上一点，连结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是（ ）
A.2 B.5.6 C.12 D.上述各值都有可能
答案：D
2.D、E分别是△ABC中边AB、AC上的点，若DE∥BC，且，则AD︰DB=（ ）
A. 1︰1 B.1︰ C. D.
答案：D
二、填空题：
9、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ▲ ．
10、如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE、BD，交于点O，如果已知△ADE的面积是6，试写出能求出的图形面积 （要求写出四个以上图形的面积）.
11、有一张简易活动餐桌，现测得OA=OB=30，OC=OD=50，现要求桌面离地面的高度为40，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为 .
12、阳光通过窗口AB照到房间里，在地上留下3.2米宽的亮区ED，如图，已知亮区一边到窗下墙角的距离CE=8米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC= .
13、下面这些三角形中，选出相似的三角形 ．
14、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是
15、如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．
16、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
17、如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比________．
18、升旗仪式上，小明通过建立直角坐标系发现旗杆底端的位置在点A（3，1），顶端在点B（3，10），升旗前旗的三个顶点的位置分别在点P（3，2）、Q（3，3）、R（5，2），写出当旗的顶端Q升到旗杆的顶部B处时，点P和点R对应点的坐标分别为 .
三、解答题：
19、如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．
20、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
21、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为多少时，△DAP与△PBC相似，并说明你的理由．
22、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形． (1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB； (2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数．
23、已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
24、如图，有两个动点分别从正方形的两个顶点同时出发，以相同速度分别沿边和移动，问：
（1）在移动过程中，与的位置和大小有何关系？并给予证明．
（2）若和相交点，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来．
25、如图：已知A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）.（1）求线段AB、BC、AC的长.
（2）把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A′、B′、C′的坐标,求A′B′、B′C′、A′C′的长.
（3）△ABC与△A′B′C′的形状相同吗？
（4）△ABC与△A′B′C′是位似图形吗?若是,请指出位似中心和位似比．
26、已知：△ABC中，AB=10．（1）如图①，若点D，E分别是AC，BC边的中点，求DE的长；
（2）如图②，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值；
（3）如图③，若点A1，A2，…，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果．
27、如图，在水平桌面上的两个“Ｅ”，当点，，在一条直线上时，在点处用①号“Ｅ”测得的视力与用②号“Ｅ”测得的视力相同．
（1）图中，，，满足怎样的关系式？
（2）若cm，cm，①号“E”的测试距离m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离应为多少？
28、某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离.
实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线(一端系着圆锥型铁块的细线)。
实验步骤：第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；
第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；
第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长。
实验数据：
问：根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离(精确到0.1米)；
参考答案
一、选择题：
1～8、BBABCDAB
二、填空题：
9、答案：144;
10、如，以及相互组合成的图形的面积.
11、答案：120°
12、答案：3米
13、答案：①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似
14、答案：∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或
15、答案：1
16、答案：或2;
17、需根据图形,位似比可为1∶1或2∶1.
18、（3，9）、（5，9）
三、解答题：
19、解：方法一：过点D作DE∥BC交BC边于E点，则由，且∠A=∠A ，可知△ADE～△AC B.
方法二：作∠ADE=∠ABC交AB边于E点，又有∠A=∠A，可知△ADE～△A BC.
方法三：过点D作DE∥AB交BC边于E点，则由，且∠C=∠C ，可知△CDE～△CA B.
方法四：作∠CDE=∠B交BC边于E点，又有∠C=∠C，可知△CDE～△CBA.
20、解 ，∴，
∴∽．∴．
又，∴，
∴∽，∴，∴．
又厘米米，厘米米，米，
∴米．
即电线杆的高为6米．
21、设AP=x，则BP=6-x ∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°，∴∠A=∠B.
(1)当时，△APD∽△BPC ， ，x=.
(2)当时，△APD∽△BCP，，x=2，或x=4，∴所求的AP长为，2，或4 ．
22、(1)∵△ACD为等边三角形 ∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60° ∴∠PCA=∠PDB=120°，∴当时,△ACP∽△PDB ∴ ∴CD2=AC·DB．
(2)∵△ACP∽△PDB， ∴∠BPD=∠A .∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°，∴∠APB=(∠APC+∠BPD)+∠CPD=60°+60°=120°．
23、解：假设存在满足条件的实数，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝900，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：或，由此解得：CQ＝1或CQ＝，从而或，故当或时，△ADP与△QCP.
24、解：（1）在正方形中，，，，（SAS）..
，.
在中，，.
（2）有5对相似三角形：
．
25、(1)
(2)A′(0,-4)、B′(-4,2)、C′(6,4)，.
（3） ， ∴△ABC∽△ 即此两个三角形相似.
(4) △ABC与△A′B′C′是位似图形,位似中心为点O,位似比为
26、（1）依据三角形中位线定理，有DE=AB=5．
（2）设A1B1=x，则A2B2=2x．∵A1，A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB．∴由梯形中位线定理，有x+10=4x，解之得x=．这时A1B1+A2B2=10．
（3）同理，可求出A1B1+A2B2+A3B3=15，A1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20，…，从而A1B1+A2B2+…+A10B10=50．
27、(1)由相似的性质可知b1∶b2=l1∶l2 即b1l2=b2l1 (2)把数据代入上式即可求得 (m)
28、解：（1）过作,垂足为,则,,∴,
.
∴∴∴
∵∴∴
答：支架顶端P到地面的距离为8.3米.线段
AB
CD
AD
EF
BF
长度(米)
2.5
1
0.8
1.2
0.6
一、知识网络
二、典例分析
1、分类讨论题
例1、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为___________.
解析：（1）当高AD在△ABC内时，如图1. ，又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA，∴∠BAD＝∠ACD.∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°.∵∠B＝25°，∴∠BCA＝65°.
（2）当高AD在△ABC外时，如图2.同理可证△ADB∽△CDA，∴∠ABD＝∠CAD＝25°，∴∠ACD＝65°，∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°.
说明：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法.
2、新定义图形题
例2 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.
探究：（1）如图3，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF（图4）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图4-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图4-2）……依此规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为.①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映之间关系的等式（不必证明）.
解析：（1）如图5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线.
理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，∴△BCD∽△ACB.
（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为，.
当时，，当n＝6时，，当n＝7时，.∴当n＝6时，.②.
说明：这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用.
3、网格证明题
例3 如图6，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
解析：（1）∠ABC＝135°，；（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝135°，，∴△ABC∽△DEF.
说明：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高.
4、情景应用题
例4、如图7所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元.
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
解析：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路.如图8所示.
（2）（米），（米）.
∵△ABE∽△CFE，得，（米），
∵△BHE∽△CFE，得， （米）.
∵△ABE∽△DGA，， （米）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）.
说明：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学.
5、运动变化题
例5 如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？
解析：（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC，∴∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠BCA ∴△BDE∽△BAC， ，
，.
（2），王刚到E点的时间为，张华追赶王刚的速度是.
说明：解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置.
6、作图说理题
例6、小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明.（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明.
解析：（1）小胖的话不对.小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面.
∵OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP＝∠ABC，∴△OBP∽△ABC，.
又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO＝OA，，而AC＝1米，得OP＝0.5米.
若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a＞0），如图10-2所示，BD＝a米，AE＝a米，，即DO＝OE.，同理可得△DOP∽△DEF，，由OP＝0.5米，得EF＝1米.综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高.
（2）方案一：保持BO长度不变，将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半.使，则.由△BOP∽△BEF，得，∴EF＝1.25米.
方案二：如图10-3所示，只将支架升高0.125米.，又米，，米
说明：本题为探究结论型开放题.第（1）题中，只要看构成的三角形的相似比是否变化.第（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比.它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视.
7、计算求值题
例7、 若，则 ．
解析：根据已知条件，可用设k法，把x，y，z都用k表示，就可算出比值．设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则．
【说明】设k法是求解比例问题的重要而又普遍适用的方法，它能把比例式中的各个量都统一用k来表示，清楚地揭示了各个量相互间的关系，从而使形式与内容达到统一，简化了计算，要熟练地掌握这一解题方法．
开放性问题
例8、如图11，在RT△ABC中，为直角，于点，BC＝3，AB＝5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它们的面积比 _____．
图11
解析：直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似(即有△ABC∽△ACD∽△CBD)，如选△ABC∽△CBD，则AB，BC为两三角形的对应边，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得面积比为25：9．
【说明】本题考查相似三角形的判定和性质．图中共有三对相似三角形，关键要准确找出相似三角形的对应边，复习时要强调相似三角形的对应关系．
9、学科间综合题
例9、如图12，是小明设计用手电来测量某古城墙高度示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1．2米，BP＝1．8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A．6米 B． 8米 C．18米 D．24米
图12
解析：要求古城墙CD的高度，就要列出有关CD的比例线段，利用物理学知识入射角等于反射角，即可得出△ABP∽△CDP，从而得，解得CD＝8米．
【说明】相似三角形应用范围十分广泛，不仅局限于测量高度、距离，它在其他学科中的应用也较广泛，要注意和其他学科结合．
10、探究说理题
例10、在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF＝60°．
(1)如图13-1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
(2)若直线向右平移到图13-2、图13-3的位置时(其它条件不变)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；
(3)探究：如图13-1，当BD满足什么条件时(其它条件不变)，？请写出探究结果，并说明理由．(说明：结论中不得含有未标识的字母)
解析：(1) (2)根据已知∠BPF＝60以及等边三角形中60的内角，挖掘图中的公共角，即可找到与△BPF相似的三角形；(3)探索成立的条件，可考虑30°角所对的直角边与斜边的关系，故猜测为的平分线．
(1)，．以为例，证明如下：∵∠BPF＝∠EBF＝60，，∴．
(2)均成立，均为，．
(3)当平分时，．
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBF＝30．∵∠BPF＝60，∴∠BFP＝90．∴．又∵∠B EF＝60－30＝30＝∠ABP，∴BP＝EP．∴．
【说明】这是一个开放性问题, 既有探索结论，又有条件的探索，同时还结合了图形的变换，复习时要注意多进行变式训练，加强一题多解、一题多变、一题多思．
11、方案设计题
例11、有一块直角三角形木板如图14-1所示，已知∠C＝90，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm．根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．
图14-2
图14-3
图14-1
解析：要在Rt△ABC内裁出面积最大的正方形DEFG，有两种可能的裁法，如图14-2和14-3，可分别求出正方形的面积(正方形的顶点都在△ABC的边上)．
方案一：如图14-2，作CM⊥AB于M，交DE于N．设正方形边长为xcm．由得,．
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，即：．∴．∴．
方案二：如图14-3，设正方形边长为y cm．∵ EF∥AC，∴ △BFE∽△BCA． ∴ ． 即．∴ ．∵x＜y ， ∴方案二裁出的正方形的面积最大．这时正方形的边长是cm．
【说明】解决实际应用问题，探究设计方案，分析图形中与面积有关的线段数量关系，利用相似三角形对应边的比等于相似比，对应高的比也等于相似比这个性质来解决的．
第23章章末测试题
一、选择题：
1、已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1︰2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A.1︰2 B.1︰4 C.2︰1 D.4︰1
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个
3、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36cm
4、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （ ）
A．3米 B．0.3米 C．0.03米 D．0.2米
5、如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2
6、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ）
A．9.5B．10.5 C．11D．15.5
7、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
8、语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有角相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有（ ）
A.4句 B.3句 C.2句 D.1句
备用：
1.如图，AB、CD都是BD的垂线，AB=4，CD=6，BD=14，P是BD上一点，连结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是（ ）
A.2 B.5.6 C.12 D.上述各值都有可能
答案：D
2.D、E分别是△ABC中边AB、AC上的点，若DE∥BC，且，则AD︰DB=（ ）
A. 1︰1 B.1︰ C. D.
答案：D
二、填空题：
9、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ▲ ．
10、如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE、BD，交于点O，如果已知△ADE的面积是6，试写出能求出的图形面积 （要求写出四个以上图形的面积）.
11、有一张简易活动餐桌，现测得OA=OB=30，OC=OD=50，现要求桌面离地面的高度为40，那么两条桌腿的张角∠COD的大小应为 .
12、阳光通过窗口AB照到房间里，在地上留下3.2米宽的亮区ED，如图，已知亮区一边到窗下墙角的距离CE=8米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC= .
13、下面这些三角形中，选出相似的三角形 ．
14、如图，在△ABC中，P是边AB上一点，连结CP，使△ACP∽△ABC的条件是
15、如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 米．
16、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
17、如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比________．
18、升旗仪式上，小明通过建立直角坐标系发现旗杆底端的位置在点A（3，1），顶端在点B（3，10），升旗前旗的三个顶点的位置分别在点P（3，2）、Q（3，3）、R（5，2），写出当旗的顶端Q升到旗杆的顶部B处时，点P和点R对应点的坐标分别为 .
三、解答题：
19、如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．
20、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
21、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，BC=8，AB=6，点P在高AB上滑动，当AP长为多少时，△DAP与△PBC相似，并说明你的理由．
22、如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形． (1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB； (2)当ΔPDB∽ΔACP时，试求∠APB的度数．
23、已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝，是否存在这样的实数，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
24、如图，有两个动点分别从正方形的两个顶点同时出发，以相同速度分别沿边和移动，问：
（1）在移动过程中，与的位置和大小有何关系？并给予证明．
（2）若和相交点，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来．
25、如图：已知A（0，－2），B（－2，1），C（3，2）.（1）求线段AB、BC、AC的长.
（2）把A、B、C三点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到A′、B′、C′的坐标,求A′B′、B′C′、A′C′的长.
（3）△ABC与△A′B′C′的形状相同吗？
（4）△ABC与△A′B′C′是位似图形吗?若是,请指出位似中心和位似比．
26、已知：△ABC中，AB=10．（1）如图①，若点D，E分别是AC，BC边的中点，求DE的长；
（2）如图②，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值；
（3）如图③，若点A1，A2，…，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果．
27、如图，在水平桌面上的两个“Ｅ”，当点，，在一条直线上时，在点处用①号“Ｅ”测得的视力与用②号“Ｅ”测得的视力相同．
（1）图中，，，满足怎样的关系式？
（2）若cm，cm，①号“E”的测试距离m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离应为多少？
28、某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离.
实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线(一端系着圆锥型铁块的细线)。
实验步骤：第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；
第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；
第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长。
实验数据：
问：根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离(精确到0.1米)；
参考答案
一、选择题：
1～8、BBABCDAB
二、填空题：
9、答案：144;
10、如，以及相互组合成的图形的面积.
11、答案：120°
12、答案：3米
13、答案：①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似
14、答案：∠ACP＝∠B或∠APC＝∠ACB或
15、答案：1
16、答案：或2;
17、需根据图形,位似比可为1∶1或2∶1.
18、（3，9）、（5，9）
三、解答题：
19、解：方法一：过点D作DE∥BC交BC边于E点，则由，且∠A=∠A ，可知△ADE～△AC B.
方法二：作∠ADE=∠ABC交AB边于E点，又有∠A=∠A，可知△ADE～△A BC.
方法三：过点D作DE∥AB交BC边于E点，则由，且∠C=∠C ，可知△CDE～△CA B.
方法四：作∠CDE=∠B交BC边于E点，又有∠C=∠C，可知△CDE～△CBA.
20、解 ，∴，
∴∽．∴．
又，∴，
∴∽，∴，∴．
又厘米米，厘米米，米，
∴米．
即电线杆的高为6米．
21、设AP=x，则BP=6-x ∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°，∴∠A=∠B.
(1)当时，△APD∽△BPC ， ，x=.
(2)当时，△APD∽△BCP，，x=2，或x=4，∴所求的AP长为，2，或4 ．
22、(1)∵△ACD为等边三角形 ∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60° ∴∠PCA=∠PDB=120°，∴当时,△ACP∽△PDB ∴ ∴CD2=AC·DB．
(2)∵△ACP∽△PDB， ∴∠BPD=∠A .∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°，∴∠APB=(∠APC+∠BPD)+∠CPD=60°+60°=120°．
23、解：假设存在满足条件的实数，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝900，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得：或，由此解得：CQ＝1或CQ＝，从而或，故当或时，△ADP与△QCP.
24、解：（1）在正方形中，，，，（SAS）..
，.
在中，，.
（2）有5对相似三角形：
．
25、(1)
(2)A′(0,-4)、B′(-4,2)、C′(6,4)，.
（3） ， ∴△ABC∽△ 即此两个三角形相似.
(4) △ABC与△A′B′C′是位似图形,位似中心为点O,位似比为
26、（1）依据三角形中位线定理，有DE=AB=5．
（2）设A1B1=x，则A2B2=2x．∵A1，A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB．∴由梯形中位线定理，有x+10=4x，解之得x=．这时A1B1+A2B2=10．
（3）同理，可求出A1B1+A2B2+A3B3=15，A1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20，…，从而A1B1+A2B2+…+A10B10=50．
27、(1)由相似的性质可知b1∶b2=l1∶l2 即b1l2=b2l1 (2)把数据代入上式即可求得 (m)
28、解：（1）过作,垂足为,则,,∴,
.
∴∴∴
∵∴∴
答：支架顶端P到地面的距离为8.3米.线段
AB
CD
AD
EF
BF
长度(米)
2.5
1
0.8
1.2
0.6
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