第23章 图形的相似 华东师大版九年级数学上册达标测试卷(含答案)

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第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四条线段中，不是成比例线段的为(　　)A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(6)，d＝eq \r(3) D．a＝2，b＝eq \r(5)，c＝eq \r(15)，d＝2 eq \r(3)2．下列各组图形中有可能不相似的是(　　)A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形3．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连结AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为(　　)A．2∶5 B．3∶5 C．9∶25 D．4∶254．如图，△ABO是△A′B′O经过位似变换得到的，若点P′(m，n)在△A′B′O内，则点P′经过位似变换后的对应点P的坐标为(　　)A．(2m，n) B．(m，n) C．(m，2n) D．(2m，2n)5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．0个6．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长1.5 m的标杆DF，量出DF的影长EF为1 m，再量出同一时刻旗杆AC的影长BC为6 m，则旗杆AC的高为(　　)A．6 m B．7 m C．8.5 m D．9 m7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(　　)A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.259．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝(　　)A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25 10．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M，连结AP.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是(　　)A．①②③ B．① C．①② D．②③二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若eq \f(BO,OC)＝eq \f(2,3)，AD＝10，则AO＝________．12．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．13．已知eq \f(a,5)＝eq \f(b,7)＝eq \f(c,8)，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为________．14．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．15．如图，△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶eq \r(3)，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________． 17．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2 021次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2 021的位置，则点P2 021的横坐标为________．18．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是________m.19．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足为点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．20．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则Sn＝____________.(用含n的式子表示，n为正整数)三、解答题(21题6分，22，25题每题12分，23，24题每题8分，26题14分，共60分)21．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小． 22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF(点A，B，C分别对应点D，E，F)，且△ABC与△DEF的相似比为2：1.(1)画出△DEF；(2)线段AC的中点变换后对应的点的坐标为________；(3)求△DEF的周长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．24．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A沿AC向点C以2 cm/s的速度移动，到点C就停止移动，点Q从点C沿CB向点B以1 cm/s的速度移动，到点B就停止移动．(1)若点P，Q同时出发，则经过几秒S△PCQ＝2 cm2?(2)若点Q从点C出发2 s后点P出发，则点P移动几秒时△PCQ与△ACB相似？26．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求eq \f(AE,BD)的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，eq \f(AE,BD)的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．答案一、1.B　2.A　3.C　4.D　5.A6．D　点拨：易证△DEF∽△ABC，所以eq \f(DF,AC)＝eq \f(EF,BC)，即eq \f(1.5,AC)＝eq \f(1,6)，解得AC＝9 m．故选D.7．B8．B　点拨：由∠A＝∠ABC＝90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.∴eq \f(AB,BE)＝eq \f(CF,BC).由AE＝eq \f(1,2)×3＝1.5，AB＝2，得BE＝2.5，∴eq \f(2,2.5)＝eq \f(CF,3).∴CF＝2.4.9．D10．A　点拨：由题意可得AC＝eq \r(2)AB，AD＝eq \r(2)AE，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(AD,AE).∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故结论①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴eq \f(MP,MA)＝eq \f(ME,MD)，即MP·MD＝MA·ME，故结论②正确．∵eq \f(MP,MA)＝eq \f(ME,MD)，∴eq \f(MP,ME)＝eq \f(MA,MD)，又∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠MED＝90°.∵∠CAE＝180°－∠BAC－∠EAD＝90°＝∠APC，∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，∴eq \f(AC,CM)＝eq \f(CP,AC)，即AC2＝CP·CM.∵AC＝eq \r(2)CB，∴2CB2＝CP·CM，故结论③正确．综上，正确的结论是①②③，故选A.二、11.412．160 km　点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题意可列比例式为eq \f(1,500 000)＝eq \f(32,x×105)，解得x＝160.13．14　点拨：由eq \f(a,5)＝eq \f(b,7)＝eq \f(c,8)，可设a＝5k，b＝7k，c＝8k.∵3a－2b＋c＝9，∴3×5k－2×7k＋8k＝9，∴k＝1.∴2a＋4b－3c＝10k＋28k－24k＝14k＝14.14．S1＝S2　点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，∴BC2＝AC·AB.又∵S1＝BC2，S2＝AC·AD＝AC·AB，∴S1＝S2.15．2；12；16　16．(eq \r(3)，eq \r(3))17．2 02018．14　点拨：作CH⊥AB于H，交EF于P，如图，则CH＝DA＝42 m，由题意知，CP＝45 cm＝0.45 m，EF＝15 cm＝0.15 m.∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(CP,CH)，即eq \f(0.15,AB)＝eq \f(0.45,42)，∴AB＝14 m，即铁塔的高度为14 m.19.eq \f(16,3)或3　点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝eq \f(16,3)；当△CBM∽△ABP时，BM ∶BP＝CB ∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.20.eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n)　点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝eq \f(1,2)BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝eq \r(AB2－BB21)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，∴eq \f(S1,S)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2).∴S1＝eq \f(3,4)S.同理可得S2＝eq \f(3,4)S1，S3＝eq \f(3,4)S2，S4＝eq \f(3,4)S3，….又∵S＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，∴S1＝eq \f(3,4)S＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,4)，S2＝eq \f(3,4)S1＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)，S3＝eq \f(3,4)S2＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)，S4＝eq \f(3,4)S3＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(4)，…，Sn＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n).三、21.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以x∶7＝12∶6，解得x＝14.22．解：(1)△DEF如图所示．(2)(2，1.5)(3)△DEF的周长是DE＋EF＋DF＝1＋eq \r(2)＋eq \r(5).23．(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，∴△BDE∽△CAD.(2)解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，BD＝eq \f(1,2)BC＝5.在Rt△ADB中，AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(132－52)＝12，又易知eq \f(1,2)·AD·BD＝eq \f(1,2)·AB·DE，∴DE＝eq \f(60,13).24．解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC＝∠ADE＝90°.∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE).∵BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m，∴eq \f(AB,AB＋8.5)＝eq \f(1,1.5)，解得AB＝17 m.故河宽AB为17 m.25．解：(1)设经过t s S△PCQ＝2 cm2，则AP＝2t cm，CQ＝t cm，所以PC＝(8－2t)cm，由题意得eq \f(1,2)×(8－2t)t＝2，整理得t2－4t＋2＝0，解得t＝2±eq \r(2)，所以点P，Q同时出发，经过(2＋eq \r(2))s或(2－eq \r(2))s S△PCQ＝2 cm2.(2)设点P移动a s时△PCQ与△ACB相似，则AP＝2a cm，CQ＝(2＋a)cm，所以PC＝(8－2a)cm，当△PCQ∽△ACB时，eq \f(CP,CA)＝eq \f(CQ,CB)，即eq \f(8－2a,8)＝eq \f(2＋a,6)，解得a＝eq \f(8,5).当△PCQ∽△BCA时，eq \f(CP,CB)＝eq \f(CQ,CA)，即eq \f(8－2a,6)＝eq \f(2＋a,8)，解得a＝eq \f(26,11).综上所述，点P移动eq \f(8,5) s或eq \f(26,11) s时△PCQ与△ACB相似．26．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝eq \f(1,2)AC.∵∠B＝90°，∴AC＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5)，∴AE＝CE＝2eq \r(5)，∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(2\r(5),4)＝eq \f(\r(5),2).当α＝180°时，如图①，易得AC＝4 eq \r(5)，CE＝2 eq \r(5)，CD＝4，∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(AC＋CE,BC＋CD)＝eq \f(4 \r(5)＋2 \r(5),8＋4)＝eq \f(\r(5),2).(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)，∠EDC＝∠ABC＝90°.如题图②，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(AC,BC).在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(42＋82)＝4 eq \r(5).∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(4 \r(5),8)＝eq \f(\r(5),2)，∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2)，∴eq \f(AE,BD)的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4 eq \r(5)；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝eq \r(AC2－CD2)＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2)，∴BD＝eq \f(12 \r(5),5).综上，BD的长为4 eq \r(5)或eq \f(12 \r(5),5).