高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合精品同步训练题

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课堂知识小结
考点巩固提升
知识归纳
组合：
（1）组合定义：一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。
（2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号 表示。
（3）组合数公式：
其中，并且， 规定
注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
组合数的性质：
考点讲解
考点1：组合意义理解
例1．（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
【答案】BCD
【详解】对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；
对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；
对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.
故选：BCD
【方法技巧】
根据选项中不涉及元素顺序的为组合问题，即可确定结果.
【变式训练】
1．（多选）给出下列问题，其中是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3，4构成的含3个元素的集合
B．从7名班委中选2人担任班长和团支书
C．从数学组的10名教师中选3人去参加市里新课程研讨会
D．由1，2，3，4组成无重复数字的两位数
【答案】AC
【分析】根据排列和组合的定义判断即可.
【详解】A中，选出的元素构成集合，是组合问题；
B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；
C中，选出的3人去参加研讨会，是组合问题；
D中，2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题.
故选：AC.
2．用列举法写出下列组合：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有组合；
(2)从5个不同元素中任取2个元素的所有组合．
【答案】(1)答案详见解析
(2)答案详见解析
【分析】（1）利用列举法求得正确答案.
（2）利用列举法求得正确答案.
(1)
设个不同元素为，
从中任取3个元素，所有组合为：.
(2)
设个不同元素为，
从中任取个元素，所有组合为：，
.
考点2：排列数与组合数的区别
例2．（多选）下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
【答案】AC
【详解】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；
C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，
.故选：AC.
【方法技巧】
区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列问题；无顺序就是组合问题,.
【变式训练】
1．下列问题中为组合问题是（ ）
A．从全班50人中选出5名组成班委会；
B．从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
C．从1，2，3，，9中任取出两个数求积；
D．从1，2，3，，9中任取出两个数求差或商.
【答案】AC
【分析】根据排列与组合的区别：有序与无序进行判断.
【详解】根据组合定义可知AC是组合，BD与顺序有关是排列，故选AC.
考点3：组合数的计算
例3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】.
故选: B.
【方法技巧】
根据组合数公式直接求解即可.
【变式训练】
1．（ ）
A．2B．22C．12D．10
【答案】A
【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
2．已知，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据组合数的计算公式即可求解.
【详解】，化简得：，解得：或（舍去）.
故选：B
3．计算：______．
【答案】490
【分析】根据组合数的性质化简即可求值.
【详解】,
故原式，
故答案为：490
考点4：利用组合数公式证明
例4．用组合数公式证明：
(1)；
(2)．
解（1）
∵，
，
∴.
（2）
∵
∴.
【方法技巧】
（1）利用组合数公式可得，，即证；
（2）利用组合数公式可得，通过化简运算可证.
【变式训练】
1．对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用排列数和组合数公式求解判断.
【详解】A. 由组合数公式知：，故错误；
B. 由组合数公式知：，，则，故正确；
C. 由组合数公式知：，，，所以，故正确；
D. 由排列数公式知：，所以，故错误；
故选：BC
2．给出下列四个关系式，其中正确为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】利用排列数和组合数的公式逐项进行分析即可.
【详解】A. ，故正确；
B. ，故正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故选：AB.
3．证明：．
【答案】证明见解析
【分析】直接利用组合数公式计算即可得证.
【详解】证明：因为，
，
所以．
考点5：组合数方程和不等式
4．解下列不等式或方程
(1)
(2)
解（1）
由题意得：，解得：，
，即，
解得：，结合，可得：
（2）
，则，
即，
解得：（舍去）或2
故方程的解为：m=2
【方法技巧】
（1）先求出，解不等式得到，从而得到答案；（2）先得到，解方程得到或2，舍去不合题意的根.
【变式训练】
1．使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据组合数公式可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围，即可得解.
【详解】在中，为正整数，，在中，为正整数，，
因为，则有，即，解得，
因此有，为正整数，所以的取值可以是或或．
故选：D．
2．若，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】根据组合数、排列数公式得到方程，解得即可.
【详解】解：因为，所以，且，
解得或（舍去）；
故选：D
3．若，则_________．
【答案】5
【分析】利用组合数公式，列式求解作答.
【详解】依题意，，即，因，解得，
所以.
故答案为：5
考点6：组合数的性质及应用
例6．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】原式=.
故选：A
【方法技巧】
利用组合数的性质化简计算得解.
【变式训练】
1．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为（ ）
A．530B．502C．503D．505
【答案】B
【解析】根据题意，分别得到“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，再由组合数的性质，即可求出结果.
【详解】由题意，“上升”的正整数包含：两位数有个，三位数有个，，九位数有个，
则所有“上升”的正整数的个数为
，
故选：B.
2．鞋柜里有4双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出基本事件总数n，恰好成双包含的基本事件个数m，由概率公式即可得到答案．
【详解】鞋柜里有4双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，
基本事件总数n＝＝16，
恰好成双包含的基本事件个数m＝＝4，
∴恰好成双的概率为p＝．
故选A．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．接正方体6个面的中心形成15条直线，从这15条直线中任取两条，则它们异面的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出基本事件总数，再求出它们异面包含基本事件个数，由此能求出从这15条直线中任取两条而它们异面的概率.
【详解】从 15 条直线中任取两条的所有可䏍种数为 种,其中是异面直线的所有 种数为 种. 由古曲概型的计算公式可得它们异面的概率是 .
故选：C.
4．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有__________种.
【答案】84
【详解】分析：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，分到其余两个盒子里，即可得到答案.
详解：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，
故有.
故答案为84.
点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.
知识小结
组合：
（1）组合定义：一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。
（2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数。用符号 表示。
（3）组合数公式：
其中，并且， 规定
注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
组合数的性质：
巩固提升
一、单选题
1．新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ）
A．14种B．15种C．16种D．17种
【答案】C
【分析】分两种情况即物理或历史中选一门和物理和历史都选两种情况分类求解即可.
【详解】解：由题意得：
物理或历史中选一门：种选法；
物理和历史都选：种选法；
物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；
故选：C
2．黑龙江省从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年起高考不分文理.新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目：“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门.则新高考模式下考生选择政治历史地理三个科目的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】选择政治历史地理三个科目则是其中的一种选法，求出所有选科的组合总数，即可得出其概率.
【详解】“1”和“2”为选择性考试科目，共有6个科目，选择三个科目，且不能重复，则共种选法；
而选择政治历史地理三个科目则是其中的一种选法；
故新高考模式下考生选择政治历史地理三个科目的概率是.
故选：A.
3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.用2个阳爻，4个阴爻，可以组成（ ）种不同的重卦.
A．6B．15C．20D．1
【答案】B
【分析】由组合数求解
【详解】由题意得，用2个阳爻，4个阴爻可以组成种
故选：B
4．将4个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放一个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是（ ）
A．B．C．15D．360
【答案】C
【分析】这是一个组合问题，可以看成从6个盒子中选择4个盒子放入小球，从而可得出答案.
【详解】解：此题可理解为从6个盒子中选择4个盒子放入小球（小球无差别），
因此有种不同的放法．
故选：C．
5．若，则（ ）
A．2B．5C．2或5D．7
【答案】C
【分析】由组合数的性质，即可求解.
【详解】由组合数性质，可知或.
故选：C
6．从10名学生中任选2名参加某项志愿者活动，不同的选法种数是（ ）
A．12B．20C．45D．90
【答案】C
【分析】判断这是个组合问题，计算组合数，即可求得答案.
【详解】由题意，从10名学生中任选2名参加某项志愿者活动，
由组合的定义可知，不同的选法种数为,
故选:C
7．三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，则不同的派法共有（ ）
A．90种B．180种C．125种D．243种
【答案】A
【分析】根据题意先分组后排列即得.
【详解】由题可把五个社区分为1,2,2三组，有种分法，
然后将三组看作三个不同元素进行全排列，有种排法，
所以不同的派法共有(种).
故选：.
8．已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（ ）
A．；B．；C．；D．
【答案】C
【分析】据组合数的性质及排列数公式计算可得
【详解】解：对于A，，故正确；
对于B，因为，所以，故正确；
对于C，因为n，m为正整数，且，
所以令，则，，此时，故错误；
对于D，，故正确；
故选：C
二、多选题
9．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
C．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
【答案】ACD
【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD正确
【详解】解：由题意得：
对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A正确；
对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故B错误，C正确；
对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.
故选：ACD
10．下列各式中，不等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用组合数和排列数公式逐项判定即可
【详解】对A，正确；
对B, ,错误
对C, ,错误；
对D, 正确
故选：BC
三、填空题
11．从5名男生和2名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有______种．
【答案】25
【分析】计算反面全是男生的方法数，运用排除法即可
【详解】从5名男生和2名女生中,选出3名代表的方法数为
从5名男生和2名女生中,选出3名代表全是男生的方法数为
所以从5名男生和2名女生中,选出3名代表,要求至少包含1名女生的方法数为
故答案为：25
12．计算：___________.（用数字作答）
【答案】65
【分析】根据排列数、组合数的运算法则，计算即可得答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：65
13．某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．
【答案】550
【分析】分选派的主任医师只有一名男主任，只有一名女主任，男，女主任医师均选派，三种情况，结合组合知识进行求解，再相加即可.
【详解】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种，
若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种，
若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种，
综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.
故答案为：550
14．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为___________.
【答案】
【分析】利用列举法把互质的2个数找出来，然后利用古典概型求概率的公式求概率即可.
【详解】从2至8的整数有2,3,4,5,6,7,8，
互质的两个数有2和3,2和5,2和7,3和4,3和5,3和7,3和8,4和5,4和7,5和6,5和7,5和8,6和7,7和8，共14对，
所以随机取2个数，互质的概率为.
故答案为：.
四、解答题
15．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．
(1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
(3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
【答案】(1)60
(2)91
(3)14
【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.
(1)
从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；
(2)
若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；
(3)
若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，
若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.
16．已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
【答案】(1)15
(2)60
【分析】直接利用排列组合中的“平均分组”与“不平均分组”的计算方法计算即可.
（1）
6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为.
（2）
从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为.