人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布精品复习练习题

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7.4.2超几何分布
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：超几何分布的分布列；超几何分布的均值；超几何分布的方差；超几何分布的概率
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳

知识点：超几何分布：
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则

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称超几何分布列.





为超几何分布列，
考点讲解


考点1：超几何分布的分布列
例1．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．
(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；
(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列．
【方法技巧】
(1)利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；
(2)根据题意，的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．

【变式训练】
1．下列随机变量中，服从超几何分布的有(    )
A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X
2．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：___________．

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3．一个小组有6个人，任选2名代表，则甲当选的概率为__________．
4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是( )
A．都不是一等品            B．恰有1件一等品
C．至少有1件一等品            D．至多有1件一等品
考点2：超几何分布的均值
例2．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球．
(1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值；
(2)求从乙盒取出2个红球的概率．
【方法技巧】
（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解.
【变式训练】
1．设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（多选）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（    ）
A．         B．
C．随机变量X服从超几何分布     D．
3．一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的均值___________．
4．从名男生，名女生中任选人作为一个小组，且所选人中女生人数为，求的分布和期望．
考点3：超几何分布的方差
4．口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则____；_______.
【方法技巧】
根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望、方差即可.
【变式训练】
1．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中黑球的个数为X，则下列结论正确的是（    ）
A．随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，5，6 B．随机变量X服从超几何分布
C． D．
2．某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为______．
3．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为______.若记取出3个球中黑球的个数为，则______.
考点4：超几何分布的概率
例4．已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(1)求取出的4个球均为红球的概率；
(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.
（2）
【变式训练】
1．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（   ）.
A． B． C． D．
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于（    ）
A． B．
C． D．
3．在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球.从这个球中任取个，记表示白球的个数，则___________.

4．袋中有4个黑球，3个红球的，除颜色外其它均一样，从中任取3个球，求至少含有1个红球的概率.
知识小结

一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则
称超几何分布列.

0
1











巩固提升


一、单选题
1．某党支部有名党员，男女，为迎接建党周年，从中选取人做汇报演出，若表示选中的女党员数，则（   ）.
A． B． C． D．
2．有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的正品数的数学期望值是（    ）
A． B． C． D．
3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
4．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)
A． B． C． D．
5．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（       ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
6．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（    ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
7．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（    ）
A．2 B．1 C． D．
8．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（       ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
10．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．

三、填空题
11．若随机变量X服从超几何分布，则X的均值_____________．
12．袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得______分.
13．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.
14．一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为___________．

四、解答题
15．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．

16．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.