高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布优秀同步测试题

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7.5正态分布
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：正态密度曲线；概率分布曲线的认识；正态分布曲线的性质；标准正态分布的应用；特殊区间的概率；指定区间的概率；根据正态曲线的对称性求参数；3原则的应用；正态分布的实际应用

2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳

1、 密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数；

显然，如果连续型随机变量的密度函数是，则：
；；
；；
2、正态分布的定义：如果连续型随机变量的密度函数是：；则称随机变量服从正态分布，记为：；
3、正态分布曲线的特点：
（1）整条曲线都在轴的上方，即对恒成立；
（2）是他的对称轴，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；在时取得最大值；
（3）正态分布曲线的两个主要参数的几何学意义：
参数决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数 决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：越大，数据越离散，曲线越矮越胖；越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数称为形状参数；
1、 正态分布的期望与方差：若
期望：； 方差：；
2、 正态分布的原则：
（1）；
（2）；
（3）；
3、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；
4、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：
考点讲解
若，则；

考点1：正态密度曲线
例1．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧】
由正态分布密度函数的概念即得.
【变式训练】
1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是（    ）
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
2．设随机变量，X的正态密度函数为，则______.
考点2：概率分布曲线的认识
例2．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【方法技巧】
根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解.
【变式训练】
1．随机变量服从正态分布，则标准差为（    ）
A．2 B．4 C．10 D．14
2．如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）.

A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
考点3：正态分布曲线的性质
例3．随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（    ）
附：
概率
P(μ－σ≤X＜μ＋σ)
P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)
P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)
近似值
0.6827
0.9545
0.9973
A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759
【方法技巧】
根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
【变式训练】
1．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
2．已知某次考试的数学成绩服从正态分布，且，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在内的概率为_____．
考点4：标准正态分布的应用
例4．若随机变量X的密度函数为，在区间和内取值的概率分别为，则的关系为（    ）
A． B．
C． D．不确定
【方法技巧】
根据密度函数可得，然后结合正态分布曲线的对称性可得曲线关于对称，即可判断得.
【变式训练】
1．已知随机变量，且，则（    ）
A．0．25 B．0．3 C．0．75 D．0．65
2．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点5：特殊区间的概率
例4．设随机变量，且，则___________.
【方法技巧】
根据正态分布的对称性可直接求解.
【变式训练】
1．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（    ）. 附：随机变量服从正态分布，则，.
A．12 B．16 C．30 D．32
2．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（    ）
（附：若随机变量服从正态分布，则）
A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%
考点6：指定区间的概率
例6．某生产线生产的零件尺寸X（单位：）都服从正态分布，且，在生产线上随机取一个零件，尺寸在区间的概率为___________.
【方法技巧】
根据正态曲线的对称性即可得出答案.
【变式训练】
1．已知随机变量，且，则（    ）
A． B． C． D．
2．某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________.
考点7：根据正态曲线的对称性求参数
例7．小强对重力加速度做n次实验，若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值．已知估值的误差，为使误差在内的概率不小于0.6827，至少要实验___________次．（参考数据：若，则）．
【方法技巧】
直接由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.
【变式训练】
1．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）
A． B．1 C． D．2
2．设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ）
A． B．4 C．1 D．2
考点8：3原则的应用
例7．（多选）某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.82cm和10.31cm，下列说法正确的是（    ）
A．上午生产情况正常 B．上午生产情况异常
C．下午生产情况正常 D．下午生产情况异常
【方法技巧】
利用原则求出正常零件外直径的范围，再判断零件是否正常即可.
【变式训练】
1．某工厂生产的零件的尺寸（单位:）服从正态分布.任选一个零件，尺寸在的概率为（    ）
附:若，则，，.
A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545
2．曲靖一中2023届高二年级春节学期4月份月考中，理科考试学生人数为820人，假设数学成绩，那么全年级数学成绩在80-127.4分之间的理科学生人数大约是________人．
参考统计数据：， ，．
考点9：正态分布的实际应用
例9．已知随机变量，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且.
(1)求参数，的值．
(2)求．
附：若，则，.
【方法技巧】
(1)结合已知条件和所给数据，利用正态曲线的对称性即可求解；
(2)结合所给数据，并利用正态曲线的性质即可求解指定区间的概率.
【变式训练】
1．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（    ）
A． B． C． D．
2．“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（    ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大
知识小结

3、 正态分布的期望与方差：若
期望：； 方差：；
4、 正态分布的原则：
（1）；
（2）；
（3）；
3、标准正态分布：若，则称随机变量服从标准正态分布；
4、正态分布与标准正态分布之间的转化关系：
若，则；
巩固提升

一、单选题
1．已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（    ）

A．， B．，
C．， D．，
3．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
4．某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N（90，），若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（    ）
A．5 B．10 C．15 D．30
5．已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（    ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
6．在某地举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有14名．参加此次数学竞赛的学生数大约为（    ）
参考数据：；；
A．1200 B．900 C．600 D．300
7．已知两个随机变量，其中，若，且，则（    ）
A． B． C． D．
8．已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（    ）
A．477人 B．136人 C．341人 D．131人

二、多选题
9．已知正态密度函数，，以下关于正态曲线的说法正确的是（    ）
A．曲线与轴之间区域的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．曲线关于直线对称
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
10．阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是（    ）


A．乙品种水蜜桃的平均质量
B．甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数
三、填空题
11．已知随机变量X服从正态分布，且，则_______.
12．首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）
13．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.
14．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取1000个零件，并测量其尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布，则可估计所抽取的1000个零件中尺寸高于24的个数大约为__________.
（附：若随机变量服从正态分布，则.
四、解答题
15．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4

(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.
（提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.）
16．为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：米）近似服从正态分布，且.
(1)若从高三男生中随机挑选1人，求他的成绩在内的概率.
(2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲､乙两位同学进行比赛.比赛采取“五局三胜制”，即两人轮流掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜（假设没有平局）.一共进行五局比赛，先胜三局者将代表学校出战省运会.根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为.
①求甲代表学校出战省运会的概率.
②丙､丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说：“如果甲获胜，你给我100块，如果甲获胜，你给我50块，如果甲获胜，你给我10块，如果乙获胜，我给你200块”，如果你是丁，你愿意和他打赌吗？说明你的理由.