高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀同步练习题

6.2.3组合+6.2.4组合数  (精讲）

目录

一、必备知识分层透析

二、重点题型分类研究

题型1: 组合的概念

题型2：组合数的计算、化简与证明

题型3：有限制条件的组合问题

题型4：排列、组合的综合应用

题型5：与几何图形有关的组合问题

题型6：分组、分配问题

三、高考（模拟）题体验

目录

一、必备知识分层透析

知识点1：组合

（1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.

（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

（3）组合与排列的异同

相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”.

不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.

知识点2：组合数与组合数公式

（1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.

（2）组合数公式

或：（，）.

规定：

知识点3：组合数的性质

（1）性质1：

（2）性质2：

二、重点题型分类研究

题型1: 组合的概念

典型例题

例题1．（2022·高二课时练习）以下四个问题，属于组合问题的是（    ）

A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

例题2．（2022·高二课时练习）以下四个问题中，属于组合问题的是（    ）

A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列

B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星

D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地

例题3．（多选）（2022·高二课时练习）（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（    ）

A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法

B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法

C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种

D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积

同类题型演练

1．（多选）（2022·高二课时练习）下列问题中，属于组合问题的是（    ）

A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛

B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能

C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法

D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法

2．（多选）（2022春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）给出下列几个问题，其中是组合问题的是（    ）

A．求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数

B．求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数

C．3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数

D．求由1，2，3组成无重复数字的两位数的个数

3．（2022·高二课时练习）下列四个问题属于组合问题的是(        )

A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作

B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数

C．从全班同学中选出3名同学出席学校运动会开幕式

D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员

题型2：组合数的计算、化简与证明

典型例题

例题1．（2022秋·江苏·高二校联考阶段练习）不等式的解为（    ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，为正整数，且，则在下列各式中错误的是（    ）

A．； B．； C．； D．

例题3．（2022春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）已知则＝______.

例题4．（2022·高二课时练习）证明：．

例题5．（2022·全国·高三专题练习）（1）解不等式；

（2）求证：①，

②．

同类题型演练

1．（多选）（2022秋·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考期中）下列等式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．（多选）（2022秋·山东青岛·高二青岛大学附属中学校考期中）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2022秋·广东潮州·高二饶平县第二中学校考阶段练习）若，则m=______

4．（2022·全国·高三专题练习）利用组合数公式证明．

5．（2022·全国·高二假期作业）求证：．

题型3：有限制条件的组合问题

典型例题

例题1．（2022春·江苏南通·高三统考阶段练习）已知电影院有三部影片同时上映，一部动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少两人观看，则不同的观影方案共有（    ）种.

A．30 B．40 C．50 D．80

例题2．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（    ）

A．18种 B．36种 C．60种 D．108种

例题3．（2022春·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）从3个女生4个男生中选取3人参加某项活动，男生女生都要有人参加，共有_______种选法．

例题4．（2022春·辽宁沈阳·高二同泽高中校考阶段练习）北京时间2022年11月30日7时33分，神舟十五号航天员乘组在载人飞船与空间站组合体成功实现对接后，从飞船返回舱进入轨道舱，并与神舟十四号航天员乘组“胜利会师”，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有______种

例题5．（2022春·浙江·高二校联考阶段练习）现要安排名医护人员前往四处核酸检测点进行核酸检测，每个检测点安排两名医护人员前往.已知甲､乙两人不能安排在同一处检测点.

(1)求不同的安排方法总数；

(2)记四处检测点分别为，若甲不能前往检测点，乙不能前往检测点，求不同的安排方法数.

同类题型演练

1．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（    ）

A．51 B．42 C．39 D．36

2．（2022·上海金山·统考一模）从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.

3．（2022春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）如图所示，在由小正方形组成的的网格中，从A出发沿实线走到B的最短路线条数是__________．

4．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）将4个不同的小球放入2个不同的袋子中．

(1)若每个袋子中放2个小球，有多少种放法？

(2)若每个袋子中至少放1个小球，有多少种放法？

5．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．

(1)求甲从到达处的走法总数；

(2)求甲乙两人在相遇的方法数．

题型4：排列、组合的综合应用

典型例题

例题1．（2023·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（    ）种.

A．24 B．96 C．174 D．175

例题2．（2023·全国·高三专题练习）将6个不同的乒乓球全部放入两个不同的球袋中，每个球袋中至少放1个，则不同的放法有（    ）

A．82种 B．62种 C．112种 D．84种

例题3．（2023·全国·高三专题练习）有编号分别为1，2，3，4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有________种放法.

例题4．（2023·全国·高三专题练习）有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______．

例题5．（2023·全国·高三专题练习）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．

(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；

(2)全体站成一排，男生不能站一起；

(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾．

(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起，而丙、丁不能站在一起；

同类题型演练

1．（2023·全国·高三专题练习）某中学响应国家双减政策，开设了乓乓球，羽毛球，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（    ）

A．60种 B．78种 C．54种 D．84种

2．（2023·全国·高三专题练习）某研究机构采访了“—带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为高铁，移动支付，网购，共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村．其中使用频率排前4的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”．若将这12个关键词平均分成3组，且各组都包含“新四大发明”关键词．则不同的分法种数为（    ）

A．1680 B．3360 C．6720 D．10080

3．（2023·全国·高三专题练习）5位大学生在暑假期间主动参加A，B，C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（    ）

A．30种 B．90种 C．120种 D．150种

4．（2023·全国·高三专题练习）25某高中举办2022年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”､“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有7名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少2人参加，则报名的不同方案有（    ）

A．420种 B．630种 C．1260种 D．1890种

5．（2023·全国·高三专题练习）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）

(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；

(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；

(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；

(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；

(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.

题型5：与几何图形有关的组合问题

典型例题

例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形的对角线把矩形分成、、、四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（　　）种不同的涂色方法？

A．260 B．180 C．240 D．120

例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有（    ）

A．20条 B．21条 C．22条 D．23条

例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（    ）

A．780 B．840 C．900 D．960

例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．

(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？

(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？

同类题型演练

1．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）

A．72 B．48 C．36 D．24

2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（    ）

A．31条 B．36条 C．210条 D．315条

3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4．

（1）以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？

（2）以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

题型6：分组、分配问题

典型例题

例题1．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（   ）

A．28 种 B．32 种 C．36 种 D．42 种

例题2．（2023·全国·高三专题练习）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（    ）种.

A．24 B．96 C．174 D．175

例题3．（2023·全国·高三专题练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（   ）种.

A． B．

C． D．

例题4．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．

(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；

(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；

(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；

(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．

例题5．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;

（3）平均分成三份,每份2本;

（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;

同类题型演练

1．（2023·全国·高三专题练习）宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的《数书九章》、李治的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（    ）

A．15种 B．60种 C．80种 D．90种

2．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（    ）

A．72 B．108 C．216 D．432

3．（2023·全国·高三专题练习）A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.

4．（2023·高二课时练习）6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？

(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；

(2)分为三份，每份两本；

(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．

5．（2023·全国·高三专题练习）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）

（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；

（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．

三、高考（模拟）题体验

1．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ）

A．12 B．24 C．48 D．84

2．（2022·四川南充·统考一模）在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（    ）

A．60种 B．120种 C．132种 D．168种

3．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加项目，乙不能参加、项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案.

4．（2022·上海宝山·统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）

5．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法

6．（2022·全国·模拟预测）某大学某系招收了4名专升本学生，现将这4名学生分配到该系的2个班，要求每个班至少分配一名学生，则不同的分配方案的种数为______．

7．（2022·上海奉贤·统考模拟预测）某校高二年级共有个班级，现有名交流生要安排到该年级的个班级，且

每班安排名，则不同的安排方案种数为 __．