人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合课堂检测

第六章计数原理

6．2．1排列

1．下列问题属于排列问题的是

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．

A．①④ B．①② C．④ D．①③④

【答案】A

【解析】根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题．

2．已知下列问题：是排列问题的有

A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组[

B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动

C．从a，b，c，d中选出3个字母

D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有

【答案】AD

【解析】由排列的定义知AD是排列问题．

【易错点津】判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征：①取出的元素无重复，②取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键．

3．A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为

A．3 B．4 C．6 D．12

【答案】C

【解析】列举如下：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A．

4．下列问题是排列问题的为________．

①选2个小组分别去植树和种菜；

②选2个小组分别去种菜；

③某班40名同学在假期互发短信；

④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除；

⑤10个车站，站与站间的车票．

【答案】①③④⑤

【解析】①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；

②不存在顺序问题，不是排列问题；

③存在顺序问题，是排列问题；

④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；

⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．

5．从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列有________个．

【答案】12

【解析】画出树形图如图所示：

因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dC．

6．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有________种

【答案】9

【解析】法一：设四张贺卡分别为A，B，C，D．由题意知，某人（不妨设为A卡的供卡人）取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行．

用树状图表示，如图．

共有9种不同的分配方式．

法二：让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第1步，A先拿，有3种不同的方法；第2步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第3步，剩下的两个人都各有1种取法．由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1＝9种不同的分配方式．

7．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是________．

【答案】18

【解析】由于lga－lgb＝lg（a>0，b>0），从1，3，5，7，9中任取两个作为有种，又与相同，与相同，∴lga－lgb的不同值的个数有－2＝20－2＝18．

8．判断下列问题是否为排列问题

（1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？

（2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程

（3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？

【解析】（1）第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

（2）第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线中，不管a>b还是a<b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．

（3）确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．

9．写出下列问题的所有排列：

（1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？

（2）A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？

【解析】（1）列出每一个起点和终点情况，如图所示．

故符合题意的机票种类有：

北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．

（2）因为A不排第一，排第一位的情况有3类（可从B、C、D中任选一人排），而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．

所以符合题意的所有排列是：

BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．

10．【题型三】（2020·四川泸县五中高二期末）甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？

【解析】由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙．

若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，

共5种．

同样甲第一次发球给丙，也有5种情况．

由分类加法计数原理，共有5＋5＝10（种）不同传球方法．