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人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀练习题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀练习题，文件包含人教A版数学高二选择性必修第三册623组合分层作业原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第三册623组合分层作业解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
【夯实基础】
题型1 组合概念的理解
1.下列问题中不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【答案】D
【分析】根据组合的性质逐一判断即可.
【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；
因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；
因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；
因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，
故选：D
2.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用组合的定义直接列式作答.
【详解】依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题，
所以组成该评审委员会的不同方式共有种.
故选：B
3.数字1，2，3，4任意组成没有重复数字的四位数，则它为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先算出是偶数的结果，再算出没有重复数字的四位数的结果，最后用古典概型的公式即可算出答案
【详解】当末位可以是有两种选法，前面三位可以从余下的个数字中选个，共有
种结果，
数字任意组合成没有重复数字的四位数共有种结果 ,
它为偶数的概率是.
故选：A
4.下列问题中，组合问题的个数是（ ）
①从全班50人中选出5人组成班委会；
②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据组合的定义逐一分析即可得出答案.
【详解】解：对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题.
所以组合问题的个数是2个.
故选：B.
5.下列问题是排列问题的是（ ）
A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B．从7本不同的书中取出5本给某个同学
C．10个人相互发一微信，共发几次微信
D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话
【答案】AC
【分析】根据排列、组合的定义逐项判断.
【详解】对于A，学生与书都不相同，故与顺序有关，是排列问题，A正确；
对于B，取出5本书后，即确定了取法，与顺序无关，故是组合问题，故B错误；
对于C，因为是相互发一微信，因此与顺序有关，故是排列问题，C正确；
对于D，因为是互相通一次电话，与顺序无关，故是组合问题，D错误.
故选：AC.
题型2组合数的计算
1.下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72
【答案】ABCD
【分析】分别计算各选项，即可判断正误.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有种，故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查排列组合知识的应用，属于基础题.
2.下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72
【答案】ABCD
【分析】分别计算各选项，即可判断正误.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有种，故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查排列组合知识的应用，属于基础题.
3.下列等式中，成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】根据排列数、组合数的计算公式，以及其性质，即可判断选择.
【详解】，A错；
根据组合数性质知正确；
，D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属综合基础题.
4.已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.
【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；
由排列数的定义可知，B选项正确；
由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.
【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.
5.若，则的值为（ ）
A．60B．70C．120D．140
【答案】D
【分析】先由可求出n，再代入式子即可求出.
【详解】，解得或（舍去），
.
故选：D.
【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题.
题型3 简单的组合问题
1.数字1，2，3，4任意组成没有重复数字的四位数，则它为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先算出是偶数的结果，再算出没有重复数字的四位数的结果，最后用古典概型的公式即可算出答案
【详解】当末位可以是有两种选法，前面三位可以从余下的个数字中选个，共有
种结果，
数字任意组合成没有重复数字的四位数共有种结果 ,
它为偶数的概率是.
故选：A
2.小明参加真人比赛，规定每队5人，小明为了赢得比赛，和队友商量对策，准备集中火力先消灭（至少1人击中）对方队长小蓝，消灭小蓝的方法种数为（ ）
A．32B．31C．25D．10
【答案】B
【分析】分1人，2人，3人，4人，5人击中求解即可.
【详解】因为消灭小蓝至少需要1人击中，1人击中有种方法，2人击中有种方法，
3人击中有种方法，4人击中有种方法，5人全击中有种方法，
根据分类加法计数原理，得不同的击中方法有种.
故选：B.
3.现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（ ）
A．15种B．35种C．70种D．125种
【答案】B
【分析】利用隔板法求解.
【详解】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，将剩下的8个名额进行分组，每组至少一人，
利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成组，7个间隔选4个即可，则有种分配方法.
故选：.
4.第届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于年月日开幕，共设个大项．现将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】先将三名志愿者分成两组，两组人数分别为、，然后将这两组人分配给个大项目中的两个，利用分步计数原理可得结果.
【详解】将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，
每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项，
则将甲、乙、丙名志愿者分为两组，两组人数分别为、，
然后将这两组人分配给个大项目中的两个，
因此，不同的分配方法种数为种.
故选：D.
5.若4名学生报名参加数学､物理､计算机､航模兴趣小组，每人限报1项，则恰好航模小组没人报的方式有（ ）
A．18种B．36种C．72种D．144种
【答案】B
【分析】由题知先对学生进行分组，然后在对兴趣小组进行选择即可.
【详解】因为题意要求恰好航模小组没人报，
则将4名学生中的两个“捆绑”分为3组，
则此时有：种情况，
然后选择三个小组有：，
故满足题意的情况数为：，
故选：B.
题型4 双重元素的组合问题
1.在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（ ）
A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种
B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种
C．“其中没有次品”的抽法有56种
D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种
【答案】BD
【分析】根据分类讨论思想、分步计数原理，利用组合法、间接法进行求解.
【详解】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；
抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；
抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．
故选：BD
2.某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20
【答案】AB
【分析】利用组合的概念可判断A，利用分类考虑，物理和化学只选一门、物理和化学都选，可判断B，利用间接法可判断C，若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D．
【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；
对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法，
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；
对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，
只选物理不选历史，有种选法，
选化学，不选物理，有种选法，
物理与化学都选，不选历史，有种选法
故总数为种，故D正确.
故选：AB.
3.学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（ ）种不同的分配方案．
A．18B．20C．28D．34
【答案】D
【分析】首先分类，即本校监考分为1人和2人，在分类的基础上分配或分组.
【详解】根据本校监考人数分为：
本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，
所以总数为：；
本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，
所以总数为：，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；
故选：D.
4.将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据插空法和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有种，
其中2个黄球不相邻的有种，
所以所求事件的概率为.
故选：C
5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出安排人的方案总数，以及甲、乙两人安排在同一个舱内的方案种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，共有种不同的方案，
甲、乙两人安排在同一个舱内共有种不同的方案，
故甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为.
故选：A.
题型5 组合的个数问题
1.某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天．（ ）
A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种
B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种
C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种
D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有种
【答案】AC
【分析】根据排列数和组合数的定义，结合分步乘法计数原理依次求出各安排的方法数即可.
【详解】对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种，A正确；
对于选项B，安排甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲，乙，丙三人中选出一人，有种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有种方法，故不同的安排方法共有种，B错误；
对于选项C，安排甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲，乙视为一个整体，与除甲，乙，丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有种，C正确；
选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有种，完成第二步的方法有种，所以不同的安排方法共有种，D错误；
2.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（ ）
A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
【答案】BC
【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；
对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；
对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确.
故选：BC
3.10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有 种方分法.
【答案】36
【分析】转化条件可得将10个相同小球分成三组，每组至少1个，使用隔板法即可得解.
【详解】依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少1个；
可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可，
由组合公式可得共有种分法.
故答案为：.
【点睛】本题考查了组合的应用及隔板法的应用，属于基础题.
4.甲、乙等五人去、、三个城市交流学习，每个人只能去一个城市，每个城市至少去一人. 甲说“如果我有搭档，那么搭档中必须有乙”，则他们五人去交流学习的不同方式有 种.
【答案】
【分析】对甲是否有搭档进行分类讨论，计算出每种情况下不同的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】如果甲没有搭档，自己一个人去某个市，
那么这五个人去交流学习的不同方法数为；
如果甲有搭档，可能个人同行，则必须是甲和乙，也可能三个人同行，
那么这五个人去交流学习的不同方法数为．
所以总的方法数为．
故答案为：.
5.因疫情原因，杭州2022年第19届亚运会延期于2023年9月23日至10月8日举行.现从4名男大学生和5名女大学生中选出3人参加杭州亚运会志愿者工作，要求至少有男生和女生各1人，则不同的选取方法有 种.
【答案】70
【分析】分男生选1个，女生选2个；男生选2个，女生选1个这两种情况，求出情况种数即可.
【详解】解：因为从4名男大学生和5名女大学生中选出3人，且要求至少有男生和女生各1人，
所以有两种情况：男生选1个，女生选2个；男生选2个，女生选1个，
当男生选1个，女生选2个时，有种；
当男生选2个，女生选1个时，有种；
所以共有种.
故答案为：70
题型6 几何组合计数问题
1.如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）
A．220B．200C．190D．170
【答案】C
【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.
【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个，
故选：C.
2.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共(m＋n＋1)个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，则可作出的三角形的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分三类：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与从OB边上(不包括O)任取一点，第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取一点，然后利用分类加法原理求解
【详解】第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有个；
第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与从OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有个；
第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有个.
由分类加法计数原理知，可作出的三角形的个数为.
故选：C
3.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为120
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164
【答案】BD
【分析】根据题意分析出甲从到达处， 需要走6格，其中向上3格，向右3格，从而可得到从到达处的走法种数为，从而可得出A错误；
若甲从M必须经过到达N处，可分两步，甲从到达，从到达，从而可判断选项B正确；
若甲，乙两人能在处相遇，先计算甲经过的走法种数，再计算乙经过的走法种数，从而可求出甲，乙两人能在处相遇的走法种数；
根据题意可得出只能在，，，处相遇，然后分别计算走法种数即可.
【详解】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误.
对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确.
对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误.
对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.
故选：BD.
4.六氟化硫是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，被广泛用作高压电力设备的绝缘介质，其分子结构呈正八面体（每个面都是正三角形）排布，即硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若从12条F-F键（即12条棱，不含对角线）中任取2条，则这两条棱不同在任何一个平面内（即异面）的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据组合知识和列举法以及古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】如图：
从12条棱中任选2条，共有（种）取法，
其中两条棱异面的有：，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共（种），
所以所求概率．
故选：C．
5.正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A．种B．种C．种D．以上都不对
【答案】A
【分析】作出图形，求出任选个点的选法种数以及四个点共面的选法种数，利用间接法可求得结果.
【详解】如下图所示，在正三棱柱中，、、、、、、、、为相应棱的中点，
从上述个点中任选个点，共有种选法，
其中所选的个点在同一侧面上，共种情况；
若所选的个点不在同一侧面上，且构成平行四边形，如、、、，共种情况；
若所选的个点构成梯形，如、、、，共种情况.
综上所述，正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有种.
故选：A.
题型7 分组分配问题
1.某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有（ ）
A．18种B．30种C．54种D．66种
【答案】C
【分析】根据题意分配方案为122，212，221，再根据甲医院要求至少有一名女医生分别求解，然后求和.
【详解】解：由题意可知，向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型，分别为122，212，221，
因为甲医院要求至少有一名女医生，第一种方案共有种，
第二种方案分两种情况，分别是：甲有两名女医生、甲有一名女医生，共有种，
同理，第三种方案有21种，
所以共有54种，
故选：C.
2.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学A，B，C，D，E，F到甲､乙､丙三个不同的社团开展活动，要求每个社团至少安排1人，且甲社团安排3人，A，B两人安排在同一个社团，C，D两人不安排在同一社团，则不同的安排方案是（ ）
A．56B．28C．24D．12
【答案】C
【分析】把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分2种情况进行求解，每种情况下考虑A，B安排在同一组，求出答案.
【详解】把6人先分成三组，再分配给三个场馆.
若A，B为2人组，3人组C，D两人不安排在同一社团有种分组方法，1人组有种分组方法，有种分组方法；
若A，B在3人组，C，D两人不安排在同一社团2人组有种分组方法，1人组有种分组方法，有种分组方法.
再分配给三个场馆，甲社团安排3人，乙、丙2个不同的社团可以交换，共有种方法；
故选：C.
3.某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（ ）
A．540种B．300种C．210种D．150种
【答案】D
【分析】先将本数分成3组，有和两种分组方案，然后再分配到每天即可.
【详解】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案，
当按分组时，有种方法，
当按按分组时，有种方法，
所以不同的选择方式有种.
故选：D.
4.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）
A．19种B．20种C．30种D．60种
【答案】A
【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.
【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.
故选：A
5.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（ ）
A．1560种B．2160种C．2640种D．4140种
【答案】A
【分析】先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以组数（平均的组数）的全排列.
【详解】依题意分两种情况讨论：
①将种算法分成、、、四组，再分配给人，则有种；
②将种算法分成、、、四组，再分配给人，则有种；
综上一共有种不同的分配方案.
故选：A
【能力提升】
单选题
1.7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有（ ）种.
A．56种B．84种C．112种D．28种
【答案】A
【分析】就两个笔筒分别放置2，5；3，4分类讨论后可求不同放法的种数.
【详解】如果两个笔筒放置笔的数目为2,5，则共有种放法；
如果两个笔筒放置笔的数目为3,4，则共有种放法；
故共有种，
故选：A.
2.扶贫结对中，5名爸爸各带1名孩子去农村参加帮扶和体验生活(5个孩子中3男2女).村委会需要安排1名爸爸带3个孩子去完成某项任务，要求男孩小亮和爸爸有且仅有1人前往，男孩小明和爸爸始终在一起，且2个女孩中至少要选1个女孩，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．12B．24C．36D．48
【答案】A
【分析】根据题意，分当小明的爸爸去时、当小亮的爸爸去时、当小亮爸爸和小明爸爸都不去时三种情况讨论求解即可.
【详解】分三类情况讨论,
当小明的爸爸去时,此时小明和小亮两个都去,再选一名女孩即可,有种安排方案;
当小亮的爸爸去时,此时小亮和小明都不去,有种安排方案;
当小亮爸爸和小明爸爸都不去时,此时小亮去,小明不去,有种安排方案.
故共有种安排方案.
故选：A.
【点睛】本题考查组合的应用，解题的关键在于根据特殊元素先安排的方针分当小明的爸爸去时、当小亮的爸爸去时、当小亮爸爸和小明爸爸都不去时三种情况求解，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.
3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】AD
【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项
【详解】对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，A正确；
对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有种安排方法，C错误；
对于D，①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种安排方法，D正确．
故选：AD．
4.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（ ）
A．96B．144C．240D．360
【答案】C
【分析】根据分组方法，结合组合数、排列数等知识求得正确答案.
【详解】先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，
另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，
所以安排方法种数为．
故选：C
5.2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
【答案】A
【分析】利用分步乘法计数原理及组合公式求解即可.
【详解】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；
第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，
故选：.
6.中国空间站（China Space Statin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种B．72种C．90种D．360种
【答案】A
【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.
【详解】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
7.根据上级扶贫工作要求，某单位计划从5名男干部和6名女干部中选出1名男干部和2名女干部组成一个扶贫小组，派到某村开展“精准扶贫”工作，那么不同的选法有（ ）
A．60种B．70种C．75种D．150种
【答案】C
【分析】根据题意，先在5名男干部中任选1人，再从6名女干部中选出2人，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，先在5名男干部中任选1人，有种选法，
再从6名女干部中选出2人，有种选法，
则有种不同的选法；
故选：．
【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8.小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种B．32种C．34种D．40种
【答案】C
【分析】分五种情况：8，7，6，5，4步走完楼梯，每一种情况的方法数都求出来再相加即可．
【详解】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；
②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种；
③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种；
④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种；
⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，
共计34种．
故选：C．
多选题
9.2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（ ）
A．甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法
B．6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法
C．男班长必须到甲地，则共有180种分配方法
D．班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法
【答案】ACD
【分析】根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，
个男生中选个到甲地，方法有种；在剩下的个男生中选个到乙地，
方法有种；最后个男生放在丙地；再安排女生，方法有种.所以共有种分配方法，A选项正确.
B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有种分配方法，B选项错误.
C选项，男班长必须到甲地，方法数有:
种分配方法，C选项正确.
D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有:
种分配方法，D选项正确.
故选：ACD
10.在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（ ）
A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种
B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种
C．“其中没有次品”的抽法有56种
D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种
【答案】BD
【分析】根据分类讨论思想、分步计数原理，利用组合法、间接法进行求解.
【详解】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；
抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；
抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．
故选：BD
11.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．
A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种
【答案】BCD
【分析】根据相关的计数原理逐项分析.
【详解】对于A，将甲乙捆绑有 种方法，若戊在丙丁之间有 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有 种方法；
若丙丁相邻，戊在左右两边有 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有 种排法，
所以总的排法有 ，故A错误；
对于B，若甲在最左端，有 种排法，若乙在最左端，先排甲有 种排法，
再排剩下的3人有 ，所以总共有 种排法，正确；
对于C，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有 种，再插戊有 种，总共有 种，正确；
对于D，先分组，将甲乙丙丁分成3组有 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有 种方法，共有 种方法，正确；
故选：BCD.
12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】AD
【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项
【详解】对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，A正确；
对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有种安排方法，C错误；
对于D，①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种安排方法，D正确．
故选：AD．
填空题
13.将3位教师分到6个班级任教，每位教师教2个班，共有 种不同的分法．
【答案】90
【分析】先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，从而可求得结果.
【详解】由题意可得先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，
所以共有种不同的分法，
故答案为：90
14.为迎接2022年北京冬奥会，将名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰个项目进行培训，每名志愿者分配到个项目，每个项目至少分配到名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】14.
【分析】先将4名志愿者分成2组，分别是每组2个人或者一组3人，一组1人，然后分别求出分配方案，进而可求出结果.
【详解】先将4名志愿者分成2组，分别是每组2个人或者一组3人，一组1人，
若每组2个人，分别分配给2个项目，则有种分法；
若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有种分法；
因此不同的分配方案共种，
故答案为：14.
15.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为 .
【答案】1560
【分析】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案
【详解】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
（1）若4个组的人数按3,1,1,1分配，
则不同的分配方案有 (种).
（2）若4个组的人数为2,2,1,1，
则不同的分配方案有 (种).
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有 (种).
故答案为：1560
16.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有支救援队前往，，等个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是 .
【答案】
【分析】由题意可知，若甲去点，则剩余4个救援队，可只去两个点，也可分为3组去，，，个点，分别求出安排种法，相加即可得出甲去点的安排方法，同理，即可得出甲去点的安排方法，即可得出答案.
【详解】若甲去点，则剩余4个救援队，可只去，两个点，也可分为3组去，，，个点.
当剩余4个救援队只去，两个点时，救援队个数分配为，或，，
此时的分配方法有；
当剩余4个救援队分为3组去，，，个点时，先从4个救援队中选出2个救援队，即可分为3组，
然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有，
综上可得，甲去点，不同的安排方法数是.
同理，甲去点，不同的安排方法数也是，
所以不同的安排方法数是.
故答案为：.
解答题
17.从4名男生和3名女生中各选2人，
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）
【答案】(1)18(2)15(3)84
【分析】（1）根据排列组合求解即可．
（2）按甲乙是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
（3）先求男生甲和女生乙同时被选中的选法，再根据间接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法，再根据分步乘法计数原理求解即可．
【详解】（1）根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，
男生有种选法，女生有种选法，
故选法有种；
（2）根据题意，分3种情况讨论：
男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种．
男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种，
男生甲和女生乙被选中，有种，
则共有种选法.
（3）男生甲和女生乙同时被选中的选法为种，
4人参加百米接力赛的总安排方法为种，
甲跑第一棒的安排方法为种，
乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．
18.现有1，3，7，13这4个数.
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？
【答案】（1）6；（2）10
【分析】（1）任取2个相加是组合问题，列举即可得结果；
（2）任取2个相减是排列问题，注意重复数字，列举即可求得结果．
【详解】（1）从这4个数中任取2个相加有：
，共有6个不相等的和；
（2）从这4个数中任取2个相减有：
，可以得到有10个不相等的差．
19.现有男选手3名，女选手5名，其中男女队长各1名.选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）
(1)至少有1名男选手；
(2)既要有队长，又要有男选手.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）考虑“至少有1名男选手”的对立事件进行求解；
（2）按是否选入男队长分2种情况讨论，再由加法原理求解即可.
【详解】（1）由题意可知，“至少有1名男选手” 的对立事件为“全为女选手”，
从8人中任选4人，有种选法，其中全部是女选手有种选法，
所以“至少有1名男选手”的选法有种；
（2）①当选男队长时，其他人选法任意，有种，
②当不选男队长，必选女队长时，有种，其中不含男选手的选法有种，
则不选男队长的选法有种，
所以既要有队长，又要有男选手的选法有种.
20.（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；
（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果；
（4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果.
【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
21.把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
【答案】(1)10(2)40(3)30
【分析】（1）先把6个相同的小球排成一行，在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，结合组合数的计算公式，即可求解.
（2）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，即可求解.
（3）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，结合组合数的计算公式，即可求解.
(1)解：先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有（种）方法．
(2)解：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，故共有（种）方法．
(3)解：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法，
如，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如，有种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如，有种插法．故共有（种）方法．
22.袋中装有个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各个，现从中随机地连取次球，每次取个，记事件为“个球都是红球”，事件为“个球颜色不全相同”．
(1)若每次取后不放回，分别求出事件和事件的概率(用数字作答)；
(2)若每次取后放回，分别求出事件和事件的概率(用数字作答)．
【答案】(1) ，；(2)，.
【分析】利用古典概型公式和对立事件分别求出概率即可.
【详解】（1） ，
；
（2），
.
【夯实基础】
题型1 组合概念的理解
1.下列问题中不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【答案】D
【分析】根据组合的性质逐一判断即可.
【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；
因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；
因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；
因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，
故选：D
2.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从6位专家中选出2位组成评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用组合的定义直接列式作答.
【详解】依题意，从6位专家中选出2位组成评审委员会是组合问题，
所以组成该评审委员会的不同方式共有种.
故选：B
3.数字1，2，3，4任意组成没有重复数字的四位数，则它为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先算出是偶数的结果，再算出没有重复数字的四位数的结果，最后用古典概型的公式即可算出答案
【详解】当末位可以是有两种选法，前面三位可以从余下的个数字中选个，共有
种结果，
数字任意组合成没有重复数字的四位数共有种结果 ,
它为偶数的概率是.
故选：A
4.下列问题中，组合问题的个数是（ ）
①从全班50人中选出5人组成班委会；
②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积；
④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据组合的定义逐一分析即可得出答案.
【详解】解：对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题.
所以组合问题的个数是2个.
故选：B.
5.下列问题是排列问题的是（ ）
A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B．从7本不同的书中取出5本给某个同学
C．10个人相互发一微信，共发几次微信
D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话
【答案】AC
【分析】根据排列、组合的定义逐项判断.
【详解】对于A，学生与书都不相同，故与顺序有关，是排列问题，A正确；
对于B，取出5本书后，即确定了取法，与顺序无关，故是组合问题，故B错误；
对于C，因为是相互发一微信，因此与顺序有关，故是排列问题，C正确；
对于D，因为是互相通一次电话，与顺序无关，故是组合问题，D错误.
故选：AC.
题型2组合数的计算
1.下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72
【答案】ABCD
【分析】分别计算各选项，即可判断正误.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有种，故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查排列组合知识的应用，属于基础题.
2.下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72
【答案】ABCD
【分析】分别计算各选项，即可判断正误.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有种，故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查排列组合知识的应用，属于基础题.
3.下列等式中，成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】根据排列数、组合数的计算公式，以及其性质，即可判断选择.
【详解】，A错；
根据组合数性质知正确；
，D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属综合基础题.
4.已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.
【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；
由排列数的定义可知，B选项正确；
由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.
【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.
5.若，则的值为（ ）
A．60B．70C．120D．140
【答案】D
【分析】先由可求出n，再代入式子即可求出.
【详解】，解得或（舍去），
.
故选：D.
【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属于基础题.
题型3 简单的组合问题
1.数字1，2，3，4任意组成没有重复数字的四位数，则它为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先算出是偶数的结果，再算出没有重复数字的四位数的结果，最后用古典概型的公式即可算出答案
【详解】当末位可以是有两种选法，前面三位可以从余下的个数字中选个，共有
种结果，
数字任意组合成没有重复数字的四位数共有种结果 ,
它为偶数的概率是.
故选：A
2.小明参加真人比赛，规定每队5人，小明为了赢得比赛，和队友商量对策，准备集中火力先消灭（至少1人击中）对方队长小蓝，消灭小蓝的方法种数为（ ）
A．32B．31C．25D．10
【答案】B
【分析】分1人，2人，3人，4人，5人击中求解即可.
【详解】因为消灭小蓝至少需要1人击中，1人击中有种方法，2人击中有种方法，
3人击中有种方法，4人击中有种方法，5人全击中有种方法，
根据分类加法计数原理，得不同的击中方法有种.
故选：B.
3.现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（ ）
A．15种B．35种C．70种D．125种
【答案】B
【分析】利用隔板法求解.
【详解】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，将剩下的8个名额进行分组，每组至少一人，
利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成组，7个间隔选4个即可，则有种分配方法.
故选：.
4.第届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于年月日开幕，共设个大项．现将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】先将三名志愿者分成两组，两组人数分别为、，然后将这两组人分配给个大项目中的两个，利用分步计数原理可得结果.
【详解】将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，
每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项，
则将甲、乙、丙名志愿者分为两组，两组人数分别为、，
然后将这两组人分配给个大项目中的两个，
因此，不同的分配方法种数为种.
故选：D.
5.若4名学生报名参加数学､物理､计算机､航模兴趣小组，每人限报1项，则恰好航模小组没人报的方式有（ ）
A．18种B．36种C．72种D．144种
【答案】B
【分析】由题知先对学生进行分组，然后在对兴趣小组进行选择即可.
【详解】因为题意要求恰好航模小组没人报，
则将4名学生中的两个“捆绑”分为3组，
则此时有：种情况，
然后选择三个小组有：，
故满足题意的情况数为：，
故选：B.
题型4 双重元素的组合问题
1.在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（ ）
A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种
B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种
C．“其中没有次品”的抽法有56种
D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种
【答案】BD
【分析】根据分类讨论思想、分步计数原理，利用组合法、间接法进行求解.
【详解】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；
抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；
抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．
故选：BD
2.某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20
【答案】AB
【分析】利用组合的概念可判断A，利用分类考虑，物理和化学只选一门、物理和化学都选，可判断B，利用间接法可判断C，若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D．
【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；
对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法，
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；
对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，
只选物理不选历史，有种选法，
选化学，不选物理，有种选法，
物理与化学都选，不选历史，有种选法
故总数为种，故D正确.
故选：AB.
3.学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（ ）种不同的分配方案．
A．18B．20C．28D．34
【答案】D
【分析】首先分类，即本校监考分为1人和2人，在分类的基础上分配或分组.
【详解】根据本校监考人数分为：
本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，
所以总数为：；
本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，
所以总数为：，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；
故选：D.
4.将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据插空法和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有种，
其中2个黄球不相邻的有种，
所以所求事件的概率为.
故选：C
5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人，则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出安排人的方案总数，以及甲、乙两人安排在同一个舱内的方案种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，共有种不同的方案，
甲、乙两人安排在同一个舱内共有种不同的方案，
故甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为.
故选：A.
题型5 组合的个数问题
1.某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天．（ ）
A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种
B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种
C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种
D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有种
【答案】AC
【分析】根据排列数和组合数的定义，结合分步乘法计数原理依次求出各安排的方法数即可.
【详解】对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种，A正确；
对于选项B，安排甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲，乙，丙三人中选出一人，有种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有种方法，故不同的安排方法共有种，B错误；
对于选项C，安排甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲，乙视为一个整体，与除甲，乙，丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有种，C正确；
选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有种，完成第二步的方法有种，所以不同的安排方法共有种，D错误；
2.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（ ）
A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
【答案】BC
【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；
对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；
对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确.
故选：BC
3.10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有 种方分法.
【答案】36
【分析】转化条件可得将10个相同小球分成三组，每组至少1个，使用隔板法即可得解.
【详解】依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少1个；
可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可，
由组合公式可得共有种分法.
故答案为：.
【点睛】本题考查了组合的应用及隔板法的应用，属于基础题.
4.甲、乙等五人去、、三个城市交流学习，每个人只能去一个城市，每个城市至少去一人. 甲说“如果我有搭档，那么搭档中必须有乙”，则他们五人去交流学习的不同方式有 种.
【答案】
【分析】对甲是否有搭档进行分类讨论，计算出每种情况下不同的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】如果甲没有搭档，自己一个人去某个市，
那么这五个人去交流学习的不同方法数为；
如果甲有搭档，可能个人同行，则必须是甲和乙，也可能三个人同行，
那么这五个人去交流学习的不同方法数为．
所以总的方法数为．
故答案为：.
5.因疫情原因，杭州2022年第19届亚运会延期于2023年9月23日至10月8日举行.现从4名男大学生和5名女大学生中选出3人参加杭州亚运会志愿者工作，要求至少有男生和女生各1人，则不同的选取方法有 种.
【答案】70
【分析】分男生选1个，女生选2个；男生选2个，女生选1个这两种情况，求出情况种数即可.
【详解】解：因为从4名男大学生和5名女大学生中选出3人，且要求至少有男生和女生各1人，
所以有两种情况：男生选1个，女生选2个；男生选2个，女生选1个，
当男生选1个，女生选2个时，有种；
当男生选2个，女生选1个时，有种；
所以共有种.
故答案为：70
题型6 几何组合计数问题
1.如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）
A．220B．200C．190D．170
【答案】C
【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.
【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个，
故选：C.
2.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共(m＋n＋1)个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，则可作出的三角形的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分三类：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与从OB边上(不包括O)任取一点，第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取一点，然后利用分类加法原理求解
【详解】第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有个；
第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与从OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有个；
第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有个.
由分类加法计数原理知，可作出的三角形的个数为.
故选：C
3.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为120
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164
【答案】BD
【分析】根据题意分析出甲从到达处， 需要走6格，其中向上3格，向右3格，从而可得到从到达处的走法种数为，从而可得出A错误；
若甲从M必须经过到达N处，可分两步，甲从到达，从到达，从而可判断选项B正确；
若甲，乙两人能在处相遇，先计算甲经过的走法种数，再计算乙经过的走法种数，从而可求出甲，乙两人能在处相遇的走法种数；
根据题意可得出只能在，，，处相遇，然后分别计算走法种数即可.
【详解】对于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以从到达处的走法种数为，故A错误.
对于B，甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，所以甲从必须经过到达处的走法种数为，故B正确.
对于，甲经过的走法种数为，乙经过的走法种数为，所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误.
对于D，甲，乙两人沿着最短路径行走，只能在，，，处相遇，若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，两人在处相遇的走法有1种；若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，则两人在处相遇的走法有1种.所以甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.
故选：BD.
4.六氟化硫是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，被广泛用作高压电力设备的绝缘介质，其分子结构呈正八面体（每个面都是正三角形）排布，即硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若从12条F-F键（即12条棱，不含对角线）中任取2条，则这两条棱不同在任何一个平面内（即异面）的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据组合知识和列举法以及古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】如图：
从12条棱中任选2条，共有（种）取法，
其中两条棱异面的有：，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共（种），
所以所求概率．
故选：C．
5.正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A．种B．种C．种D．以上都不对
【答案】A
【分析】作出图形，求出任选个点的选法种数以及四个点共面的选法种数，利用间接法可求得结果.
【详解】如下图所示，在正三棱柱中，、、、、、、、、为相应棱的中点，
从上述个点中任选个点，共有种选法，
其中所选的个点在同一侧面上，共种情况；
若所选的个点不在同一侧面上，且构成平行四边形，如、、、，共种情况；
若所选的个点构成梯形，如、、、，共种情况.
综上所述，正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有种.
故选：A.
题型7 分组分配问题
1.某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有（ ）
A．18种B．30种C．54种D．66种
【答案】C
【分析】根据题意分配方案为122，212，221，再根据甲医院要求至少有一名女医生分别求解，然后求和.
【详解】解：由题意可知，向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型，分别为122，212，221，
因为甲医院要求至少有一名女医生，第一种方案共有种，
第二种方案分两种情况，分别是：甲有两名女医生、甲有一名女医生，共有种，
同理，第三种方案有21种，
所以共有54种，
故选：C.
2.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学A，B，C，D，E，F到甲､乙､丙三个不同的社团开展活动，要求每个社团至少安排1人，且甲社团安排3人，A，B两人安排在同一个社团，C，D两人不安排在同一社团，则不同的安排方案是（ ）
A．56B．28C．24D．12
【答案】C
【分析】把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分2种情况进行求解，每种情况下考虑A，B安排在同一组，求出答案.
【详解】把6人先分成三组，再分配给三个场馆.
若A，B为2人组，3人组C，D两人不安排在同一社团有种分组方法，1人组有种分组方法，有种分组方法；
若A，B在3人组，C，D两人不安排在同一社团2人组有种分组方法，1人组有种分组方法，有种分组方法.
再分配给三个场馆，甲社团安排3人，乙、丙2个不同的社团可以交换，共有种方法；
故选：C.
3.某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（ ）
A．540种B．300种C．210种D．150种
【答案】D
【分析】先将本数分成3组，有和两种分组方案，然后再分配到每天即可.
【详解】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案，
当按分组时，有种方法，
当按按分组时，有种方法，
所以不同的选择方式有种.
故选：D.
4.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（ ）
A．19种B．20种C．30种D．60种
【答案】A
【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.
【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.
故选：A
5.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（ ）
A．1560种B．2160种C．2640种D．4140种
【答案】A
【分析】先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以组数（平均的组数）的全排列.
【详解】依题意分两种情况讨论：
①将种算法分成、、、四组，再分配给人，则有种；
②将种算法分成、、、四组，再分配给人，则有种；
综上一共有种不同的分配方案.
故选：A
【能力提升】
单选题
1.7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有（ ）种.
A．56种B．84种C．112种D．28种
【答案】A
【分析】就两个笔筒分别放置2，5；3，4分类讨论后可求不同放法的种数.
【详解】如果两个笔筒放置笔的数目为2,5，则共有种放法；
如果两个笔筒放置笔的数目为3,4，则共有种放法；
故共有种，
故选：A.
2.扶贫结对中，5名爸爸各带1名孩子去农村参加帮扶和体验生活(5个孩子中3男2女).村委会需要安排1名爸爸带3个孩子去完成某项任务，要求男孩小亮和爸爸有且仅有1人前往，男孩小明和爸爸始终在一起，且2个女孩中至少要选1个女孩，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．12B．24C．36D．48
【答案】A
【分析】根据题意，分当小明的爸爸去时、当小亮的爸爸去时、当小亮爸爸和小明爸爸都不去时三种情况讨论求解即可.
【详解】分三类情况讨论,
当小明的爸爸去时,此时小明和小亮两个都去,再选一名女孩即可,有种安排方案;
当小亮的爸爸去时,此时小亮和小明都不去,有种安排方案;
当小亮爸爸和小明爸爸都不去时,此时小亮去,小明不去,有种安排方案.
故共有种安排方案.
故选：A.
【点睛】本题考查组合的应用，解题的关键在于根据特殊元素先安排的方针分当小明的爸爸去时、当小亮的爸爸去时、当小亮爸爸和小明爸爸都不去时三种情况求解，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.
3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】AD
【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项
【详解】对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，A正确；
对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有种安排方法，C错误；
对于D，①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种安排方法，D正确．
故选：AD．
4.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为（ ）
A．96B．144C．240D．360
【答案】C
【分析】根据分组方法，结合组合数、排列数等知识求得正确答案.
【详解】先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，
另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，
所以安排方法种数为．
故选：C
5.2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36B．24C．18D．42
【答案】A
【分析】利用分步乘法计数原理及组合公式求解即可.
【详解】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；
第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；
第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；
依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，
故选：.
6.中国空间站（China Space Statin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种B．72种C．90种D．360种
【答案】A
【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.
【详解】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
7.根据上级扶贫工作要求，某单位计划从5名男干部和6名女干部中选出1名男干部和2名女干部组成一个扶贫小组，派到某村开展“精准扶贫”工作，那么不同的选法有（ ）
A．60种B．70种C．75种D．150种
【答案】C
【分析】根据题意，先在5名男干部中任选1人，再从6名女干部中选出2人，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，先在5名男干部中任选1人，有种选法，
再从6名女干部中选出2人，有种选法，
则有种不同的选法；
故选：．
【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
8.小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种B．32种C．34种D．40种
【答案】C
【分析】分五种情况：8，7，6，5，4步走完楼梯，每一种情况的方法数都求出来再相加即可．
【详解】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；
②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种；
③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种；
④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种；
⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，
共计34种．
故选：C．
多选题
9.2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（ ）
A．甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法
B．6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法
C．男班长必须到甲地，则共有180种分配方法
D．班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法
【答案】ACD
【分析】根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，
个男生中选个到甲地，方法有种；在剩下的个男生中选个到乙地，
方法有种；最后个男生放在丙地；再安排女生，方法有种.所以共有种分配方法，A选项正确.
B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有种分配方法，B选项错误.
C选项，男班长必须到甲地，方法数有:
种分配方法，C选项正确.
D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有:
种分配方法，D选项正确.
故选：ACD
10.在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有（ ）
A．“其中恰有2件次品”的抽法有8种
B．“其中恰有1件次品”的抽法有28种
C．“其中没有次品”的抽法有56种
D．“其中至少有1件次品”的抽法有56种
【答案】BD
【分析】根据分类讨论思想、分步计数原理，利用组合法、间接法进行求解.
【详解】抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有种，A选项正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有种，B选项错误；
抽到的3件产品中没有次品的抽法有种，C选项正确；
抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有，种，D选项错误．
故选：BD
11.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．
A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种
【答案】BCD
【分析】根据相关的计数原理逐项分析.
【详解】对于A，将甲乙捆绑有 种方法，若戊在丙丁之间有 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有 种方法；
若丙丁相邻，戊在左右两边有 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有 种排法，
所以总的排法有 ，故A错误；
对于B，若甲在最左端，有 种排法，若乙在最左端，先排甲有 种排法，
再排剩下的3人有 ，所以总共有 种排法，正确；
对于C，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有 种，再插戊有 种，总共有 种，正确；
对于D，先分组，将甲乙丙丁分成3组有 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有 种方法，共有 种方法，正确；
故选：BCD.
12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】AD
【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项
【详解】对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，A正确；
对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，B错误；
对于C，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，
则有种安排方法，C错误；
对于D，①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有种安排方法，D正确．
故选：AD．
填空题
13.将3位教师分到6个班级任教，每位教师教2个班，共有 种不同的分法．
【答案】90
【分析】先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，从而可求得结果.
【详解】由题意可得先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，
所以共有种不同的分法，
故答案为：90
14.为迎接2022年北京冬奥会，将名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰个项目进行培训，每名志愿者分配到个项目，每个项目至少分配到名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】14.
【分析】先将4名志愿者分成2组，分别是每组2个人或者一组3人，一组1人，然后分别求出分配方案，进而可求出结果.
【详解】先将4名志愿者分成2组，分别是每组2个人或者一组3人，一组1人，
若每组2个人，分别分配给2个项目，则有种分法；
若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有种分法；
因此不同的分配方案共种，
故答案为：14.
15.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为 .
【答案】1560
【分析】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案
【详解】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
（1）若4个组的人数按3,1,1,1分配，
则不同的分配方案有 (种).
（2）若4个组的人数为2,2,1,1，
则不同的分配方案有 (种).
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有 (种).
故答案为：1560
16.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有支救援队前往，，等个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是 .
【答案】
【分析】由题意可知，若甲去点，则剩余4个救援队，可只去两个点，也可分为3组去，，，个点，分别求出安排种法，相加即可得出甲去点的安排方法，同理，即可得出甲去点的安排方法，即可得出答案.
【详解】若甲去点，则剩余4个救援队，可只去，两个点，也可分为3组去，，，个点.
当剩余4个救援队只去，两个点时，救援队个数分配为，或，，
此时的分配方法有；
当剩余4个救援队分为3组去，，，个点时，先从4个救援队中选出2个救援队，即可分为3组，
然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有，
综上可得，甲去点，不同的安排方法数是.
同理，甲去点，不同的安排方法数也是，
所以不同的安排方法数是.
故答案为：.
解答题
17.从4名男生和3名女生中各选2人，
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）
【答案】(1)18(2)15(3)84
【分析】（1）根据排列组合求解即可．
（2）按甲乙是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
（3）先求男生甲和女生乙同时被选中的选法，再根据间接法求出甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法，再根据分步乘法计数原理求解即可．
【详解】（1）根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，
男生有种选法，女生有种选法，
故选法有种；
（2）根据题意，分3种情况讨论：
男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种．
男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种，
男生甲和女生乙被选中，有种，
则共有种选法.
（3）男生甲和女生乙同时被选中的选法为种，
4人参加百米接力赛的总安排方法为种，
甲跑第一棒的安排方法为种，
乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．
18.现有1，3，7，13这4个数.
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和？
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差？
【答案】（1）6；（2）10
【分析】（1）任取2个相加是组合问题，列举即可得结果；
（2）任取2个相减是排列问题，注意重复数字，列举即可求得结果．
【详解】（1）从这4个数中任取2个相加有：
，共有6个不相等的和；
（2）从这4个数中任取2个相减有：
，可以得到有10个不相等的差．
19.现有男选手3名，女选手5名，其中男女队长各1名.选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）
(1)至少有1名男选手；
(2)既要有队长，又要有男选手.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）考虑“至少有1名男选手”的对立事件进行求解；
（2）按是否选入男队长分2种情况讨论，再由加法原理求解即可.
【详解】（1）由题意可知，“至少有1名男选手” 的对立事件为“全为女选手”，
从8人中任选4人，有种选法，其中全部是女选手有种选法，
所以“至少有1名男选手”的选法有种；
（2）①当选男队长时，其他人选法任意，有种，
②当不选男队长，必选女队长时，有种，其中不含男选手的选法有种，
则不选男队长的选法有种，
所以既要有队长，又要有男选手的选法有种.
20.（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；
（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果；
（4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果.
【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
21.把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
【答案】(1)10(2)40(3)30
【分析】（1）先把6个相同的小球排成一行，在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，结合组合数的计算公式，即可求解.
（2）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，即可求解.
（3）先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒，结合组合数的计算公式，即可求解.
(1)解：先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，共有（种）方法．
(2)解：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，故共有（种）方法．
(3)解：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有种插法，
如，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如，有种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如，有种插法．故共有（种）方法．
22.袋中装有个形状大小相同但颜色不同的小球，其中红色、蓝色、黄色球各个，现从中随机地连取次球，每次取个，记事件为“个球都是红球”，事件为“个球颜色不全相同”．
(1)若每次取后不放回，分别求出事件和事件的概率(用数字作答)；
(2)若每次取后放回，分别求出事件和事件的概率(用数字作答)．
【答案】(1) ，；(2)，.
【分析】利用古典概型公式和对立事件分别求出概率即可.
【详解】（1） ，
；
（2），
.
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