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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合同步测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合同步测试题，文件包含人教版高中数学选择性必修三精讲精练622组合及组合数原卷版docx、人教版高中数学选择性必修三精讲精练622组合及组合数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
考法一 组合的判断
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作
B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长
【答案】C
【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，
将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，
选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，
与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，
与顺序无关，这个问题为组合问题；
对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，
将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023春·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【答案】D
【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；
因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；
因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；
因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，
故选：D
2．（2023春·高二单元测试）（多选）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
【答案】ABC
【解析】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；
B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；
C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；
D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．
故选:ABC．
3．（2023·全国·高二专题练习）（多选）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
【答案】BCD
【解析】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
则共有种排法，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；
对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.
故选：BCD.
4．（2023秋·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：
(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；
(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；
(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；
(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．
【答案】(1)组合问题
(2)排列问题
(3)组合问题
(4)排列问题
【解析】（1）从10名学生中任选5名去参观一个展览会，选出的学生不用排序，
所以这是组合问题.
（2）从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，
由于坐标有横纵坐标之分，所以选出的2个不同的数需要排序，
故这是排列问题.
（3）从红袋和黄袋中各任取一张卡片，求这两张卡片上的数相加所得的和，
因为加法满足交换律，故选出的卡片不用排序，
所以这是组合问题.
（4）因为四本不同的书送给四个人，要求每人一本，
所以这四本书需要排序，故这是排列问题.
考法二 组合数的计算
【例2-1】（2023·全国·高二随堂练习）计算：
(1)；(2)；(3)（4）
【答案】(1)455(2)21(3)19900（4）5 005
【解析】（1）；
（2）；
（3）
（4）原式＝
【例2-2】（2023秋·高二课时练习）解关于正整数x的方程：
(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)
【解析】（1）x为正整数，由可得或，
故或，解得或或或（舍去），
又均为整数，且，
所以或符合要求，不符合要求，故或
（2）由组合数的性质可得，
所以由可得，进而可得，
解得或（舍去），由于，所以，故只取，舍去，
【例2-3】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）（1）已知、为正整数，，求证：：
（2）已知、为正整数，求证：；
（3）、为正整数，，求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】（1），
.
（2）由知，
.
（3）由（1）可知，时，，
而，
故，
，
故，其中.
【一隅三反】
1．（2022春·江苏盐城·高二滨海县五汛中学校考期中）下列四个命题中，假命题为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【【解析】，A为真命题；，B为真命题；
，C为真命题；，D为假命题.故选：D
2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)27(2)25
【解析】（1）法一：；
法二：，，，
可得；
（2）法一：；
法二：，，，
所以.
3．（2023·陕西西安）解方程：
(1)；(2)；(3)，求．
【答案】(1)(2)(3)28
【解析】（1），，由，得到：又，化简得到：所以.
（2）由，即， ，
又，所以得到：，即
所以 ，解得：或（舍去），所以.
（3），可化为，
化简为，即，所以或
又，所以.
4．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）解下列不等式：
(1)；(2)．（3）（4）
【答案】(1)(2)（3）（4）
【解析】（1）由题意可得：.
原方程可化为：，即，
所以，
所以，
解得：．
（2）由已知得解得，．
由，即，
所以，所以，解得或，
所以原不等式的解集为:．
（3）在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈，即有1≤m≤8，m∈，
原不等式化为：，
即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
（4）不等式，即不等式，
即，解得，又因且，所以关于的不等式的解集为.
5．（2023·全国·高二专题练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）左式，
右式
，所以．
（2）因为，，
所以左边
右边．
（3）构造数学模型证明：表示从个不同元素中每次取r个元素的取法种数．
将个不同元素分为两组，其中A组n个元素，B组m个元素，
从个不同元素中每次取r个元素，可分类完成，
依次为：A组取0个，B组取r个，有种取法；A组取1个，B组取个，有种取法；……；A组取r个，B组取0个，有取法．
由加法原理知共有种取法．
所以．
考法三 组合的实际应用
【例3】（2023春·广东江门·高二校考期中）（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，则选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，则选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，则选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为
【答案】ABD
【解析】A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A选项错误.
B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误.
C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确.
D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；
只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.
所以选法总数是，所以D选项错误.
故选：ABD
【一隅三反】
1．（2023秋·高二课时练习）（多选）某中学从4名男生和3名女生中推荐4个参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则（ ）
A．若选1男3女，有4种选法B．若选2男2女，有18种选法
C．若选3男1女，有12种选法D．共有36种不同的选法
【答案】ABC
【解析】A选项，若选1男3女，选法数有种选法，A选项正确.
B选项，若选2男2女，选法数有种选法，B选项正确.
C选项，若选3男1女，选法数有种选法，C选项正确.
D选项，总的选法数有种，D选项错误.
故选：ABC
2．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）（多选）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】ABC
【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为，正确；
对选项B：若化学必选，选法总数为，正确；
对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有种方法，政治地理都不选有种方法，故共有选法总数为，正确；
对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为，D错误.
故选：ABC
3．（2023·高二校考课时练习）扶贫结对中，5名妈妈各带一名孩子到农村帮扶和体验生活（5个孩子中有3男2女）.村委会需要安排1名妈妈带3个孩子去完成某项任务，且至少要选1个女孩，王林（男）和他的妈妈始终在一起，李台（男）和他的妈妈有且仅有一人前往.则可选的方案的种数是（ ）
A．12B．24C．36D．48
【答案】A
【解析】分三种情况考虑：
（1）王林的妈妈去，此时王林和李台都去，有（种）方案.
（2）李台的妈妈去，此时王林和李台都不去，有（种）方案.
（3）王林的妈妈和李台的妈妈都不去，此时王林不去，李台去，
有（种）方案.
因此总共有种方案.
故选：A.
4．（2023春·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）（多选）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有41条
C．若甲途经地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条
【答案】AC
【解析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，
且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误；
若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确；
若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误；
故选：AC.
考法四 分组分配
【例4】（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书.
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有 种不同的分配方式；
（2）甲､乙､丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有 种不同的分配方式；
（3）平均分成三份，每份2本，有 种不同的分配方式；
（4）平均分配给甲､乙､丙三人，每人2本，有 种不同的分配方式；
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有 种不同的分配方式；
（6）甲､乙､丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有 种不同的分配方式；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有 种不同的分配方式.
【答案】 60 360 15 90 15 90 30
【解析】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法，再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法，剩余的是3本书，有种分配方法.所以总共有（种）分配方法.
（2）在（1）的结论下，将这三份书分给甲､乙､丙三人，有（种）分配方法.
（3）先从6本书中选2本，有种分配方法，再从剩余4本书中选择2本，有种分配方法，剩余的就是2本书，有种分配方法，所以共有种分配方法.但是，该过程有重复，设6本书分别为A，B，C，D，E，F，若三个步骤分别选出的是，，，则所有情况为，，，，，，则需去除重复的情况.
综上，不同的分配方式共有（种）.
（4）结合（3）可知，将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，分配方法的种数为.
（5）先从6本书中选4本，有种分配方法，再从剩余的2本书中选1本，有种分配方法，最后还剩1本书，因为在最后2本书的选择中发生了重复，所以总共有（种）分配方法.
（6）结合（5）可知，将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，则分配方法共有（种）.
（7）完成该事件，分三步，甲选1本，有种选法，乙从余下的5本书中选1本，有种选法，余下的4本书留给丙，有种选法.所以总共有（种）选法.
故答案为：60；360；15；90；15；90；30
【一隅三反】
1．（2023秋·山东临沂·高二校考阶段练习）为了保证疫情“社会面清零”，某镇医院派三名医生到不同的四个学校进行核酸检测，每个医生至少去一个学校且至多去两个学校，每个学校只安排一位医生，所有不同的分法共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
【答案】B
【解析】由题意知必有一位医生去两个医院，另外两个医院各去一位医生，
第一步先将医院按分为三组共有种方法，
第二步再把三位医生分配到三个小组去，有种分配方法，
故共有种方法.
故选：B
2．（2023·安徽）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者，那么冰壶和短道速滑两个比赛项目的志愿者人数分别为1，3或2，2，方法数为，
五个人分配到三个项目上去，可先分组再分配，5人按或分成三组，然后安排到三个项目，方法数为，因此学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为．故选：C．
3．（2022秋·湖北·高三校联考期中）2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176B．2352C．1722D．1302
【答案】A
【解析】由题可知把7名工作人员分别分为三种情况，
把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有：种，
把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有：种，
把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式共有：种，
综上，不同的安排方式共有种，故选：A．
4．（2023安徽）有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒.
（1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球.
①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数；
②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.
（2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数.
【答案】（1）①种；②种；（2）种.
【解析】（1）①因为奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，所以先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒中，有种放法；再将剩余的4个小球中的2个放入余下的2个盒中，有种放法.从而不同的放法种数为.
②因为奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，所以分两类讨论：
第一类，取1个奇数号小球和3个偶数号小球放入盒中，共有种放法；
第二类，取2个奇数号小球和2个偶数号小球放入盒中，共有种放法.
从而不同的放法种数为.
（2）由于不许空盒且将6个小球都放入盒中，所以考虑对6个小球先进行分组再放入盒中，分两类：
第一类，将6个小球分成1，1，2，2四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法；
第二类，将6个小球分成1，1，1，3四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法.
从而所有不同的放法种数为.
5.（2023新疆）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；
（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；
（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；
（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？
【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.
【解析】（1）每个小球有4种方法，共有种放法；
（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法；
（3）9个空中插入3个板即可，种放法；
（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法.
考法五 排列组合综合运用
【例5-1】（2022春·河北·高二唐山一中校联考期中）从名男同学中选出人，名女同学中选出人．（此题结果用数字作答）
(1)共有多少种不同的选法；
(2)若把已选出的人排成一排．
①若选出的名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法；
②若选出的名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；
③若两个男生至少有一人排在两端，共有多少种不同的排法；
④指定一人为甲，一人为乙，若甲不站在排头，乙不站在排尾，共有多少种不同的排法．
【答案】(1)30；
(2) ；；；.
【解析】（1）分两步进行，先选男生有种方法，再选女生有方法，由分步计数乘法原理得种，
所以不同的选法种数是30.
（2）①分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的2名男生视为一个元素与其他3人的4个元素
作全排列，然后排2名男生，则不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，
所以选出的名男同学必须相邻，不同的排法种数是.
②分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的3名女生作全排列，
把2名男生插入4个空隙，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，
所以选出的名男同学不相邻，不同的排法种数是.
③分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的5人作全排列，
去掉两端没有男生的情况，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，
所以选两个男生至少有一人排在两端，不同的排法种数是.
④分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的5人作全排列，
去掉甲站在排头或乙站在排尾的情况，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾，不同的排法种数是.
【例5-2】（2023春·安徽·高二巢湖市第一中学校联考期中）（1）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？
（2）记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？
【答案】（1）180；（2）207
【解析】（1）若选择四种颜色，则有种不同的涂色方法；
若选择三种颜色，则有种不同的涂色方法，
故一共有种不同的涂色方法.
（2）正方体中一共有3组，每组4条分别平行的直线，则：
若4条棱中恰有2对“平行棱”，则2对分别来自不同2组，每组2条，不同的取法有种；
若4条棱中恰有3对“平行棱”，则3对分别来自不同2组，一组1条，一组3条，则不同的取法有种；
若4条棱中恰有6对“平行棱”，则6对均来自同一组，一组4条，则不同的取法有种.
故从所有棱中任取4条，且至少得到2对“平行棱”一共有种不同的取法.
【一隅三反】
1．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
2．（2023春·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.
(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，
只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
（2）解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，
则黑球得个数可以是或或，
由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种.
（3）解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、，
再将这三组小球分配给三个盒子，
由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
3（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．
(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
【答案】(1)576
(2)264
【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，第一步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种），第二步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种），
所以由分步计数原理，不同的涂色方法共有（种）.
（2）若用四种颜色，即，，，各涂一种颜色，与同色，与同色，所以有（种）；
若用三种颜色，即第一类： 与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种），
第二类：与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种），
第三类：与同色、、各涂一种颜色，则可以涂剩余那种颜色或与同色，可以与同色或涂剩余那种颜色，所以有（种），
所以用三种颜色，有（种）；
若用两种颜色，即与同色、与同色各涂一种颜色，可以涂剩余剩余两种颜色，也可以涂剩余剩余两种颜色，所以有（种）．
所以由分类加法计数原理，共有（种）．
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高二校考期中）（ ）
A．35B．56C．70D．84
【答案】A
【解析】,
,.故选：A.
2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）近期多所学校发布了2023年强基计划招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学，要报考复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，每位同学只能报考其中的一所学校，且每所学校至少有一名同学报考，则不同的报考方法共有多少种（ ）
A．18B．36C．72D．12
【答案】B
【解析】由题意，将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，
然后分配到复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，
则不同的报考方法共有种,
故选；B
3．（2023春·云南保山·高二统考期中）“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ）
A．720种B．360种C．320种D．288种
【答案】D
【解析】若四人中，没有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种.
若四人中，恰有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种.
所以他们报名的情况总共有种.
故选：D
4．（2023秋·新疆乌鲁木齐）第十四届全国人民代表大会于3月5日至13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻会议精神，现组织4名宣讲员宣讲会议精神，分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．72B．12C．36D．24
【答案】C
【解析】将4名宣讲员分到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，2，
所以不同的分配方案共有．
故选：C．
5．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】10人分成三组，每组至少3人，故可分为4人,3人,3人三组，
共有种，
再把三组人员安排到早中晚三班，共有种，
由分步乘法计数原理可得共有种.
故选：B
6．（2023春·湖南·高二校联考期末）“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到、、三景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员.因工作需要，乙不能去景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（ ）
A．20B．30C．42D．60
【答案】A
【解析】由于乙不能去景点，则乙可以去或景点，共2种，
剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况，
①分成1，2两组，和乙去不同的两个景点，有种，
②分成1，1，1三组，去三个景点且甲和乙不能同去一个景点，有种，
所以不同的安排方法数为种.
故选：A.
7．（2023春·山东菏泽·高二统考期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．360种B．264种C．192种D．144种
【答案】B
【解析】如图，
若4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，
再给D、E、F涂色，因为D、E、F中必有一点用到第4种颜色，有种涂法，
另外两点用到A、B、C三点所用颜色中的两种，有种涂法，
由乘法原理得种．
若只用3种颜色，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，
再给D、E、F涂色，因为D点与A点不同色，有种涂法，
若D点与B点同色，则F与C、D不同色，有种涂法，此时E有种涂法；
若D点与C点同色，则E与B、D不同色，有种涂法，此时F有种涂法.
由乘法原理得种．
所以，不同的涂色方法共有种．
故选：B
8．（2023·全国·高二专题练习）如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种
A．120B．240C．300D．360
【答案】C
【解析】依题意显然不能用少于2种颜色涂色，
若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有种选法，
先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂法，
故一共有种涂法；
若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有种选法，根据题意，分2步进行涂色：
当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有种涂色的方法；
当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，
故共有种涂色的方法；
综上可得一共有种涂法；
故选：C
多选题
9．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则( )
A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法
B．某学生从中选5门，共有6种选法
C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】BCD
【解析】先把课程“射”“御”排在前两周共种，再排其他四门共，所以共种排法，故A错误；
6门中选5门共有种，故B正确；
课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有种排法，故C正确；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确.
故选：BCD.
10（2023春·河北邢台·高二统考阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行．甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）
A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案
B．若每个比赛区至少安排1人，则有480种不同的方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
【答案】ACD
【解析】由题意，先选两人到短道速滑赛区有种排法，其余各安排1人有种排法，
则有种不同的方案，故A正确；
若每个比赛区至少安排1人，则有种不同的方案，故B不正确；
题意，先将甲、乙捆绑在一起有排法，再与除了甲、乙以外的3个人排列有种排法，
则有种不同的站法，故C正确；
先排前排，由种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有种，
则有种，故D正确．
故选：ACD.
11．（2023春·重庆·高二校联考期中）距离高考不到1天时，国家教育部发布了《中国高考报告》，年的高考对各科都有重大的调整，为让高二的学生各科的调整有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的位该学科的骨干教师进行“中国高考报告”的相应学科讲座，每天一科，连续天.则下列结论正确的是（ ）
A．从五位教师中选两位的不同选法共有种
B．数学不排在第一天的不同排法共有种
C．数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有种
D．物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法共有种
【答案】BC
【解析】对于A选项，从五位教师中选两位的不同选法共有种，A错；
对于B选项，数学不排在第一天，则数学有种排法，其他门学科全排即可，
所以，不同的排法种数为种，B对；
对于C选项，数学、英语、语文排在都不相邻的三天，则这三门学科分别排在第一、三、五天，
所以，不同的排法种数为种，C对；
对于D选项，物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法种数为种，D错.
故选：BC.
12．（2023春·浙江嘉兴·高二校联考期中）要从候选的位男同学、位女同学中选出位同学站成一排主持“庆祝‘五四’青年节”文艺汇演，要求至少要有位男同学，若两位男生均被选上，则这两位男同学站位不能相邻，那么（ ）
A．若位男同学同时被选中，则不同的站位方式有种
B．若位男同学中恰有一位被选中，则不同的站位方式有种
C．若女同学乙不能站两边，则不同的站位方式有种
D．若男同学甲必须被选中，则不同的站位方式有种
【答案】AD
【解析】对于A选项，若位男同学同时被选中，且这两位男同学站位不能相邻，
只需从位女同学中选出位女同学，先排女同学的位置，
然后将位男同学插入位女同学所形成的个空位中的个空位，
所以，不同的站位方式种数为种，A对；
对于B选项，若位男同学中恰有一位被选中，则只需从位女同学中选出位女同学，
然后将选出的位同学排序即可，
则不同的站位方式种数为种，B错；
对于C选项，若只有一位男同学被选中，女同学乙未被选中，
则不同的站位方式种数为种，
若只有一位男同学被选中，女同学乙被选中，则女同学乙只能站中间，
不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，女同学乙未被选中，则需从除乙以外的位女同学中选择位，
然后将位男同学插入位女同学所形成的个空位中的个空位，
则不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，女同学乙被选中，则女同学乙只能站中间，则还需选择位女同学，
则不同的站位方式种数为种，
综上所述，不同的站位方式种数为种，C错；
对于D选项，若男同学甲必须被选中，另一位男同学未被选中，
则只需从位女同学中选出位女同学，
则不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，由A选项可知，不同的站位方式种数为种，
综上所述，不同的站位方式种数为种，D对.
故选：AD.
三、填空题
13．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有2个阴爻，则该重卦可以有 种．
【答案】15
【解析】根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，假设有6个位置，在其中任选2个，安排两个“阴爻”，
有种情况，即该重卦可以有15种情况.
故答案为：15．
14．（2023春·福建福州·高二校联考期末）平潭城关中学校团委准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为 ．
【答案】/0.6
【解析】从3名男生和2名女生中随机选取两人，
基本事件总数，
两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数，
则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故答案为:．
15．（2024·江西·校联考模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，
则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；
若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，
则有种情况；
故不同的排课方法共有种情况.
故答案为：.
16．（2022春·北京大兴·高二统考期中）在涂色本的某页上画有排成一行的6条未涂色的鱼，小明用红､蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色.有如下结论：
①若恰有2条鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有15种；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有10种；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，则不同的涂色方法有63种.
则正确结论的序号是 .
【答案】①②
【解析】①若恰有2条鱼被涂成了红色，则剩余4条鱼被涂成了蓝色，共有种涂色方法，
故①正确；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，可从①中减掉相邻的鱼被涂成红色的情况种数，
共有种方法；故②正确；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，
当红色用1次，有6种涂色方法，
当红色用2次，有种涂色方法，
当红色用3次，有种涂色方法，
当红色用4次，有种涂色方法，
当红色用5次，有6种涂色方法，
共有6+15+20+15+6=62种方法，故③错误.
故答案为：①②.
四．解答题
17．（2022春·北京·高二校考期中）从4名男生和3名女生中各选2人，
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）
【答案】(1)18
(2)15
(3)84
【解析】（1）根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，
男生有种选法，女生有种选法，
故选法有种；
（2）根据题意，分3种情况讨论：
男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种．
男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种，
男生甲和女生乙被选中，有种，
则共有种选法.
（3）男生甲和女生乙同时被选中的选法为种，
4人参加百米接力赛的总安排方法为种，
甲跑第一棒的安排方法为种，
乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．
18．（2023春·天津河西·高二统考期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
(1)共有多少种不同的报名方法？
(2)甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(3)甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(4)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？
(5)甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）解：每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为.
（2）解：甲必须报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择，
所以，不同的报名方法种数为.
（3）解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为，
丙不报项目，则丙有种选择，所以，丁有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.
（4）解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为、、，
然后再将这三组同学分配给、、三个智力竞赛项目，
所以，不同的报名方法种数为.
（5）解：分两种情况讨论：
①项目没人报，且、项目的报名人数均为，此时不同的报名方法种数为种；
②项目有人报，且甲不报项目，、项目报名的人数相同，
则、项目报名的人数均为，
则甲报项目或项目，则报名项目的有人，剩余个项目只有一人报名，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.
综上所述，不同的报名方法种数为.
19（2023春·河北衡水·高二校考期中）（1）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个不同形状的精美盒子选择，问一共有多少种包装方法？
（2）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个不同形状的精美盒子选择，每个盒子至少有一件装饰品，问一共有多少种包装方法？
（3）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子选择，每个盒子至少有一件装饰品，问一共有多少种包装方法？
（4）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子选择，问一共有多少种包装方法？
【答案】（1）81；（2）36；（3）6种；（4）14.
【解析】（1）由分步计数原理可得包装方法的总数为.
（2）因为每个盒子至少有一件装饰品，故有且只有两个装饰品放到同一个盒子中，
故不同的包装方法为.
（4）将四件不同的装饰品分成3堆（每堆放一个盒子），不同的分法为，
故有6种不同的包装方法.
（5）四件不同的装饰品分成一堆（每堆放一个盒子），有1种分法，
四件不同的装饰品分成两堆（每堆放一个盒子），有种分法，
由（4）可得四件不同的装饰品分成三堆（每堆放一个盒子），有种分法，
故共有14种不同的包装方法.
20．（2023春·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考期中）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【答案】(1)256(种)
(2)24(种)
(3)144(种)
(4)12(种)
【解析】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.
（2）这是全排列问题，共有(种)放法.
（3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个
盒子，有种投放方法，故共有(种)放法.
（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，
把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，
所以共有(种)放法.
（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，
余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，
故共有(种)放法.
（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，
第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，
由分步计数原理得，共有(种)放法.
21．（2023春·高二课时练习）4个人抽签，四个签上事先写上了各自的名字，求下面事件的概率：
(1)四个人都抽到写有自己名字的签；
(2)恰有一个人抽到写有自己名字的签；
(3)恰有两个人抽到写有自己名字的签；
(4)恰有三个人抽到写有自己名字的签；
(5)没有人抽到写有自己名字的签．
【答案】(1)(2)(3)(4)0(5)
【解析】（1）4个人抽4个签总共有种情况，四个人都抽到写有自己名字的签占1 种情况，所以四个人都抽到写有自己名字的签的概率为
（2）恰有一个人抽到写有自己名字的签有种情况，所以恰有一个人抽到写有自己名字的签的概率为
（3）恰有两个人抽到写有自己名字的签有种情况，恰有两个人抽到写有自己名字的签的概率为
（4）如果有三个人抽到写有自己名字的签，则第四个人一定抽到写有自己名字的签，所以恰有三个人抽到写有自己名字的签为不可能事件，概率为0
（5）由（1）（2）（3）（4）的结论可知，没有人抽到写有自己名字的签的概率为.
22．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
【答案】(1)24(2)1(3)144(4)12
【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；
（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；
（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，
再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择，
综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种；
（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，
选出一个空盒，有种情况，
将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有种情况，
综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有种选择.
考法一 组合的判断
【例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作
B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长
【答案】C
【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，
将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，
选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，
与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，
与顺序无关，这个问题为组合问题；
对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，
将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023春·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【答案】D
【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；
因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；
因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；
因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，
故选：D
2．（2023春·高二单元测试）（多选）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
【答案】ABC
【解析】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；
B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；
C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；
D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．
故选:ABC．
3．（2023·全国·高二专题练习）（多选）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
【答案】BCD
【解析】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
则共有种排法，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；
对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.
故选：BCD.
4．（2023秋·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：
(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；
(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；
(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；
(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．
【答案】(1)组合问题
(2)排列问题
(3)组合问题
(4)排列问题
【解析】（1）从10名学生中任选5名去参观一个展览会，选出的学生不用排序，
所以这是组合问题.
（2）从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，
由于坐标有横纵坐标之分，所以选出的2个不同的数需要排序，
故这是排列问题.
（3）从红袋和黄袋中各任取一张卡片，求这两张卡片上的数相加所得的和，
因为加法满足交换律，故选出的卡片不用排序，
所以这是组合问题.
（4）因为四本不同的书送给四个人，要求每人一本，
所以这四本书需要排序，故这是排列问题.
考法二 组合数的计算
【例2-1】（2023·全国·高二随堂练习）计算：
(1)；(2)；(3)（4）
【答案】(1)455(2)21(3)19900（4）5 005
【解析】（1）；
（2）；
（3）
（4）原式＝
【例2-2】（2023秋·高二课时练习）解关于正整数x的方程：
(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)
【解析】（1）x为正整数，由可得或，
故或，解得或或或（舍去），
又均为整数，且，
所以或符合要求，不符合要求，故或
（2）由组合数的性质可得，
所以由可得，进而可得，
解得或（舍去），由于，所以，故只取，舍去，
【例2-3】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）（1）已知、为正整数，，求证：：
（2）已知、为正整数，求证：；
（3）、为正整数，，求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】（1），
.
（2）由知，
.
（3）由（1）可知，时，，
而，
故，
，
故，其中.
【一隅三反】
1．（2022春·江苏盐城·高二滨海县五汛中学校考期中）下列四个命题中，假命题为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【【解析】，A为真命题；，B为真命题；
，C为真命题；，D为假命题.故选：D
2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)27(2)25
【解析】（1）法一：；
法二：，，，
可得；
（2）法一：；
法二：，，，
所以.
3．（2023·陕西西安）解方程：
(1)；(2)；(3)，求．
【答案】(1)(2)(3)28
【解析】（1），，由，得到：又，化简得到：所以.
（2）由，即， ，
又，所以得到：，即
所以 ，解得：或（舍去），所以.
（3），可化为，
化简为，即，所以或
又，所以.
4．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）解下列不等式：
(1)；(2)．（3）（4）
【答案】(1)(2)（3）（4）
【解析】（1）由题意可得：.
原方程可化为：，即，
所以，
所以，
解得：．
（2）由已知得解得，．
由，即，
所以，所以，解得或，
所以原不等式的解集为:．
（3）在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈，即有1≤m≤8，m∈，
原不等式化为：，
即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
（4）不等式，即不等式，
即，解得，又因且，所以关于的不等式的解集为.
5．（2023·全国·高二专题练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）左式，
右式
，所以．
（2）因为，，
所以左边
右边．
（3）构造数学模型证明：表示从个不同元素中每次取r个元素的取法种数．
将个不同元素分为两组，其中A组n个元素，B组m个元素，
从个不同元素中每次取r个元素，可分类完成，
依次为：A组取0个，B组取r个，有种取法；A组取1个，B组取个，有种取法；……；A组取r个，B组取0个，有取法．
由加法原理知共有种取法．
所以．
考法三 组合的实际应用
【例3】（2023春·广东江门·高二校考期中）（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，则选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，则选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，则选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为
【答案】ABD
【解析】A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A选项错误.
B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误.
C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确.
D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；
只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.
所以选法总数是，所以D选项错误.
故选：ABD
【一隅三反】
1．（2023秋·高二课时练习）（多选）某中学从4名男生和3名女生中推荐4个参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则（ ）
A．若选1男3女，有4种选法B．若选2男2女，有18种选法
C．若选3男1女，有12种选法D．共有36种不同的选法
【答案】ABC
【解析】A选项，若选1男3女，选法数有种选法，A选项正确.
B选项，若选2男2女，选法数有种选法，B选项正确.
C选项，若选3男1女，选法数有种选法，C选项正确.
D选项，总的选法数有种，D选项错误.
故选：ABC
2．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）（多选）新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】ABC
【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为，正确；
对选项B：若化学必选，选法总数为，正确；
对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有种方法，政治地理都不选有种方法，故共有选法总数为，正确；
对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为，D错误.
故选：ABC
3．（2023·高二校考课时练习）扶贫结对中，5名妈妈各带一名孩子到农村帮扶和体验生活（5个孩子中有3男2女）.村委会需要安排1名妈妈带3个孩子去完成某项任务，且至少要选1个女孩，王林（男）和他的妈妈始终在一起，李台（男）和他的妈妈有且仅有一人前往.则可选的方案的种数是（ ）
A．12B．24C．36D．48
【答案】A
【解析】分三种情况考虑：
（1）王林的妈妈去，此时王林和李台都去，有（种）方案.
（2）李台的妈妈去，此时王林和李台都不去，有（种）方案.
（3）王林的妈妈和李台的妈妈都不去，此时王林不去，李台去，
有（种）方案.
因此总共有种方案.
故选：A.
4．（2023春·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）（多选）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有41条
C．若甲途经地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条
【答案】AC
【解析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，
且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误；
若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确；
若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误；
故选：AC.
考法四 分组分配
【例4】（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书.
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有 种不同的分配方式；
（2）甲､乙､丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有 种不同的分配方式；
（3）平均分成三份，每份2本，有 种不同的分配方式；
（4）平均分配给甲､乙､丙三人，每人2本，有 种不同的分配方式；
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有 种不同的分配方式；
（6）甲､乙､丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有 种不同的分配方式；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有 种不同的分配方式.
【答案】 60 360 15 90 15 90 30
【解析】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法，再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法，剩余的是3本书，有种分配方法.所以总共有（种）分配方法.
（2）在（1）的结论下，将这三份书分给甲､乙､丙三人，有（种）分配方法.
（3）先从6本书中选2本，有种分配方法，再从剩余4本书中选择2本，有种分配方法，剩余的就是2本书，有种分配方法，所以共有种分配方法.但是，该过程有重复，设6本书分别为A，B，C，D，E，F，若三个步骤分别选出的是，，，则所有情况为，，，，，，则需去除重复的情况.
综上，不同的分配方式共有（种）.
（4）结合（3）可知，将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，分配方法的种数为.
（5）先从6本书中选4本，有种分配方法，再从剩余的2本书中选1本，有种分配方法，最后还剩1本书，因为在最后2本书的选择中发生了重复，所以总共有（种）分配方法.
（6）结合（5）可知，将这三份书分别分给甲､乙､丙三人，则分配方法共有（种）.
（7）完成该事件，分三步，甲选1本，有种选法，乙从余下的5本书中选1本，有种选法，余下的4本书留给丙，有种选法.所以总共有（种）选法.
故答案为：60；360；15；90；15；90；30
【一隅三反】
1．（2023秋·山东临沂·高二校考阶段练习）为了保证疫情“社会面清零”，某镇医院派三名医生到不同的四个学校进行核酸检测，每个医生至少去一个学校且至多去两个学校，每个学校只安排一位医生，所有不同的分法共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
【答案】B
【解析】由题意知必有一位医生去两个医院，另外两个医院各去一位医生，
第一步先将医院按分为三组共有种方法，
第二步再把三位医生分配到三个小组去，有种分配方法，
故共有种方法.
故选：B
2．（2023·安徽）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者，那么冰壶和短道速滑两个比赛项目的志愿者人数分别为1，3或2，2，方法数为，
五个人分配到三个项目上去，可先分组再分配，5人按或分成三组，然后安排到三个项目，方法数为，因此学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为．故选：C．
3．（2022秋·湖北·高三校联考期中）2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A．1176B．2352C．1722D．1302
【答案】A
【解析】由题可知把7名工作人员分别分为三种情况，
把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有：种，
把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有：种，
把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式共有：种，
综上，不同的安排方式共有种，故选：A．
4．（2023安徽）有标号为1，2，3，4，5，6的6个小球和标号为1，2，3，4的4个盒.
（1）从6个小球中选出4个放入4个盒中，每盒只放1个小球.
①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数；
②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.
（2）若不许空盒且将6个小球都放入4个盒中，求所有不同的放法种数.
【答案】（1）①种；②种；（2）种.
【解析】（1）①因为奇数号盒只放奇数号小球，每盒只放一个小球，所以先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒中，有种放法；再将剩余的4个小球中的2个放入余下的2个盒中，有种放法.从而不同的放法种数为.
②因为奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放一个小球，所以分两类讨论：
第一类，取1个奇数号小球和3个偶数号小球放入盒中，共有种放法；
第二类，取2个奇数号小球和2个偶数号小球放入盒中，共有种放法.
从而不同的放法种数为.
（2）由于不许空盒且将6个小球都放入盒中，所以考虑对6个小球先进行分组再放入盒中，分两类：
第一类，将6个小球分成1，1，2，2四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法；
第二类，将6个小球分成1，1，1，3四组的不同分法种数为，再放入4个盒中，有种放法.
从而所有不同的放法种数为.
5.（2023新疆）（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；
（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；
（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；
（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？
【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.
【解析】（1）每个小球有4种方法，共有种放法；
（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法；
（3）9个空中插入3个板即可，种放法；
（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法.
考法五 排列组合综合运用
【例5-1】（2022春·河北·高二唐山一中校联考期中）从名男同学中选出人，名女同学中选出人．（此题结果用数字作答）
(1)共有多少种不同的选法；
(2)若把已选出的人排成一排．
①若选出的名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法；
②若选出的名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；
③若两个男生至少有一人排在两端，共有多少种不同的排法；
④指定一人为甲，一人为乙，若甲不站在排头，乙不站在排尾，共有多少种不同的排法．
【答案】(1)30；
(2) ；；；.
【解析】（1）分两步进行，先选男生有种方法，再选女生有方法，由分步计数乘法原理得种，
所以不同的选法种数是30.
（2）①分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的2名男生视为一个元素与其他3人的4个元素
作全排列，然后排2名男生，则不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，
所以选出的名男同学必须相邻，不同的排法种数是.
②分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的3名女生作全排列，
把2名男生插入4个空隙，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，
所以选出的名男同学不相邻，不同的排法种数是.
③分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的5人作全排列，
去掉两端没有男生的情况，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，
所以选两个男生至少有一人排在两端，不同的排法种数是.
④分两步完成，先选出符合条件的5人，有种方法，再将选出的5人作全排列，
去掉甲站在排头或乙站在排尾的情况，不同排法有种，由分步计数乘法原理得：，
所以甲不站在排头，乙不站在排尾，不同的排法种数是.
【例5-2】（2023春·安徽·高二巢湖市第一中学校联考期中）（1）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？
（2）记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取4条，要求至少得到2对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？
【答案】（1）180；（2）207
【解析】（1）若选择四种颜色，则有种不同的涂色方法；
若选择三种颜色，则有种不同的涂色方法，
故一共有种不同的涂色方法.
（2）正方体中一共有3组，每组4条分别平行的直线，则：
若4条棱中恰有2对“平行棱”，则2对分别来自不同2组，每组2条，不同的取法有种；
若4条棱中恰有3对“平行棱”，则3对分别来自不同2组，一组1条，一组3条，则不同的取法有种；
若4条棱中恰有6对“平行棱”，则6对均来自同一组，一组4条，则不同的取法有种.
故从所有棱中任取4条，且至少得到2对“平行棱”一共有种不同的取法.
【一隅三反】
1．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
2．（2023春·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.
(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，
只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
（2）解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，
则黑球得个数可以是或或，
由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种.
（3）解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、，
再将这三组小球分配给三个盒子，
由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
3（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．
(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
【答案】(1)576
(2)264
【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，第一步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种），第二步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种），
所以由分步计数原理，不同的涂色方法共有（种）.
（2）若用四种颜色，即，，，各涂一种颜色，与同色，与同色，所以有（种）；
若用三种颜色，即第一类： 与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种），
第二类：与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种），
第三类：与同色、、各涂一种颜色，则可以涂剩余那种颜色或与同色，可以与同色或涂剩余那种颜色，所以有（种），
所以用三种颜色，有（种）；
若用两种颜色，即与同色、与同色各涂一种颜色，可以涂剩余剩余两种颜色，也可以涂剩余剩余两种颜色，所以有（种）．
所以由分类加法计数原理，共有（种）．
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高二校考期中）（ ）
A．35B．56C．70D．84
【答案】A
【解析】,
,.故选：A.
2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）近期多所学校发布了2023年强基计划招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学，要报考复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，每位同学只能报考其中的一所学校，且每所学校至少有一名同学报考，则不同的报考方法共有多少种（ ）
A．18B．36C．72D．12
【答案】B
【解析】由题意，将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，
然后分配到复旦大学、南京大学、东南大学三所学校，
则不同的报考方法共有种,
故选；B
3．（2023春·云南保山·高二统考期中）“五一”假期将至，腾冲又将迎来今年的新一轮旅游热潮．腾冲某旅行社适时推出了“火山热海”、“和顺古镇”、“叠水河畔”、“湿地荷韵”和“佤寨风光”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“火山热海”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ）
A．720种B．360种C．320种D．288种
【答案】D
【解析】若四人中，没有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种.
若四人中，恰有人选择“火山热海”线路，
则方法数有种.
所以他们报名的情况总共有种.
故选：D
4．（2023秋·新疆乌鲁木齐）第十四届全国人民代表大会于3月5日至13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻会议精神，现组织4名宣讲员宣讲会议精神，分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．72B．12C．36D．24
【答案】C
【解析】将4名宣讲员分到3个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，2，
所以不同的分配方案共有．
故选：C．
5．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】10人分成三组，每组至少3人，故可分为4人,3人,3人三组，
共有种，
再把三组人员安排到早中晚三班，共有种，
由分步乘法计数原理可得共有种.
故选：B
6．（2023春·湖南·高二校联考期末）“五一”假期期间，某旅游景区为加强游客的安全工作，决定增派甲、乙、丙、丁四位工作人员到、、三景点进行安全防护宣传，增派的每位工作人员必须到一个景点，且只能到一个景点做安全防护宣传，每个景点至少增派一位工作人员.因工作需要，乙不能去景点，甲和乙不能同去一个景点，则不同的安排方法数为（ ）
A．20B．30C．42D．60
【答案】A
【解析】由于乙不能去景点，则乙可以去或景点，共2种，
剩余的3人可以分成1，2两组或1，1，1三组两种情况，
①分成1，2两组，和乙去不同的两个景点，有种，
②分成1，1，1三组，去三个景点且甲和乙不能同去一个景点，有种，
所以不同的安排方法数为种.
故选：A.
7．（2023春·山东菏泽·高二统考期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．360种B．264种C．192种D．144种
【答案】B
【解析】如图，
若4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，
再给D、E、F涂色，因为D、E、F中必有一点用到第4种颜色，有种涂法，
另外两点用到A、B、C三点所用颜色中的两种，有种涂法，
由乘法原理得种．
若只用3种颜色，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，
再给D、E、F涂色，因为D点与A点不同色，有种涂法，
若D点与B点同色，则F与C、D不同色，有种涂法，此时E有种涂法；
若D点与C点同色，则E与B、D不同色，有种涂法，此时F有种涂法.
由乘法原理得种．
所以，不同的涂色方法共有种．
故选：B
8．（2023·全国·高二专题练习）如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种
A．120B．240C．300D．360
【答案】C
【解析】依题意显然不能用少于2种颜色涂色，
若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有种选法，
先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂法，
故一共有种涂法；
若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有种选法，根据题意，分2步进行涂色：
当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有种涂色的方法；
当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，
故共有种涂色的方法；
综上可得一共有种涂法；
故选：C
多选题
9．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则( )
A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法
B．某学生从中选5门，共有6种选法
C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】BCD
【解析】先把课程“射”“御”排在前两周共种，再排其他四门共，所以共种排法，故A错误；
6门中选5门共有种，故B正确；
课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有种排法，故C正确；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确.
故选：BCD.
10（2023春·河北邢台·高二统考阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行．甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）
A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案
B．若每个比赛区至少安排1人，则有480种不同的方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
【答案】ACD
【解析】由题意，先选两人到短道速滑赛区有种排法，其余各安排1人有种排法，
则有种不同的方案，故A正确；
若每个比赛区至少安排1人，则有种不同的方案，故B不正确；
题意，先将甲、乙捆绑在一起有排法，再与除了甲、乙以外的3个人排列有种排法，
则有种不同的站法，故C正确；
先排前排，由种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有种，
则有种，故D正确．
故选：ACD.
11．（2023春·重庆·高二校联考期中）距离高考不到1天时，国家教育部发布了《中国高考报告》，年的高考对各科都有重大的调整，为让高二的学生各科的调整有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的位该学科的骨干教师进行“中国高考报告”的相应学科讲座，每天一科，连续天.则下列结论正确的是（ ）
A．从五位教师中选两位的不同选法共有种
B．数学不排在第一天的不同排法共有种
C．数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有种
D．物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法共有种
【答案】BC
【解析】对于A选项，从五位教师中选两位的不同选法共有种，A错；
对于B选项，数学不排在第一天，则数学有种排法，其他门学科全排即可，
所以，不同的排法种数为种，B对；
对于C选项，数学、英语、语文排在都不相邻的三天，则这三门学科分别排在第一、三、五天，
所以，不同的排法种数为种，C对；
对于D选项，物理要排在化学的前面（可以不相邻）的排法种数为种，D错.
故选：BC.
12．（2023春·浙江嘉兴·高二校联考期中）要从候选的位男同学、位女同学中选出位同学站成一排主持“庆祝‘五四’青年节”文艺汇演，要求至少要有位男同学，若两位男生均被选上，则这两位男同学站位不能相邻，那么（ ）
A．若位男同学同时被选中，则不同的站位方式有种
B．若位男同学中恰有一位被选中，则不同的站位方式有种
C．若女同学乙不能站两边，则不同的站位方式有种
D．若男同学甲必须被选中，则不同的站位方式有种
【答案】AD
【解析】对于A选项，若位男同学同时被选中，且这两位男同学站位不能相邻，
只需从位女同学中选出位女同学，先排女同学的位置，
然后将位男同学插入位女同学所形成的个空位中的个空位，
所以，不同的站位方式种数为种，A对；
对于B选项，若位男同学中恰有一位被选中，则只需从位女同学中选出位女同学，
然后将选出的位同学排序即可，
则不同的站位方式种数为种，B错；
对于C选项，若只有一位男同学被选中，女同学乙未被选中，
则不同的站位方式种数为种，
若只有一位男同学被选中，女同学乙被选中，则女同学乙只能站中间，
不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，女同学乙未被选中，则需从除乙以外的位女同学中选择位，
然后将位男同学插入位女同学所形成的个空位中的个空位，
则不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，女同学乙被选中，则女同学乙只能站中间，则还需选择位女同学，
则不同的站位方式种数为种，
综上所述，不同的站位方式种数为种，C错；
对于D选项，若男同学甲必须被选中，另一位男同学未被选中，
则只需从位女同学中选出位女同学，
则不同的站位方式种数为种，
若两位男同学都被选中，由A选项可知，不同的站位方式种数为种，
综上所述，不同的站位方式种数为种，D对.
故选：AD.
三、填空题
13．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中恰有2个阴爻，则该重卦可以有 种．
【答案】15
【解析】根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，假设有6个位置，在其中任选2个，安排两个“阴爻”，
有种情况，即该重卦可以有15种情况.
故答案为：15．
14．（2023春·福建福州·高二校联考期末）平潭城关中学校团委准备开展高三“喊楼”活动，决定从学生会文娱部的3名男生和2名女生中，随机选取2人负责活动的主持工作，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为 ．
【答案】/0.6
【解析】从3名男生和2名女生中随机选取两人，
基本事件总数，
两人恰好是一名男生和一名女生包含的基本事件个数，
则两人恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故答案为:．
15．（2024·江西·校联考模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，
则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；
若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，
则有种情况；
故不同的排课方法共有种情况.
故答案为：.
16．（2022春·北京大兴·高二统考期中）在涂色本的某页上画有排成一行的6条未涂色的鱼，小明用红､蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色.有如下结论：
①若恰有2条鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有15种；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，则不同的涂色方法有10种；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，则不同的涂色方法有63种.
则正确结论的序号是 .
【答案】①②
【解析】①若恰有2条鱼被涂成了红色，则剩余4条鱼被涂成了蓝色，共有种涂色方法，
故①正确；
②若恰有2条不相邻的鱼被涂成了红色，可从①中减掉相邻的鱼被涂成红色的情况种数，
共有种方法；故②正确；
③若涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼，
当红色用1次，有6种涂色方法，
当红色用2次，有种涂色方法，
当红色用3次，有种涂色方法，
当红色用4次，有种涂色方法，
当红色用5次，有6种涂色方法，
共有6+15+20+15+6=62种方法，故③错误.
故答案为：①②.
四．解答题
17．（2022春·北京·高二校考期中）从4名男生和3名女生中各选2人，
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？（用数字作答）
【答案】(1)18
(2)15
(3)84
【解析】（1）根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，
男生有种选法，女生有种选法，
故选法有种；
（2）根据题意，分3种情况讨论：
男生甲被选中，女生乙没有被选中，有种．
男生甲没有被选中，女生乙被选中，有种，
男生甲和女生乙被选中，有种，
则共有种选法.
（3）男生甲和女生乙同时被选中的选法为种，
4人参加百米接力赛的总安排方法为种，
甲跑第一棒的安排方法为种，
乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法为种，
甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法为种．
18．（2023春·天津河西·高二统考期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
(1)共有多少种不同的报名方法？
(2)甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(3)甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(4)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？
(5)甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）解：每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为.
（2）解：甲必须报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择，
所以，不同的报名方法种数为.
（3）解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为，
丙不报项目，则丙有种选择，所以，丁有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.
（4）解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为、、，
然后再将这三组同学分配给、、三个智力竞赛项目，
所以，不同的报名方法种数为.
（5）解：分两种情况讨论：
①项目没人报，且、项目的报名人数均为，此时不同的报名方法种数为种；
②项目有人报，且甲不报项目，、项目报名的人数相同，
则、项目报名的人数均为，
则甲报项目或项目，则报名项目的有人，剩余个项目只有一人报名，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.
综上所述，不同的报名方法种数为.
19（2023春·河北衡水·高二校考期中）（1）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个不同形状的精美盒子选择，问一共有多少种包装方法？
（2）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个不同形状的精美盒子选择，每个盒子至少有一件装饰品，问一共有多少种包装方法？
（3）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子选择，每个盒子至少有一件装饰品，问一共有多少种包装方法？
（4）四件不同的装饰品要装进包装盒里，有三个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子选择，问一共有多少种包装方法？
【答案】（1）81；（2）36；（3）6种；（4）14.
【解析】（1）由分步计数原理可得包装方法的总数为.
（2）因为每个盒子至少有一件装饰品，故有且只有两个装饰品放到同一个盒子中，
故不同的包装方法为.
（4）将四件不同的装饰品分成3堆（每堆放一个盒子），不同的分法为，
故有6种不同的包装方法.
（5）四件不同的装饰品分成一堆（每堆放一个盒子），有1种分法，
四件不同的装饰品分成两堆（每堆放一个盒子），有种分法，
由（4）可得四件不同的装饰品分成三堆（每堆放一个盒子），有种分法，
故共有14种不同的包装方法.
20．（2023春·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考期中）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【答案】(1)256(种)
(2)24(种)
(3)144(种)
(4)12(种)
【解析】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.
（2）这是全排列问题，共有(种)放法.
（3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个
盒子，有种投放方法，故共有(种)放法.
（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，
把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，
所以共有(种)放法.
（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，
余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，
故共有(种)放法.
（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，
第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，
由分步计数原理得，共有(种)放法.
21．（2023春·高二课时练习）4个人抽签，四个签上事先写上了各自的名字，求下面事件的概率：
(1)四个人都抽到写有自己名字的签；
(2)恰有一个人抽到写有自己名字的签；
(3)恰有两个人抽到写有自己名字的签；
(4)恰有三个人抽到写有自己名字的签；
(5)没有人抽到写有自己名字的签．
【答案】(1)(2)(3)(4)0(5)
【解析】（1）4个人抽4个签总共有种情况，四个人都抽到写有自己名字的签占1 种情况，所以四个人都抽到写有自己名字的签的概率为
（2）恰有一个人抽到写有自己名字的签有种情况，所以恰有一个人抽到写有自己名字的签的概率为
（3）恰有两个人抽到写有自己名字的签有种情况，恰有两个人抽到写有自己名字的签的概率为
（4）如果有三个人抽到写有自己名字的签，则第四个人一定抽到写有自己名字的签，所以恰有三个人抽到写有自己名字的签为不可能事件，概率为0
（5）由（1）（2）（3）（4）的结论可知，没有人抽到写有自己名字的签的概率为.
22．（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
【答案】(1)24(2)1(3)144(4)12
【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；
（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；
（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，
再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择，
综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种；
（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，
选出一个空盒，有种情况，
将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有种情况，
综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有种选择.
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