北师大版八年级上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理课时训练

这是一份北师大版八年级上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理课时训练，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共13小题）
1. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，分别以 BC，AB，AC 为边向外作正方形面积分别记为 S1，S2，S3．若 S2=6，S3=10．则面积为 S1 的正方形的边长为
A. 1B. 2C. 3D. 4

2. 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，则
A. BC=AB+ACB. AC2=AB2+BC2
C. AB2=AC2+BC2D. BC2=AB2+AC2

3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BCA=90∘．△PAB 中 AB 边上的高等于 AB 的长度，△QBC 中 BC 边上的高等于 BC 的长度．△HAC 中 AC 边上的高等于 AC 的长度，且 △PAB，△QBC 的面积分别是 10 和 8，则 △ACH 的面积是
A. 2B. 4C. 6D. 9

4. 如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则 △ABC 中 BC 边上的高是
A. 1.6B. 1.4C. 1.5D. 2

5. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形 A，B，C 的面积依次为 2，4，3，则正方形 D 的面积为
A. 9B. 8C. 27D. 45

6. 在 Rt△ABC 中，已知其两直角边长 a=1，b=3，那么斜边 c 的长为
A. 2B. 4C. 22D. 10

7. 已知直角平面内点 P1,2，Q2,−3，那么线段 PQ 的长等于
A. 5B. 26C. 27D. 27

8. 如图，直线 l 上有三个正方形，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为
A. 4B. 6C. 16D. 55

9. 已知直角三角形的两边长分别为 6 和 8，则斜边长为
A. 8B. 10C. 8 或 10D. 10 或 27

10. 一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多 2 cm，另一条直角边长 6 cm，那么这个直角三角形的斜边长
A. 4 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 12 cm

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，AD 是 ∠BAC 的平分线．若 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是
A. 125B. 4C. 245D. 5

12. 图 1 是第七届国际数学教育大会（ICME−7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点 O 的直角三角形（如图 2 所示）演化而成的．如果图 2 中的 OA1=A1A2=A2A3=⋯A7A8=1，那么 OA8 的长为
A. 22B. 3C. 10D. 11

13. 在 △ABC 中，AB=AC=5，P 是 BC 上异于 B，C 的一点，则 AP2+BP⋅PC 的值是
A. 15B. 25C. 30D. 20

二、填空题（共10小题）
14. 已知 a，b，c 是 △ABC 中 ∠A，∠B，∠C 的对边，下列说法：
①若 ∠C=90∘，则 a2+b2=c2；②若 ∠B=90∘，则 a2+c2=b2；③若 ∠A=90∘ 则 b2+c2=a2；④总有 a2+b2=c2．其中正确的有 （填序号）．

15. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，点 D 在边 BC 上，AD=BD，DE 平分 ∠ADB 交 AB 于点 E．若 AC=12，BC=16，则 AE 的长为 ．

16. 一直角三角形有两边长分别为 4 和 5，则第三边长为 ．

17. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为 1，正方形 ABCM，CDEN，MNPQ 的顶点都在格点上，则正方形 MNPQ 的面积为 ．

18. 如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则 AE= ．

19. 直角坐标平面内的两点 P−2,4，Q−3,5 的距离为 ．

20. 如图，已知 △ABC 是等边三角形，边长为 3，G 是三角形的重心，那么 GA= ．

21. 如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中 ∠ABC=90∘，AC=50 cm，AB=30 cm，小明蒙上眼睛用棍子敲击锣面，他击中阴影部分的概率是 ．

22. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 AB−AC=2，BC=8，则 AB 的长是 ．

23. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．

三、解答题（共6小题）
24. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D=90∘，AD=4，BC=3．分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 的长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，点 O 是 AC 的中点．
（1）求证：AF=BC；
（2）求 CD 的长．

25. 如图，以直角三角形的三边分别作正方形．证明：S1+S2=S3．

26. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=17，AC=15，求 BC 的长及 △ABC 的面积．

27. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=5，AC=12，求 AB 的长．

28. 已知 Rt△ABC 的面积为 5，斜边长为 3，两直角边长分别为 a，b．求代数式 ab+ba 的值．

29. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图 1 证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图 1 所示摆放，其中 ∠DAB=90∘．求证：a2+b2=c2．
证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DF=EC=b−a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12ab−a，
∴12b2+12ab=12c2+12ab−a．
∴a2+b2=c2．
将两个全等的直角三角形按如图 2 所示摆放，其中 ∠DAB=90∘．请参照上述证法，证明：a2+b2=c2．
答案
1. B
【解析】∵△ABC 中，∠ABC=90∘，
∴AB2+BC2=AC2，
∴BC2=AC2−AB2，
∵BC2=S1，AB2=S2=6，AC2=S3=10，
∴S1=S3−S2=10−6=4．
则 S1 边长为 2．
故选：B．
2. D
【解析】∵ 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，
∴∠A=90∘，
∴BC2=AB2+AC2，
故选：D．
3. A
【解析】过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，过点 Q 作 QE⊥BC 于点 E，过点 H 作 HF⊥AC 延长线于 F，
∵S△ABP=12AB⋅PD，
又 ∵PD=AB，
∴S△ABP=12AB⋅AB=12AB2，
∵S△QBC=12BC⋅QE，
又 ∵QE=BC，
∴S△QBC=12BC⋅BC=12BC2，
∵S△ACH=12AC⋅HF，
又 ∵HF=AC，
∴S△ACH=12AC⋅AC=12AC2，
∵△ABC 为直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∴S△ACH=12⋅AB2−BC2=12AB2−12BC2=S△ABP−S△BCQ=10−8=2.
4. B
【解析】∵BC=32+42=5，
∵S△ABC=4×4−12×1×1−12×3×4−12×3×4=72，
∴△ABC 中 BC 边上的高 =2×725=75．
5. A
【解析】设中间正方形为 M，
∵ 正方形 A，B，C 的面积依次为 2，4，3，
∴ 由勾股定理得 A，B 的面积和等于 M 的面积，M，C 的面积和等于 D 的面积，
故 D 的面积为 2+4+3=9．
6. D
7. B
8. C
9. C
【解析】当 8 为直角边时，斜边 =62+82=10，
当 8 为斜边时，另一条直角边 =82−62=27．
10. C
11. C
【解析】如图，过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，
∵AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，即 CM 的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245，
即 PC+PQ 的最小值为 245．
12. A
【解析】因为 OA1=1，
所以由勾股定理可得 OA2=12+12=2，
OA3=22+12=3，
⋯，
所以 OAn=n，
所以 OA8=8=22．
13. B
【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于 D．
∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90∘，
∴BD=CD，PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，
∴AP2+PB⋅PC=AP2+BD+PDCD−PD=AP2+BD+PDBD−PD=AP2+BD2−PD2=AP2−PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25.
故选：B．
14. ①②③
15. 10
【解析】在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=12，BC=16，
由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=122+162=400，
∴ AB=20．
∵ AD=BD，DE 平分 ∠ADB 交 AB 于点 E．
∴ AE=BE=12AB=10．
16. 3 或 41
【解析】第三边可能是直角边或斜边，若是直角边，其长为 52−42=3；若是斜边，其长为 42+52=41．
17. 45
18. 2
【解析】∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，
∴AC=AB2+BC2=12+12=2；
AD=AC2+CD2=22+12=3；
AE=AD2+DE2=32+12=2．
19. 2
20. 3
【解析】延长 AG 交 BC 于 D，
∵G 是三角形的重心，
∴AD⊥BC，BD=DC=12BC=32，
由勾股定理得，AD=AB2−DB2=332，
∴GA=23AD=3．
故答案：3．
21. 125
【解析】∵∠ABC=90∘，AC=50 cm，AB=30 cm，
∴ 由勾股定理得 BC=40 cm，
∴S阴影=40−302=100cm2，
∴ 小明蒙上眼晴用棍子敲击锣面，他击中阴影部分的概率是 1002500=125．
22. 17
【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，
∴AC2+BC2=AB2，
又 ∵AB−AC=2，BC=8，
∴AB−22+82=AB2，
解得 AB=17．
故答案为 17．
23. 322+16
24. （1） ∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO，
∵∠AOF=∠COB，OA=OC，
∴△FOA≌△BOCASA，
∴AF=BC．
（2） 连接 FC，
易证 EB 垂直平分 AC，
∴AF=CF，
由（1）知 AF=BC=3，
∴FC=AF=3，FD=AD−AF=4−3=1．
在 △FDC 中，
∵∠D=90∘，
∴CD2+DF2=FC2，
∴CD2+12=32，
∴CD=22．
25. 由题知 S1=a2，S2=b2，S3=c2，
又 ∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
26. BC=AB2−AC2=172−152=8，
S△ABC=12AC⋅BC=12×15×8=60．
27. AB=AC2+BC2=122+52=13．
28. ∵Rt△ABC 的面积为 5，
∴12ab=5，
解得 ab=25，
根据勾股定理得：a2+b2=32=9，
∴ab+ba=a2+b2ab=925=9510．
29. 如图，连接 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，
则 BF=b−a．
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12ab−a，
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12ab−a，
∴a2+b2=c2．