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数学八年级上册1 探索勾股定理教学ppt课件
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这是一份数学八年级上册1 探索勾股定理教学ppt课件，共22页。PPT课件主要包含了验证勾股定理，a+b2，a2+b2，∴a2+b2c2，验证方法三，能力提升，a2+b2c2，c2-a2，c2-b2等内容，欢迎下载使用。
那么如何验证勾股定理呢？据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？
用“数格子法”发现勾股定理
1.1 探索勾股定理 第2课时 验证勾股定理与应用
1. 学会用几种方法验证勾股定理．2. 能够运用勾股定理解决简单实际问题.
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
大正方形的面积可以表示为 ;也可以表示为 .
∵ (a+b)2 = c2 + 4• ab
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
验证方法一：毕达哥拉斯证法(外镶法)
验证方法二：赵爽弦图(内嵌法）
大正方形的面积可以表示为 ;也可以表示为 .
4• ab+(b- a)2
∵ c2= 4• ab +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 ，化简,得
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
图(1)中a,b,c满足的关系式是 ,它是 三角形;图(2)中a,b,c满足的关系式是 ,它是 三角形.
例1. 我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
勾股定理的实际应用--航向问题
解:由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=5002-4002，所以，BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）即它行驶的速度为108km/h.
勾股定理的实际应用--树折断问题
例2. 如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？
解:在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
设AC=x米,则AB=(18-x)米∴（18-x)2=62+x2解得,x=8∴AC=8米答：这棵树折断后有8米高.
勾股定理的实际应用--折叠问题
例3. 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
解:由折叠可得，AF=AD=BC=10cm,DE=EF
在Rt△ACF中，BF2=AF2-AB2 =102-82=36∴BF=6cm, ∴CF=4cm,
在Rt△ACF中,EF2=EC2+FC2设EC=xcm,则EF=DE=(8-x)cm,∴(8-x)2=x2+42解得，x=3即EC=3cm.
勾股定理解题思路：1. 在Rt△ABC中,a,b是两直角边,c为斜边,如果已知a,b,那么c2＝_________；如果已知a,c,那么b2＝_______；如果已知b,c,那么a2＝_______,直接代入求解.2. 在Rt△ABC中，当不能直接运用勾股定理求线段长度时,则设所求线段的长度为x,根据两线段的关系（和差或倍分）用含x的代数式表示另一线段的长度，根据 ,列出含 的方程求解．
勾股定理 a2+b2=c2
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1.从实际问题中抽象出几何图形；2. 确定要求的线段所在的直角三角形；3. 当已知两边时，直接根据勾股定理求第三边； 当已知一边及另两边关系时，依据勾股定理为等量关系建立方程求解.
1. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形）,不能用来验证勾股定理的是 ( )
2. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 ( ) A.72 B.52 C.80 D.76
3. 赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 .
解析：如图所示：∵（a+b)2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21-13=8，∴小正方形的面积为13-8=5．
4. 如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为 17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了 米.
解析：在Rt△ABC中,∠CAB=90°,所以AB2=BC2-AC2=172-82=152,所以AB=15米.
在Rt△CAD中,∠CAD=90°,所以AD2=CD2-AC2=102-82=62,所以AD=6米,
所以BD=AB-AD=15-6=9(米),即船向岸边移动了9米.
5. 两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m,2 m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
解：根据题意如图所示，两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m，两棵树之间的距离BD＝8 m，
过点C作CE⊥AB于点E，连接AC. 则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．
在Rt△ACE中，由勾股定理得，AC2＝AE2＋EC2＝62＋82＝100，∴AC＝10 m.答：这只小鸟至少要飞10 m．
6. 如图,一条小巷的左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为( )A.2.7米B.2.5米C.2米 D.1.8米
7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，求水的深度？
解：如图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即(h+3)2=h2+62，解得,h=4.5．答：水深4.5尺.
1. 用直角三角形和正方形通过拼图进行验证（利用两次计算面积，即图形整体面积等于各部分面积之和）
2. 根据勾股定理（1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边及另两边的关系构造方程求线段长.
2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
那么如何验证勾股定理呢？据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？
用“数格子法”发现勾股定理
1.1 探索勾股定理 第2课时 验证勾股定理与应用
1. 学会用几种方法验证勾股定理．2. 能够运用勾股定理解决简单实际问题.
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
大正方形的面积可以表示为 ;也可以表示为 .
∵ (a+b)2 = c2 + 4• ab
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
验证方法一：毕达哥拉斯证法(外镶法)
验证方法二：赵爽弦图(内嵌法）
大正方形的面积可以表示为 ;也可以表示为 .
4• ab+(b- a)2
∵ c2= 4• ab +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 ，化简,得
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
图(1)中a,b,c满足的关系式是 ,它是 三角形;图(2)中a,b,c满足的关系式是 ,它是 三角形.
例1. 我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
勾股定理的实际应用--航向问题
解:由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=5002-4002，所以，BC=300.
敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）即它行驶的速度为108km/h.
勾股定理的实际应用--树折断问题
例2. 如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？
解:在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
设AC=x米,则AB=(18-x)米∴（18-x)2=62+x2解得,x=8∴AC=8米答：这棵树折断后有8米高.
勾股定理的实际应用--折叠问题
例3. 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
解:由折叠可得，AF=AD=BC=10cm,DE=EF
在Rt△ACF中，BF2=AF2-AB2 =102-82=36∴BF=6cm, ∴CF=4cm,
在Rt△ACF中,EF2=EC2+FC2设EC=xcm,则EF=DE=(8-x)cm,∴(8-x)2=x2+42解得，x=3即EC=3cm.
勾股定理解题思路：1. 在Rt△ABC中,a,b是两直角边,c为斜边,如果已知a,b,那么c2＝_________；如果已知a,c,那么b2＝_______；如果已知b,c,那么a2＝_______,直接代入求解.2. 在Rt△ABC中，当不能直接运用勾股定理求线段长度时,则设所求线段的长度为x,根据两线段的关系（和差或倍分）用含x的代数式表示另一线段的长度，根据 ,列出含 的方程求解．
勾股定理 a2+b2=c2
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：1.从实际问题中抽象出几何图形；2. 确定要求的线段所在的直角三角形；3. 当已知两边时，直接根据勾股定理求第三边； 当已知一边及另两边关系时，依据勾股定理为等量关系建立方程求解.
1. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形）,不能用来验证勾股定理的是 ( )
2. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 ( ) A.72 B.52 C.80 D.76
3. 赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 .
解析：如图所示：∵（a+b)2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21-13=8，∴小正方形的面积为13-8=5．
4. 如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为 17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了 米.
解析：在Rt△ABC中,∠CAB=90°,所以AB2=BC2-AC2=172-82=152,所以AB=15米.
在Rt△CAD中,∠CAD=90°,所以AD2=CD2-AC2=102-82=62,所以AD=6米,
所以BD=AB-AD=15-6=9(米),即船向岸边移动了9米.
5. 两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m,2 m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
解：根据题意如图所示，两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m，两棵树之间的距离BD＝8 m，
过点C作CE⊥AB于点E，连接AC. 则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．
在Rt△ACE中，由勾股定理得，AC2＝AE2＋EC2＝62＋82＝100，∴AC＝10 m.答：这只小鸟至少要飞10 m．
6. 如图,一条小巷的左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为( )A.2.7米B.2.5米C.2米 D.1.8米
7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，求水的深度？
解：如图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即(h+3)2=h2+62，解得,h=4.5．答：水深4.5尺.
1. 用直角三角形和正方形通过拼图进行验证（利用两次计算面积，即图形整体面积等于各部分面积之和）
2. 根据勾股定理（1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边及另两边的关系构造方程求线段长.
2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
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