数学北师大版第一章 勾股定理1 探索勾股定理课时作业

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北师大版 数学 八上 第一章 1.1探索勾股定理测试提升卷
一， 选择题（共30分）
1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（　　）

A．185 B．4 C．245 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
∠A=∠EAG=GE∠AGM=∠EGF，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=245.
故答案为：C.

2.若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是(　　)
A．13 B．13或 119 C．119 D．12或13
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；
②当12是直角边时，它的斜边长=122+52=13.
故答案为：D.

3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，若AC=4，BC=3，则CD的长度是（　　)

A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵点D是AB的中点 ，
∴CD=12AB=12×5=2.5，
故答案为：C.

4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，若BF=DE，AC=23DE，BD=6，则AB的长为（　　）

A．36 B．43 C．42 D．9
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB=90°，
又BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AD=CD，AB=BC，
∵E为AF的中点，
∴CF=2DE，
设DE=a，则AC=23a，AD=CD=3a，BF=DE=a，
∴AB=BC=3a，
在Rt△ABD中，(3a)2=(3a)2+62，
解得a=6，
∴AB=36，
故答案为：A.

5.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若∠AOC=90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（　　）

A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，

∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，
∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
∠AFO=∠OGC∠OAF=∠COGAO=OC，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG=AF=BD=4米，
设AO=x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，
解得x=8.5.
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.
故答案为：B.


6.如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上．OA=BC=4，AB=OC=8．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O重合．则点D的坐标为（　　）

A．(4，4) B．(5，4) C．(3，4) D．(6，4)
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=（8-x）2，
∴x=3，
∴D(3，4)，
故答案为：C．
7.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB长为（　　）

A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．1cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝AB2+BC2=32+42=5 ，
∴B′C＝5－3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2＋22＝（4－x）2，
解得x＝1.5，
故答案为：C．
8.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　）

A．25 B．175 C．600 D．625
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在 ΔABC 中， ∠ACB=90° ，
由勾股定理得： AC2+BC2=AB2 ，
∴225+400=S ，
∴S=625 ．
故答案为：D．
9.我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）

A．413 B．8 10 C．413+12 D．810+12
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，将CB延长至点D，使 CB=BD ，

∵AC=2 ， CD=2BC=6 ，
∴AD=AC2+CD2=4+36=210 ，
AD+BD=210+3 ，
一共有4个这样的长度，
∴这个风车的外围周长是： 4×(210+3)=810+12 ．
故答案为：D．
10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　）

A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，

∵S1=a2,S2=b2,S3=c2 ， a2+b2=c2 ，
∴S1+S2=S3 ，
同理可得， S5+S6=S4 ，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）=10，
故答案为：A ．

二． 填空题（共24分）
11.如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝　 　.

【答案】52
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x.
在直角三角形ABC中，BC＝ AB2+AC2 ＝5.则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝2.
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2.
即：（4﹣x）2+22＝x2.
解得：x＝52.
故答案为：52.

12.如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于12AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为　 　.

【答案】510或5103
【知识点】勾股定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，

由作图可知，PO⊥m，PO=PO'=5，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=4，
PE=PO2−EO2=3，
则OD=PE=3，O'D=DE−O'E=1，
设OH=x，可知，DH=（3- x），
(3−x)2+12=x2
解得，x=53，
PH=PO2+OH2=5103；
如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，

由作图可知，PO⊥m，PO=PO'=5，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=，
PE=PO2−EO2=3，
则OD=PE=3，O'D=DE+OE=9，
设OH=x，可知，DH=（x-3），
(x−3)2+92=x2
解得，x=15，
PH=PO2+OH2=510；
故答案为：510或5103.

13.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，将此三角形沿DE翻折，使得点A与点B重合，则AE长为　 　．

【答案】3.4
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：BE=AE，
设BE=AE=x，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE2=BC2+EC2，
∴x2=32+(5−x)2，
∴x=3.4，
故答案为：3.4．


14.如图，在长方形纸片ABCD中，AD=8，AB=10，点M为BC上一点，将△CDM沿DM翻至△EDM，EM交AB于点G，ED交AB于点F，且BG=EG，则CM的长度是　 　.

【答案】203
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：设CM=x，则BM=8−x，
由题意得：DE=DC=AB=10，
∵∠E=∠B=90°，∠FGE=∠MGB，BG=EG，
∴△GMB≅△GFE（AAS），
∴MG=GF
∵BG=EG
∴MG+GE=GF+BG
∴EM=BF
∴ME=BF=CM=x，EF=BM=8−x，
在Rt△ADF中，AD2+AF2=DF2，
即：82+(10−x)2=[10−(8−x)]2，
解得：x=203.
故答案为：203.

15.如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为　 　m．

【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12，
∴AC=5，BC=12，
∴AB= 52+122 =13，
故答案为：13．
16.一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则 CD 的长为　 　．

【答案】410
【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示，

设DE=x，则AD= 16- x，
根据题意得：
12(16−x+16)×4×4=4×4×10 ，
解得：x=12，
∴DE= 12，
∵∠E= 90°，
由勾股定理得：
CD=DE2+CE2=122+42=410 ．
即：CD的长为 410 ．
故答案为： 410 ．

三．解答题（共46分）
17.（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝5，BD＝2．求线段DF的长度．

【答案】解：∵AD和BE是△ABC的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．
∴∠DAC ＝∠DBF．
∵∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝45°．
∴∠ABC＝∠DAB．
∴DA＝DB．
在△ADC与△BDF中，
∠ADC=∠BDFDA=DB∠DAC=∠DBF
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴AC＝BF＝5．
在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，
∴BD2＋DF2＝BF2．
∵BD＝2，BF＝5，
∴DF＝1


18.（8分）如图，△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．

（1）将△ADE旋转，使得D、E、B三点在一条直线上时，求证：BD＝CE；
（2）在（1）的条件下，当BC＝10，BE＝6时，求DE的长．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB，
即∠DAB＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
AD＝AE∠DAB＝∠CAEAB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB＝EC；
（2）解：由（1）知△DAB≌△EAB，
∴∠DBA＝∠ECA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
即∠ABC＋（∠BCE＋∠ACE）＝90°，
∴∠ABC＋∠DBA＋∠BCE＝90°，
即∠DBA＋∠BCE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BC＝10，BE＝6，
∴EC2＝BC2−BE2＝102−62＝64，
∴EC＝8，
∴DE＝DB−BE＝DB−CE＝8−6＝2．
19.（10分）
（1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长．
（2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上．
①AE的长．
②求DE的长．
【答案】（1）解：设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，
∵AC2＝AB2＋BC2，
∴（x＋2）2＝x2＋62，
解得x＝8，
∴AB＝8cm，
∴AC＝8＋2＝10（cm）；
（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，
∴AE＝AC−EC＝4cm；
②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（8−y）2＝42＋y2，
解得：y＝3，
∴DE＝3cm．

20.（10分）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，连接MN，交AD于点E，求AE的长．

【答案】解：如图所示：连接EC，

由作图方法可得：MN垂直平分AC，则AE=EC，
∵AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD=DC=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=52−33=4，
设DE=x，则AE=EC=4−x，
在Rt△EDC中，DE2+DC2=EC2，
即x2+32=(4−x)2，解得：x=78，故DE的长为78，
∴AE=AD−DE=4−78=258．
故答案为：258．

21.（10分）如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=α，点D与点B关于直线l轴对称，连接CD交直线l于点E，连接BE.

（1）求证：∠ADC=∠ACD；
（2）求证：∠BEC=α；
（3）当α=90°时，求证：ED2+CE2=2AB2.
【答案】（1）证明：∵点D与点B关于直线l轴对称
∴AD=AB，
∵AB=AC，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD
（2）证明：如图，设DC与AB交于点F

∵点D与点B关于直线l轴对称
∴AD=AB，DE=BE，AE=AE，
∴△ADE≌△ABE(SSS)，
∴∠ADE=∠ABE，
∵∠ADC=∠ACD；
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠DFB=∠AFC （对顶角相等）；
∴∠BEC=∠BAC=α；
（3）证明：当α=90°时，在△BEC中，由勾股定理可知：EB2+CE2=BC2.
∵△ADE≌△ABE
∴ED=BE.
∴ED2+CE2=BC2.
在△ABC中，由勾股定理可知：AB2+AC2=BC2.
又∵AB=AC，
故2AB2=BC2，
∴ED2+CE2=2AB2.